Mecánica de contacto

Estudio de la deformación de sólidos que entran en contacto entre sí.

Tensiones en una zona de contacto cargada simultáneamente con una fuerza normal y una tangencial. Las tensiones se hicieron visibles mediante fotoelasticidad .

La mecánica de contacto es el estudio de la deformación de los sólidos que se tocan entre sí en uno o más puntos. ^{[1] [2]} Una distinción central en la mecánica de contacto es entre las tensiones que actúan perpendicularmente a las superficies de los cuerpos en contacto (conocidas como tensión normal ) y las tensiones de fricción que actúan tangencialmente entre las superficies ( tensión cortante ). La mecánica de contacto normal o mecánica de contacto sin fricción se centra en las tensiones normales causadas por las fuerzas normales aplicadas y por la adhesión presente en superficies en estrecho contacto, incluso si están limpias y secas. La mecánica de contacto por fricción enfatiza el efecto de las fuerzas de fricción.

La mecánica de contacto es parte de la ingeniería mecánica . La formulación física y matemática de la materia se basa en la mecánica de materiales y la mecánica de medios continuos y se centra en los cálculos que involucran cuerpos elásticos , viscoelásticos y plásticos en contacto estático o dinámico . La mecánica de contacto proporciona la información necesaria para el diseño seguro y energéticamente eficiente de sistemas técnicos y para el estudio de la tribología , la rigidez de contacto , la resistencia de contacto eléctrico y la dureza de indentación . Los principios de la mecánica de contacto se implementan en aplicaciones como el contacto rueda-riel de locomotoras, dispositivos de acoplamiento , sistemas de frenado , neumáticos , cojinetes , motores de combustión , enlaces mecánicos , sellos de juntas , metalurgia , conformado de metales, soldadura ultrasónica , contactos eléctricos y muchos otros. Los desafíos actuales a los que se enfrenta el campo pueden incluir el análisis de tensiones de los miembros de contacto y acoplamiento y la influencia de la lubricación y el diseño del material en la fricción y el desgaste . Las aplicaciones de la mecánica de contacto se extienden aún más al ámbito micro y nanotecnológico .

El trabajo original en mecánica de contacto se remonta a 1881 con la publicación del artículo "Sobre el contacto de sólidos elásticos" ^[3] "Über die Berührung fester elastischer Körper" de Heinrich Hertz . Hertz intentó comprender cómo las propiedades ópticas de múltiples lentes apiladas podrían cambiar con la fuerza que las mantiene juntas. La tensión de contacto hertziana se refiere a las tensiones localizadas que se desarrollan cuando dos superficies curvas entran en contacto y se deforman ligeramente bajo las cargas impuestas. Esta cantidad de deformación depende del módulo de elasticidad del material en contacto. Da la tensión de contacto como una función de la fuerza de contacto normal, los radios de curvatura de ambos cuerpos y el módulo de elasticidad de ambos cuerpos. La tensión de contacto hertziana forma la base de las ecuaciones para las capacidades de soporte de carga y la vida útil por fatiga en cojinetes, engranajes y cualquier otro cuerpo donde dos superficies estén en contacto.

Historia

Una animación de una esfera presionando contra un material elástico, aumentando el área de contacto.

La mecánica de contacto clásica se asocia principalmente con Heinrich Hertz. ^{[3] [4]} En 1882, Hertz resolvió el problema de contacto de dos cuerpos elásticos con superficies curvas. Esta solución clásica, aún relevante, proporciona una base para los problemas modernos en mecánica de contacto. Por ejemplo, en ingeniería mecánica y tribología , la tensión de contacto hertziana es una descripción de la tensión dentro de las piezas acopladas. La tensión de contacto hertziana generalmente se refiere a la tensión cercana al área de contacto entre dos esferas de diferentes radios.

No fue hasta casi cien años después que Kenneth L. Johnson , Kevin Kendall y Alan D. Roberts encontraron una solución similar para el caso del contacto adhesivo . ^[5] Esta teoría fue rechazada por Boris Derjaguin y colaboradores ^[6] quienes propusieron una teoría diferente de la adhesión ^[7] en la década de 1970. El modelo de Derjaguin llegó a ser conocido como el modelo Derjaguin–Muller–Toporov (DMT) (en honor a Derjaguin, MV Muller y Yu. P. Toporov), ^[7] y el modelo de Johnson et al. llegó a ser conocido como el modelo Johnson–Kendall–Roberts (JKR) para el contacto elástico adhesivo. Este rechazo resultó ser instrumental en el desarrollo de los parámetros de David Tabor ^[8] y posteriormente de Daniel Maugis ^{[6] [9]} que cuantifican qué modelo de contacto (de los modelos JKR y DMT) representa mejor el contacto adhesivo para materiales específicos.

A mediados del siglo XX, se produjeron más avances en el campo de la mecánica de contacto gracias a nombres como Frank Philip Bowden y Tabor. Bowden y Tabor fueron los primeros en destacar la importancia de la rugosidad de la superficie de los cuerpos en contacto. ^{[10] [11]} Mediante la investigación de la rugosidad de la superficie, se descubrió que el área de contacto real entre los socios de fricción es menor que el área de contacto aparente. Esta comprensión también cambió drásticamente la dirección de los trabajos en tribología. Los trabajos de Bowden y Tabor dieron lugar a varias teorías sobre la mecánica de contacto de superficies rugosas.

Las contribuciones de JF Archard (1957) ^[12] también deben mencionarse en la discusión de trabajos pioneros en este campo. Archard concluyó que, incluso para superficies elásticas rugosas, el área de contacto es aproximadamente proporcional a la fuerza normal . Otros conocimientos importantes en esta línea fueron proporcionados por Jonh A. Greenwood y JBP Williamson (1966), ^[13] AW Bush (1975), ^[14] y Bo NJ Persson (2002). ^[15] Los principales hallazgos de estos trabajos fueron que la superficie de contacto real en materiales rugosos es generalmente proporcional a la fuerza normal, mientras que los parámetros de microcontactos individuales (presión y tamaño del microcontacto) solo dependen débilmente de la carga.

