Forma espacial

En matemáticas , una forma espacial es una variedad riemanniana completa M de curvatura seccional constante K. Los tres ejemplos más fundamentales son el espacio n euclidiano , la esfera n -dimensional y el espacio hiperbólico , aunque una forma espacial no necesita estar simplemente conexa .

Reducción a cristalografía generalizada

El teorema de Killing-Hopf de la geometría de Riemann establece que la cubierta universal de una forma espacial n -dimensional con curvatura es isométrica a , espacio hiperbólico , con curvatura es isométrica a , espacio n- euclidiano , y con curvatura es isométrica a , la esfera n-dimensional de puntos a distancia 1 del origen en . ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle K=-1}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle K=+1}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle R^{n+1}}$

Al reescalar la métrica de Riemann en , podemos crear un espacio de curvatura constante para cualquier . De manera similar, al reescalar la métrica de Riemann en , podemos crear un espacio de curvatura constante para cualquier . Por lo tanto, la cobertura universal de una forma espacial con curvatura constante es isométrica a . ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K<0}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M_{K}}$

Esto reduce el problema de estudiar las formas espaciales al estudio de grupos discretos de isometrías de las cuales actúan de forma propiamente discontinua . Nótese que el grupo fundamental de , , será isomorfo a . Los grupos que actúan de esta manera sobre se denominan grupos cristalográficos . Los grupos que actúan de esta manera sobre y se denominan grupos fuchsianos y grupos kleinianos , respectivamente. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle H^{3}}$

Véase también

• Conjetura de Borel

Referencias

• Goldberg, Samuel I. (1998), Curvatura y homología , Dover Publications , ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Variedades de Riemann: una introducción a la curvatura , Springer