Soluciones clásicas para el contacto elástico no adhesivo

La teoría del contacto entre cuerpos elásticos se puede utilizar para encontrar áreas de contacto y profundidades de indentación para geometrías simples. A continuación se enumeran algunas soluciones de uso común. La teoría utilizada para calcular estas soluciones se analiza más adelante en el artículo. Se pueden encontrar soluciones para una multitud de otras formas técnicamente relevantes, por ejemplo, el cono truncado, la esfera desgastada, los perfiles rugosos, los cilindros huecos, etc. en ^[16].

Contacto entre una esfera y un semiespacio

Contacto de una esfera elástica con un semiespacio elástico

Una esfera elástica de radio indenta un semiespacio elástico donde la deformación total es , lo que provoca un área de contacto de radio ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

La fuerza aplicada está relacionada con el desplazamiento por ^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

dónde

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

y , son los módulos elásticos y , los coeficientes de Poisson asociados a cada cuerpo. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$

La distribución de la presión normal en el área de contacto en función de la distancia desde el centro del círculo es ^[1]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

¿Dónde está la presión de contacto máxima dada por ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

El radio del círculo está relacionado con la carga aplicada por la ecuación ${\displaystyle F}$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

La deformación total está relacionada con la presión de contacto máxima por ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

La tensión cortante máxima se produce en el interior en . ${\displaystyle z\approx 0.49a}$ ${\displaystyle \nu =0.33}$

Contacto entre dos esferas

Contacto entre dos esferas

Contacto entre dos cilindros cruzados de igual radio

Para el contacto entre dos esferas de radios y , el área de contacto es un círculo de radio . Las ecuaciones son las mismas que para una esfera en contacto con un semiplano excepto que el radio efectivo se define como ^[4] ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

Contacto entre dos cilindros cruzados de igual radio

Esto es equivalente al contacto entre una esfera de radio y un plano . ${\displaystyle R}$

Contacto entre un cilindro rígido con extremo plano y un semiespacio elástico

Contacto entre un penetrador cilíndrico rígido y un semiespacio elástico

Si se presiona un cilindro rígido en un semiespacio elástico, se crea una distribución de presión descrita por ^[17].

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

¿Dónde está el radio del cilindro y ${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

La relación entre la profundidad de la sangría y la fuerza normal está dada por

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

Contacto entre un penetrador cónico rígido y un semiespacio elástico

Contacto entre un penetrador cónico rígido y un semiespacio elástico

En el caso de la indentación de un semiespacio elástico del módulo de Young utilizando un indentador cónico rígido , la profundidad de la región de contacto y el radio de contacto están relacionados por ^[17] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

Se define como el ángulo entre el plano y la superficie lateral del cono. La profundidad total de la indentación viene dada por: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

La fuerza total es

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

La distribución de presión viene dada por

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

La tensión tiene una singularidad logarítmica en la punta del cono.

Contacto entre dos cilindros con ejes paralelos

Contacto entre dos cilindros con ejes paralelos

En contacto entre dos cilindros con ejes paralelos, la fuerza es linealmente proporcional a la longitud de los cilindros L y a la profundidad de indentación d : ^[18]

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

Los radios de curvatura están completamente ausentes de esta relación. El radio de contacto se describe mediante la relación habitual

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

con

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

como en contacto entre dos esferas. La presión máxima es igual a

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Contacto del cojinete

El contacto en el caso de los rodamientos es a menudo un contacto entre una superficie convexa (cilindro macho o esfera) y una superficie cóncava (cilindro hembra o esfera: orificio o copa hemisférica ).

Método de reducción de dimensionalidad

Contacto entre una esfera y un semiespacio elástico y modelo unidimensional reemplazado

Algunos problemas de contacto pueden resolverse con el método de reducción de dimensionalidad (MDR). En este método, el sistema tridimensional inicial se reemplaza por un contacto de un cuerpo con una base elástica o viscoelástica lineal (ver figura). Las propiedades de los sistemas unidimensionales coinciden exactamente con las del sistema tridimensional original, si se modifica la forma de los cuerpos y se definen los elementos de la base según las reglas del MDR. ^{[19] [20]} El MDR se basa en la solución de problemas de contacto axisimétricos obtenida por primera vez por Ludwig Föppl (1941) y Gerhard Schubert (1942) ^[21]

Sin embargo, para obtener resultados analíticos exactos, se requiere que el problema de contacto sea axisimétrico y que los contactos sean compactos.

Teoría hertziana del contacto elástico no adhesivo

La teoría clásica del contacto se centraba principalmente en el contacto no adhesivo, en el que no se permite que se produzca ninguna fuerza de tensión dentro del área de contacto, es decir, los cuerpos en contacto se pueden separar sin fuerzas de adhesión. Se han utilizado varios enfoques analíticos y numéricos para resolver problemas de contacto que satisfacen la condición de no adhesión. Se transmiten fuerzas y momentos complejos entre los cuerpos donde se tocan, por lo que los problemas de mecánica de contacto pueden volverse bastante sofisticados. Además, las tensiones de contacto suelen ser una función no lineal de la deformación. Para simplificar el procedimiento de solución, se suele definir un marco de referencia en el que los objetos (posiblemente en movimiento relativo entre sí) son estáticos. Interactúan a través de tracciones superficiales (o presiones/tensiones) en su interfaz.

Como ejemplo, considere dos objetos que se encuentran en alguna superficie en el plano ( , ) con el eje y se supone normal a la superficie. Uno de los cuerpos experimentará una distribución de presión dirigida normalmente y distribuciones de tracción superficial en el plano y sobre la región . En términos de un equilibrio de fuerzas newtoniano , las fuerzas: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p_{z}=p(x,y)=q_{z}(x,y)}$ ${\displaystyle q_{x}=q_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle q_{y}=q_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{z}=\int _{S}p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}=\int _{S}q_{x}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{y}=\int _{S}q_{y}(x,y)~\mathrm {d} A}$

deben ser iguales y opuestas a las fuerzas establecidas en el otro cuerpo. Los momentos correspondientes a estas fuerzas:

${\displaystyle M_{x}=\int _{S}y~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{y}=\int _{S}-x~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{z}=\int _{S}[x~q_{y}(x,y)-y~q_{x}(x,y)]~\mathrm {d} A}$

También se requiere que las fuerzas entre los cuerpos se cancelen para que sean cinemáticamente inmóviles.

Supuestos de la teoría hertziana

Para determinar las soluciones de los problemas de contacto hertziano se realizan las siguientes suposiciones :

• Las deformaciones son pequeñas y están dentro del límite elástico.
• Las superficies son continuas y no conformes (lo que implica que el área de contacto es mucho menor que las dimensiones características de los cuerpos en contacto).
• Cada cuerpo puede considerarse un semiespacio elástico.
• Las superficies no tienen fricción.

Surgen complicaciones adicionales cuando se violan algunos o todos estos supuestos y dichos problemas de contacto suelen denominarse no hertzianos .

Técnicas de solución analítica

Contacto entre dos esferas

Los métodos analíticos de solución para el problema del contacto no adhesivo se pueden clasificar en dos tipos según la geometría del área de contacto. ^[22] Un contacto conforme es aquel en el que los dos cuerpos se tocan en múltiples puntos antes de que se produzca cualquier deformación (es decir, simplemente "encajan"). Un contacto no conforme es aquel en el que las formas de los cuerpos son lo suficientemente diferentes como para que, bajo carga cero, solo se toquen en un punto (o posiblemente a lo largo de una línea). En el caso no conforme, el área de contacto es pequeña en comparación con los tamaños de los objetos y las tensiones están altamente concentradas en esta área. Tal contacto se llama concentrado , de lo contrario se llama diversificado .

Un enfoque común en la elasticidad lineal es superponer una serie de soluciones, cada una de las cuales corresponde a una carga puntual que actúa sobre el área de contacto. Por ejemplo, en el caso de la carga de un semiplano , la solución de Flamant se utiliza a menudo como punto de partida y luego se generaliza a varias formas del área de contacto. Los equilibrios de fuerza y ​​momento entre los dos cuerpos en contacto actúan como restricciones adicionales a la solución.

Punto de contacto en un semiplano (2D)

Esquema de la carga sobre un plano por la fuerza P en un punto (0, 0)

Un punto de partida para resolver problemas de contacto es comprender el efecto de una "carga puntual" aplicada a un semiplano elástico isótropo, homogéneo y lineal, como se muestra en la figura de la derecha. El problema puede ser de tensión plana o de deformación plana . Se trata de un problema de valor límite de elasticidad lineal sujeto a las condiciones límite de tracción :

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)}$

donde es la función delta de Dirac . Las condiciones de contorno establecen que no hay tensiones cortantes en la superficie y se aplica una fuerza normal singular P en (0, 0). La aplicación de estas condiciones a las ecuaciones de elasticidad que rigen el resultado produce el siguiente resultado: ${\displaystyle \delta (x,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

para algún punto, , en el semiplano. El círculo que se muestra en la figura indica una superficie en la que el esfuerzo cortante máximo es constante. A partir de este campo de esfuerzos, se pueden determinar los componentes de deformación y, por lo tanto, los desplazamientos de todos los puntos materiales. ${\displaystyle (x,y)}$

Contacto de línea en un semiplano (2D)

Carga normal sobre una región

Supongamos que, en lugar de una carga puntual , se aplica una carga distribuida a la superficie, en el rango . Se puede aplicar el principio de superposición lineal para determinar el campo de tensión resultante como solución a las ecuaciones integrales : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a<x<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{3}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

Carga de corte sobre una región

El mismo principio se aplica a las cargas sobre la superficie en el plano de la superficie. Este tipo de tracciones tenderían a surgir como resultado de la fricción. La solución es similar a la anterior (tanto para cargas singulares como para cargas distribuidas ) pero ligeramente modificada: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{3}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

Estos resultados pueden superponerse a los dados anteriormente para la carga normal para hacer frente a cargas más complejas.

Punto de contacto en un semiespacio (3D)

De manera análoga a la solución de Flamant para el semiplano 2D, también se conocen soluciones fundamentales para el semiespacio 3D elástico lineal. Estas fueron encontradas por Boussinesq para una carga normal concentrada y por Cerruti para una carga tangencial. Véase la sección sobre este tema en Elasticidad lineal .

Técnicas de solución numérica

No es necesario hacer distinciones entre contacto conforme y no conforme cuando se emplean esquemas de solución numérica para resolver problemas de contacto. Estos métodos no dependen de suposiciones adicionales dentro del proceso de solución, ya que se basan únicamente en la formulación general de las ecuaciones subyacentes. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Además de las ecuaciones estándar que describen la deformación y el movimiento de los cuerpos, se pueden formular dos desigualdades adicionales. La primera simplemente restringe el movimiento y la deformación de los cuerpos mediante el supuesto de que no puede ocurrir penetración. Por lo tanto, la brecha entre dos cuerpos solo puede ser positiva o cero. ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\geq 0}$

donde denota contacto. El segundo supuesto en la mecánica de contacto está relacionado con el hecho de que no se permite que se produzca ninguna fuerza de tensión dentro del área de contacto (los cuerpos en contacto pueden levantarse sin fuerzas de adhesión). Esto conduce a una desigualdad que las tensiones deben obedecer en la interfaz de contacto. Se formula para la tensión normal . ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} }$

En los lugares donde hay contacto entre las superficies, el espacio es cero, es decir , y allí la tensión normal es diferente de cero, de hecho, . En los lugares donde las superficies no están en contacto, la tensión normal es idéntica a cero; , mientras que el espacio es positivo; es decir, . Este tipo de formulación de complementariedad se puede expresar en la llamada forma de Kuhn-Tucker , a saber: ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}<0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=0}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle h\geq 0\,,\quad \sigma _{n}\leq 0\,,\quad \sigma _{n}\,h=0\,.}$

Estas condiciones son válidas de manera general. La formulación matemática del espacio depende de la cinemática de la teoría subyacente del sólido (por ejemplo, sólido lineal o no lineal en dos o tres dimensiones, modelo de viga o cáscara ). Al reformular la tensión normal en términos de la presión de contacto, ; es decir, el problema de Kuhn-Tucker puede reformularse como en la forma de complementariedad estándar, es decir En el caso elástico lineal, el espacio puede formularse como donde es la separación del cuerpo rígido, es la geometría/topografía del contacto (cilindro y rugosidad) y es la deformación/deflexión elástica. Si los cuerpos en contacto se aproximan como semiespacios elásticos lineales, la solución de la ecuación integral de Boussinesq-Cerruti puede aplicarse para expresar la deformación ( ) como una función de la presión de contacto ( ); es decir, donde para la carga lineal de un semiespacio elástico y para la carga puntual de un semiespacio elástico. ^[1] ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=-\sigma _{n}}$ $${\displaystyle h\geq 0\,,\quad p\geq 0\,,\quad p\,h=0\,.}$$ $${\displaystyle {h}=h_{0}+{g}+u,}$$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle u=\int _{\infty }^{\infty }K(x-s)p(s)ds,}$$ $${\displaystyle K(x-s)={\frac {2}{\pi E^{*}}}\ln |x-s|}$$ $${\displaystyle K(x-s)={\frac {1}{\pi E^{*}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(x_{1}-s_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-s_{2}\right)^{2}}}}}$$

Después de la discretización, el problema de mecánica de contacto elástico lineal se puede plantear en la forma estándar del problema de complementariedad lineal (LCP). ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {h} &=\mathbf {h} _{0}+\mathbf {g} +\mathbf {Cp} ,\\\mathbf {h} \cdot \mathbf {p} &=0,\,\,\,\mathbf {p} \geq 0,\,\,\,\mathbf {h} \geq 0,\\\end{aligned}}}$

donde es una matriz, cuyos elementos son los llamados coeficientes de influencia que relacionan la presión de contacto y la deformación. La formulación LCP estricta del problema CM presentada anteriormente permite la aplicación directa de técnicas de solución numérica bien establecidas, como el algoritmo de pivoteo de Lemke . El algoritmo de Lemke tiene la ventaja de que encuentra la solución numéricamente exacta dentro de un número finito de iteraciones. La implementación de MATLAB presentada por Almqvist et al. es un ejemplo que se puede emplear para resolver el problema numéricamente. Además, un código de ejemplo para una solución LCP de un problema de mecánica de contacto elástico lineal 2D también se ha hecho público en MATLAB file exchange por Almqvist et al. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Contacto entre superficies rugosas

Cuando dos cuerpos con superficies rugosas se presionan uno contra el otro, el área de contacto real formada entre los dos cuerpos, , es mucho más pequeña que el área de contacto aparente o nominal . La mecánica del contacto de superficies rugosas se analiza en términos de mecánica de contacto normal e interacciones de fricción estática. ^[29] Las superficies naturales y de ingeniería suelen presentar características de rugosidad, conocidas como asperezas, en una amplia gama de escalas de longitud hasta el nivel molecular, con estructuras de superficie que exhiben autoafinidad, también conocida como fractalidad de superficie . Se reconoce que la estructura autoafín de las superficies es el origen de la escala lineal del área de contacto real con la presión aplicada. ^{[30] [31]} Suponiendo un modelo de contactos soldados de corte en interacciones tribológicas , esta linealidad observada de forma ubicua entre el área de contacto y la presión también puede considerarse el origen de la linealidad de la relación entre la fricción estática y la fuerza normal aplicada. ^[29] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$

En contacto entre una superficie "rugosa aleatoria" y un semiespacio elástico, el área de contacto real está relacionada con la fuerza normal por ^{[1] [31] [32] [33]} ${\displaystyle F}$

${\displaystyle A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F}$

con igual a la raíz cuadrada media (también conocida como media cuadrática) de la pendiente de la superficie y . La presión media en la superficie de contacto real ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle \kappa \approx 2}$

${\displaystyle p_{\mathrm {av} }={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'}$

puede estimarse razonablemente como la mitad del módulo elástico efectivo multiplicado por el cuadrado medio de la pendiente de la superficie . ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle h'}$

Una visión general del modelo GW

Greenwood y Williamson en 1966 (GW) ^[31] propusieron una teoría de la mecánica de contacto elástico de superficies rugosas que es hoy la base de muchas teorías en tribología (fricción, adhesión, conductancia térmica y eléctrica, desgaste, etc.). Consideraron el contacto entre un plano rígido liso y una superficie rugosa deformable nominalmente plana cubierta con asperezas de punta redondeada del mismo radio R. Su teoría supone que la deformación de cada aspereza es independiente de la de sus vecinas y se describe mediante el modelo de Hertz. Las alturas de las asperezas tienen una distribución aleatoria. La probabilidad de que la altura de la aspereza esté entre y es . Los autores calcularon el número de puntos de contacto n, el área de contacto total y la carga total P en el caso general. Dieron esas fórmulas en dos formas: en la básica y utilizando variables estandarizadas. Si uno supone que N asperezas cubren una superficie rugosa, entonces el número esperado de contactos es ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+dz}$ ${\displaystyle \phi (z)dz}$ ${\displaystyle A_{r}}$

${\displaystyle n=N\int _{d}^{\infty }\phi (z)dz}$

El área total de contacto esperada se puede calcular a partir de la fórmula

${\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{\infty }(z-d)\phi (z)dz}$

y la fuerza total esperada está dada por

${\displaystyle P={\frac {4}{3}}NE_{r}{\sqrt {R}}\int _{d}^{\infty }(z-d)^{\frac {3}{2}}\phi (z)dz}$

dónde:

R, radio de curvatura de la microasperidad,

z, altura de la microasperidad medida desde la línea del perfil,

d, cerrar la superficie,

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$, módulo de elasticidad de Young compuesto,

${\displaystyle E_{i}}$, módulo de elasticidad de la superficie,

${\displaystyle \nu _{i}}$, Coeficientes de superficie de Poisson.

Greenwood y Williamson introdujeron la separación estandarizada y la distribución estandarizada de alturas cuya desviación estándar es igual a uno. A continuación se presentan las fórmulas en forma estandarizada. ${\displaystyle h=d/\sigma }$ ${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infty }(s-h)^{n}\phi ^{*}(s)ds\\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\\P&={\frac {4}{3}}\eta AE_{r}{\sqrt {R}}\sigma ^{\frac {3}{2}}F_{\frac {3}{2}}(h)\end{aligned}}}$

dónde:

d es la separación,

${\displaystyle A}$es el área de contacto nominal,

${\displaystyle \eta }$es la densidad superficial de las asperezas,

${\displaystyle E^{*}}$es el módulo de Young efectivo.

${\displaystyle A}$y se puede determinar cuando los términos se calculan para las superficies dadas utilizando la convolución de la rugosidad de la superficie . ^[34] Varios estudios han seguido los ajustes de curva sugeridos para asumir una distribución alta de superficie gaussiana con ajustes de curva presentados por Arcoumanis et al. ^[35] y Jedynak ^[36] entre otros. Se ha observado repetidamente que las superficies de ingeniería no demuestran distribuciones de altura de superficie gaussianas, por ejemplo, Peklenik. ^[37] Leighton et al. ^[38] presentaron ajustes para superficies de revestimiento de cilindro de motor IC con trama cruzada junto con un proceso para determinar los términos para cualquier superficie medida. Leighton et al. ^[38] demostraron que los datos de ajuste gaussiano no son precisos para modelar ninguna superficie diseñada y continuaron demostrando ^[39] que el funcionamiento temprano de las superficies da como resultado una transición gradual que cambia significativamente la topografía de la superficie, la capacidad de carga y la fricción. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

Recientemente, Jedynak publicó las aproximaciones exactas de y ^[36] . Se dan mediante las siguientes fórmulas racionales, que son aproximaciones de las integrales . Se calculan para la distribución gaussiana de asperezas, que se ha demostrado que no son realistas para la superficie de ingeniería, pero se pueden suponer donde los resultados de fricción, capacidad de carga o área de contacto real no son críticos para el análisis. ^[38] ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

Porque los coeficientes son ${\displaystyle F_{1}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . ${\displaystyle 9.93\times 10^{-8}\%}$

Porque los coeficientes son ${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . El artículo ^[36] también contiene las expresiones exactas para ${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}h^{2}\right)-{\frac {1}{2}}h\,\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)\\F_{\frac {3}{2}}(h)&={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right){\sqrt {h}}\left(\left(h^{2}+1\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

donde erfc(z) significa la función de error complementaria y es la función de Bessel modificada del segundo tipo. ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

Para la situación en la que las asperezas en las dos superficies tienen una distribución de altura gaussiana y se puede suponer que los picos son esféricos, ^[31] la presión de contacto promedio es suficiente para causar fluencia cuando donde es la tensión de fluencia uniaxial y es la dureza de indentación. ^[1] Greenwood y Williamson ^[31] definieron un parámetro adimensional llamado índice de plasticidad que podría usarse para determinar si el contacto sería elástico o plástico. ${\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Psi }$

El modelo de Greenwood-Williamson requiere el conocimiento de dos cantidades estadísticamente dependientes: la desviación estándar de la rugosidad de la superficie y la curvatura de los picos de aspereza. Mikic ha dado una definición alternativa del índice de plasticidad. ^[32] La fluencia se produce cuando la presión es mayor que la tensión de fluencia uniaxial. Dado que la tensión de fluencia es proporcional a la dureza de indentación , Mikic definió el índice de plasticidad para el contacto elástico-plástico como ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\frac {2}{3}}~.}$

En esta definición se representa la microrrugosidad en un estado de plasticidad completa y solo se necesita una cantidad estadística, la pendiente rms, que se puede calcular a partir de mediciones de superficie. Para , la superficie se comporta elásticamente durante el contacto. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$

En los modelos de Greenwood-Williamson y Mikic se supone que la carga es proporcional al área deformada. Por lo tanto, el comportamiento plástico o elástico del sistema es independiente de la fuerza normal aplicada. ^[1]

Una visión general del modelo GT

El modelo propuesto por John A. Greenwood y John H. Tripp (GT), ^[40] extendió el modelo GW al contacto entre dos superficies rugosas. El modelo GT es ampliamente utilizado en el campo del análisis elastohidrodinámico.

Las ecuaciones citadas con mayor frecuencia dadas por el modelo GT son para el área de contacto de asperezas.

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

y carga transportada por asperezas

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt {2}}}{15}}\pi (\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt {\frac {\sigma }{\beta }}}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

dónde:

${\displaystyle \eta \beta \sigma }$, parámetro de rugosidad,

${\displaystyle A}$, área de contacto nominal,

${\displaystyle \lambda }$, Parámetro de película de aceite de Stribeck, definido por primera vez por Stribeck \cite{gt} como , ${\displaystyle \lambda =h/\sigma }$

${\displaystyle E'}$, módulo elástico efectivo,

${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )}$, funciones estadísticas introducidas para que coincidan con la distribución gaussiana asumida de asperezas.

Matthew Leighton et al. ^[38] presentaron ajustes para superficies de camisas de cilindros de motores de combustión interna con trama cruzada junto con un proceso para determinar los términos para cualquier superficie medida. Leighton et al. ^[38] demostraron que los datos de ajuste gaussiano no son precisos para modelar ninguna superficie diseñada y continuaron demostrando ^[39] que el funcionamiento temprano de las superficies da como resultado una transición gradual que cambia significativamente la topografía de la superficie, la capacidad de carga y la fricción. ${\displaystyle F_{n}(h)}$

Las soluciones exactas para y son presentadas en primer lugar por Jedynak. ^[36] Se expresan de la siguiente manera. Se calculan para la distribución gaussiana de asperezas, que han demostrado ser poco realistas para superficies de ingeniería, pero se pueden asumir donde los resultados de fricción, capacidad de carga o área de contacto real no son críticos para el análisis. ^[38] ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\\F_{\frac {5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h^{\frac {3}{2}}\left(\left(2h^{2}+3\right)K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-\left(2h^{2}+5\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

donde erfc(z) significa la función de error complementaria y es la función de Bessel modificada del segundo tipo. ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

En el artículo ^[36] se puede encontrar una revisión exhaustiva de los aproximantes existentes para . Las nuevas propuestas proporcionan los aproximantes más precisos para y , que se informan en la literatura. Se dan mediante las siguientes fórmulas racionales, que son aproximantes muy exactos para las integrales . Se calculan para la distribución gaussiana de asperezas ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$ ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

Porque los coeficientes son ${\displaystyle F_{2}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.182536384941,0.039812283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . ${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$

Porque los coeficientes son ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855827811,0.023453835635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

El error relativo máximo es . ${\displaystyle 4.98\times 10^{-8}\%}$

Contacto adhesivo entre cuerpos elásticos

Cuando dos superficies sólidas se acercan entre sí, experimentan fuerzas de atracción de van der Waals . El modelo de van der Waals de RS Bradley ^[41] proporciona un medio para calcular la fuerza de tracción entre dos esferas rígidas con superficies perfectamente lisas. El modelo hertziano de contacto no considera posible la adhesión. Sin embargo, a finales de la década de 1960, se observaron varias contradicciones cuando se comparó la teoría de Hertz con experimentos que involucraban el contacto entre esferas de caucho y vidrio.

Se observó ^[5] que, aunque la teoría de Hertz se aplicaba a cargas grandes, a cargas bajas

• El área de contacto fue mayor que la predicha por la teoría de Hertz,
• el área de contacto tenía un valor distinto de cero incluso cuando se eliminó la carga, y
• Incluso se produjo una fuerte adhesión cuando las superficies de contacto estaban limpias y secas.

Esto indicaba que había fuerzas adhesivas en juego. El modelo Johnson-Kendall-Roberts (JKR) y los modelos Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) fueron los primeros en incorporar la adhesión al contacto hertziano.

Modelo Bradley de contacto rígido

Se supone comúnmente que la fuerza superficial entre dos planos atómicos a cierta distancia uno del otro se puede derivar del potencial de Lennard-Jones . Con esta suposición ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]}$

donde es la fuerza (positiva en compresión), es la energía superficial total de ambas superficies por unidad de área, y es la separación de equilibrio de los dos planos atómicos. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$

El modelo de Bradley aplicó el potencial de Lennard-Jones para hallar la fuerza de adhesión entre dos esferas rígidas. Se determinó que la fuerza total entre las esferas era

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

¿Dónde están los radios de las dos esferas? ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$

Las dos esferas se separan completamente cuando se alcanza la fuerza de tracción , en cuyo punto ${\displaystyle z=z_{0}}$

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

Modelo JKR de contacto elástico

Esquema del área de contacto para el modelo JKR

Ensayo JKR con cordón rígido sobre material plano deformable: ciclo completo

Para incorporar el efecto de la adhesión en el contacto hertziano, Johnson, Kendall y Roberts ^[5] formularon la teoría JKR de contacto adhesivo utilizando un equilibrio entre la energía elástica almacenada y la pérdida de energía superficial . El modelo JKR considera el efecto de la presión de contacto y la adhesión solo dentro del área de contacto. La solución general para la distribución de la presión en el área de contacto en el modelo JKR es

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+p_{0}'\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Obsérvese que en la teoría original de Hertz, el término que contiene se descuidó debido a que no se podía mantener la tensión en la zona de contacto. Para el contacto entre dos esferas ${\displaystyle p_{0}'}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{\pi R}};\quad p_{0}'=-\left({\frac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

donde es el radio del área de contacto, es la fuerza aplicada, es la energía superficial total de ambas superficies por unidad de área de contacto, son los radios, los módulos de Young y las relaciones de Poisson de las dos esferas, y ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\gamma }$ ${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

La distancia de aproximación entre las dos esferas viene dada por

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2E^{*}}}\left(p_{0}+2p_{0}'\right)={\frac {a^{2}}{R}}}$

La ecuación de Hertz para el área de contacto entre dos esferas, modificada para tener en cuenta la energía superficial, tiene la forma

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

Cuando la energía superficial es cero, se recupera la ecuación de Hertz para el contacto entre dos esferas. Cuando la carga aplicada es cero, el radio de contacto es ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}$

Se predice que la carga de tracción en la que se separan las esferas (es decir, ) será ${\displaystyle a=0}$

${\displaystyle F_{\text{c}}=-3\gamma \pi R\,}$

Esta fuerza también se denomina fuerza de tracción . Nótese que esta fuerza es independiente de los módulos de las dos esferas. Sin embargo, existe otra posible solución para el valor de con esta carga. Esta es el área de contacto crítica , dada por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{\text{c}}}$

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}}$

Si definimos el trabajo de adhesión como

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}$

donde son las energías adhesivas de las dos superficies y es un término de interacción, podemos escribir el radio de contacto JKR como ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{12}}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

La carga de tracción en la separación es

${\displaystyle F=-{\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

y el radio de contacto crítico está dado por

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8E^{*}}}}$

La profundidad crítica de penetración es

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}{R}}=\left(R^{\frac {1}{2}}{\frac {9\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

Modelo DMT de contacto elástico

El modelo Derjaguin–Muller–Toporov (DMT) ^{[7] [42]} es un modelo alternativo para el contacto adhesivo que supone que el perfil de contacto sigue siendo el mismo que en el contacto hertziano pero con interacciones atractivas adicionales fuera del área de contacto.

El radio de contacto entre dos esferas de la teoría DMT es

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)}$

y la fuerza de tracción es

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

Cuando se alcanza la fuerza de tracción, el área de contacto se vuelve cero y no hay singularidad en las tensiones de contacto en el borde del área de contacto.

En cuanto al trabajo de adhesión ${\displaystyle \Delta \gamma }$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)}$

y

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

Parámetro Tabor

En 1977, Tabor ^[43] demostró que la aparente contradicción entre las teorías JKR y DMT podía resolverse al observar que las dos teorías eran los límites extremos de una única teoría parametrizada por el parámetro de Tabor ( ) definido como ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu :={\frac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\frac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{\frac {1}{3}}}$

donde es la separación de equilibrio entre las dos superficies en contacto. La teoría JKR se aplica a esferas grandes y flexibles para las que es grande. La teoría DMT se aplica a esferas pequeñas y rígidas con valores pequeños de . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Posteriormente, Derjaguin y sus colaboradores ^[44] , al aplicar la ley de fuerza superficial de Bradley a un semiespacio elástico, confirmaron que a medida que aumenta el parámetro Tabor, la fuerza de tracción disminuye desde el valor de Bradley hasta el valor de JKR . Greenwood ^[45] realizó cálculos más detallados posteriormente, revelando la curva de carga/aproximación en forma de S que explica el efecto de salto. Feng ^[46] proporcionó un método más eficiente para realizar los cálculos y resultados adicionales. ${\displaystyle 2\pi R\Delta \gamma }$ ${\displaystyle (3/2)\pi R\Delta \gamma }$

Modelo de contacto elástico de Maugis-Dugdale

Esquema del área de contacto para el modelo Maugis-Dugdale

^{Maugis [9]} proporcionó una mejora adicional a la idea de Tabor al representar la fuerza superficial en términos de una aproximación de zona cohesiva de Dugdale, de modo que el trabajo de adhesión está dado por

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}$

donde es la fuerza máxima predicha por el potencial de Lennard-Jones y es la separación máxima obtenida al hacer coincidir las áreas bajo las curvas de Dugdale y Lennard-Jones (ver figura adyacente). Esto significa que la fuerza de atracción es constante para . No hay más penetración en la compresión. El contacto perfecto ocurre en un área de radio y las fuerzas adhesivas de magnitud se extienden a un área de radio . En la región , las dos superficies están separadas por una distancia con y . La relación se define como ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle c>a}$ ${\displaystyle a<r<c}$ ${\displaystyle h(r)}$ ${\displaystyle h(a)=0}$ ${\displaystyle h(c)=h_{0}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:={\frac {c}{a}}}$.

En la teoría de Maugis-Dugdale, ^[47] la distribución de tracción superficial se divide en dos partes: una debido a la presión de contacto de Hertz y la otra a la tensión adhesiva de Dugdale. El contacto de Hertz se supone en la región . La contribución a la tracción superficial de la presión de Hertz se da por ${\displaystyle -a<r<a}$

${\displaystyle p^{H}(r)=\left({\frac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

donde la fuerza de contacto de Hertz está dada por ${\displaystyle F^{H}}$

${\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}{3R}}}$

La penetración debida a la compresión elástica es

${\displaystyle d^{H}={\frac {a^{2}}{R}}}$

El desplazamiento vertical en es ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}\left(2-m^{2}\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

y la separación entre las dos superficies es ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)}$

La distribución de la tracción superficial debido a la tensión adhesiva de Dugdale es

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

La fuerza adhesiva total viene dada entonces por

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

La compresión debida a la adhesión de Dugdale es

${\displaystyle d^{D}=-\left({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}}$

y la brecha en es ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{D}(c)=\left({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+1-m\right]}$

La tracción neta sobre el área de contacto se expresa entonces en y la fuerza de contacto neta es . Cuando la tracción adhesiva cae a cero. ${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$ ${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$ ${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$

En esta etapa se introducen valores no dimensionalizados que se desafían como ${\displaystyle a,c,F,d}$

${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\frac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\frac {F}{\pi \Delta \gamma R}}}$

Además, Maugis propuso un parámetro que es equivalente al parámetro Tabor . Este parámetro se define como ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lambda :=\sigma _{0}\left({\frac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.16\mu }$

donde la tensión cohesiva escalonada es igual a la tensión teórica del potencial de Lennard-Jones ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}}$

Zheng y Yu ^[48] sugirieron otro valor para la tensión cohesiva del paso .

${\displaystyle \sigma _{0}=\exp \left(-{\frac {223}{420}}\right)\cdot {\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0.588{\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}}$

para igualar el potencial de Lennard-Jones, lo que lleva a

${\displaystyle \lambda \approx 0.663\mu }$

Entonces la fuerza de contacto neta puede expresarse como

${\displaystyle {\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]}$

y la compresión elástica como

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\frac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}}$

La ecuación para la brecha cohesiva entre los dos cuerpos toma la forma

${\displaystyle {\frac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[\left(m^{2}-2\right)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\frac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1}$

Esta ecuación se puede resolver para obtener valores de para varios valores de y . Para valores grandes de , y se obtiene el modelo JKR. Para valores pequeños de se recupera el modelo DMT. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Modelo Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

El modelo de Maugis-Dugdale solo se puede resolver iterativamente si no se conoce a priori el valor de . La solución aproximada de Carpick-Ogletree-Salmeron (COS) ^[49] (según Robert Carpick , D. Frank Ogletree y Miquel Salmeron) simplifica el proceso utilizando la siguiente relación para determinar el radio de contacto : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=a_{0}(\beta )\left({\frac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{\frac {2}{3}}}$

donde es el área de contacto con carga cero, y es un parámetro de transición que está relacionado con ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda \approx -0.924\ln(1-1.02\beta )}$

El caso corresponde exactamente a la teoría JKR mientras que corresponde a la teoría DMT. Para los casos intermedios, el modelo COS se corresponde estrechamente con la solución de Maugis-Dugdale para . ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle 0<\beta <1}$ ${\displaystyle 0.1<\lambda <5}$

Influencia de la forma del contacto

Incluso en presencia de superficies perfectamente lisas, la geometría puede entrar en juego en forma de la forma macroscópica de la región de contacto. Cuando un punzón rígido con una cara plana pero de forma extraña se separa con cuidado de su contraparte blanda, su desprendimiento no se produce instantáneamente, sino que los frentes de desprendimiento comienzan en las esquinas puntiagudas y se desplazan hacia el interior, hasta que se alcanza la configuración final que, para las formas macroscópicamente isótropas, es casi circular. El parámetro principal que determina la fuerza adhesiva de los contactos planos resulta ser el tamaño lineal máximo del contacto. ^[50] El proceso de desprendimiento se puede ver en la película, como se observa experimentalmente. ^[51]

Véase también

• Adhesivo  : Material no metálico que se utiliza para unir diversos materiales.
• Unión adhesiva  : técnica de unión utilizada en la fabricación y reparación.
• Ferrocarril de adherencia  : ferrocarril que depende de la adherencia para mover los trenes.
• Fuerzas de adhesión superficial  – Propiedad molecular
• Capacidad portante  : Capacidad del suelo para soportar cargas.
• Colisión  : Instancia en la que dos o más cuerpos entran en contacto físico entre sí en un corto período de tiempo.
• Dinámica de contacto  – Movimiento de sistemas multicuerpo
• Resistencia de contacto  : resistencia eléctrica atribuida a las interfaces de contacto (ECR)
• Adhesión dispersiva  : adhesión entre materiales debido a interacciones intermoleculares.
• Generador electrostático  : Dispositivo que genera carga eléctrica en un electrodo de alto voltaje.
• Cemento modificado energéticamente  – Clase de cementos, procesados ​​mecánicamente para transformar la reactividad
• Mecánica de contacto por fricción  – Estudio de la deformación de los cuerpos en presencia de efectos de fricción
• Transmisión por fricción  : transmisión de potencia mecánica por fricción entre componentes.
• Agarrotamiento  : Forma de desgaste causada por la adherencia entre superficies deslizantes.
• Goniómetro  – Instrumento de medición de ángulos
• Mecánica no suave  : enfoque de modelado en mecánica
• Laminación (metalurgia)  – Proceso de conformado de metales
• Choque (mecánica)  : aceleración transitoria repentina
• Problema de Signorini  – Problema de elastoestática en elasticidad lineal
• Tensión superficial  : tendencia de la superficie de un líquido a encogerse para reducir el área superficial.
• Tribología  – Ciencia e ingeniería de superficies que interactúan en movimiento relativo
• Contacto unilateral  : Restricción mecánica que impide la penetración entre dos cuerpos.
• Humectación  : Capacidad de un líquido de mantener contacto con una superficie sólida.

Referencias

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2. Popov, VL (2010). Mecánica de contacto y fricción: principios físicos y aplicaciones . Springer Berlin Heidelberg. pág. 362. ISBN 978-3-642-10803-7.
3. H. Hertz, 1881, Über die berührung fester elastischer Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, págs.156-171. (Para la versión en inglés, consulte: Hertz, H., 1896. On the contact of elastic solids, en: Miscellaneous Papers, Chapter V, pp.146-162 . Por Hertz, H. y Lenard P., traducido por Jones, DE y Schott GA, Londres: Macmillan.
4. Hertz, HR, 1882, Über die Berührung fester elastischer Körper und Über die Härte, Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleisscs , Berlín: Verein zur Beförderung des Gewerbefleisses, págs. 449-463 (para la versión en inglés, consulte: Hertz, H ., 1896. Sobre el contacto de sólidos elásticos rígidos y sobre la dureza, en: Miscellaneous Papers, Capítulo VI, páginas 163-183 por Hertz, H. y Lenard P., traducido por Jones, DE y Schott GA, Londres: Macmillan.
5. Johnson, KL; Kendall, K.; Roberts, AD (8 de septiembre de 1971). "Energía superficial y contacto de sólidos elásticos". Actas de la Royal Society de Londres. A. Ciencias matemáticas y físicas . 324 (1558). La Royal Society: 301–313. Bibcode :1971RSPSA.324..301J. doi : 10.1098/rspa.1971.0141 . ISSN  0080-4630. S2CID  137730057.
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Enlaces externos

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• [2]: Calculadora de mecánica de contactos.
• [3]: cálculos detallados y fórmulas de la teoría JKR para dos esferas.
• [5]: Un código Matlab para el análisis de contacto de Hertz (incluye casos de línea, punto y elíptico).
• [6]: Modelos de adhesión JKR, MD y DMT (rutinas de Matlab).