Solución flamante

Cuña elástica cargada por dos fuerzas en la punta

En mecánica de medios continuos , la solución de Flamant proporciona expresiones para las tensiones y los desplazamientos en una cuña elástica lineal cargada por fuerzas puntuales en su extremo afilado. Esta solución fue desarrollada por Alfred-Aimé Flamant  [fr] en 1892 ^[1] modificando las soluciones tridimensionales para elasticidad lineal de Joseph Valentin Boussinesq .

Las tensiones predichas por la solución de Flamant son (en coordenadas polares )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&={\frac {2C_{1}\cos \theta }{r}}+{\frac {2C_{3}\sin \theta }{r}}\\\sigma _{r\theta }&=0\\\sigma _{\theta \theta }&=0\end{aligned}}}$

donde son constantes que se determinan a partir de las condiciones de contorno y la geometría de la cuña (es decir, los ángulos ) y satisfacen ${\displaystyle C_{1},C_{3}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )\,\cos \theta \,d\theta =0\\F_{2}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )\,\sin \theta \,d\theta =0\end{aligned}}}$

¿Dónde están las fuerzas aplicadas? ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

El problema de la cuña es autosimilar y no tiene una escala de longitud inherente. Además, todas las cantidades se pueden expresar en la forma de variables separadas . Las tensiones varían como . ${\displaystyle \sigma =f(r)g(\theta )}$ ${\displaystyle (1/r)}$

Fuerzas que actúan sobre un semiplano

Semiplano elástico cargado por dos fuerzas puntuales.

Para el caso especial donde , , la cuña se convierte en un semiplano con una fuerza normal y una fuerza tangencial. En ese caso ${\displaystyle \alpha =-\pi }$ ${\displaystyle \beta =0}$

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {F_{1}}{\pi }},\quad C_{3}=-{\frac {F_{2}}{\pi }}}$

Por lo tanto, las tensiones son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {2}{\pi \,r}}(F_{1}\cos \theta +F_{2}\sin \theta )\\\sigma _{r\theta }&=0\\\sigma _{\theta \theta }&=0\end{aligned}}}$

y los desplazamientos son (usando la solución de Michell )

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=-{\cfrac {1}{4\pi \mu }}\left[F_{1}\{(\kappa -1)\theta \sin \theta -\cos \theta +(\kappa +1)\ln r\cos \theta \}+\right.\\&\qquad \qquad \left.F_{2}\{(\kappa -1)\theta \cos \theta +\sin \theta -(\kappa +1)\ln r\sin \theta \}\right]\\u_{\theta }&=-{\cfrac {1}{4\pi \mu }}\left[F_{1}\{(\kappa -1)\theta \cos \theta -\sin \theta -(\kappa +1)\ln r\sin \theta \}-\right.\\&\qquad \qquad \left.F_{2}\{(\kappa -1)\theta \sin \theta +\cos \theta +(\kappa +1)\ln r\cos \theta \}\right]\end{aligned}}}$

La dependencia de los desplazamientos implica que el desplazamiento crece cuanto más nos alejamos del punto de aplicación de la fuerza (y es ilimitado en el infinito). Esta característica de la solución de Flamant es confusa y parece no física. ^[2] ${\displaystyle \ln r}$

Desplazamientos en la superficie del semiplano

Los desplazamientos en las direcciones en la superficie del semiplano están dados por ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {F_{1}(\kappa +1)\ln |x_{1}|}{4\pi \mu }}+{\frac {F_{2}(\kappa +1){\text{sign}}(x_{1})}{8\mu }}\\u_{2}&={\frac {F_{2}(\kappa +1)\ln |x_{1}|}{4\pi \mu }}+{\frac {F_{1}(\kappa +1){\text{sign}}(x_{1})}{8\mu }}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}3-4\nu &\qquad {\text{plane strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&\qquad {\text{plane stress}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \nu }$es el coeficiente de Poisson , es el módulo de corte , y ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\text{sign}}(x)={\begin{cases}+1&x>0\\-1&x<0\end{cases}}}$

Derivación

Si suponemos que las tensiones varían como , podemos elegir términos que contengan en las tensiones de la solución de Michell . Entonces la función de tensión de Airy se puede expresar como ${\displaystyle (1/r)}$ ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle \varphi =C_{1}r\theta \sin \theta +C_{2}r\ln r\cos \theta +C_{3}r\theta \cos \theta +C_{4}r\ln r\sin \theta }$

Por lo tanto, de las tablas de la solución de Michell , tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=C_{1}\left({\frac {2\cos \theta }{r}}\right)+C_{2}\left({\frac {\cos \theta }{r}}\right)+C_{3}\left({\frac {2\sin \theta }{r}}\right)+C_{4}\left({\frac {\sin \theta }{r}}\right)\\\sigma _{r\theta }&=C_{2}\left({\frac {\sin \theta }{r}}\right)+C_{4}\left({\frac {-\cos \theta }{r}}\right)\\\sigma _{\theta \theta }&=C_{2}\left({\frac {\cos \theta }{r}}\right)+C_{4}\left({\frac {\sin \theta }{r}}\right)\end{aligned}}}$

Las constantes pueden entonces, en principio, determinarse a partir de la geometría de la cuña y de las condiciones de contorno aplicadas . ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}}$

Sin embargo, las cargas concentradas en el vértice son difíciles de expresar en términos de condiciones de límite de tracción porque

1. La unidad normal exterior en el vértice no está definida.
2. Las fuerzas se aplican en un punto (que tiene área cero) y, por lo tanto, la tracción en ese punto es infinita.

Cuña elástica acotada para equilibrio de fuerzas y momentos.

Para evitar este problema, consideramos una región acotada de la cuña y consideramos el equilibrio de la cuña acotada. ^{[3] [4]} Sea que la cuña acotada tenga dos superficies libres de tracción y una tercera superficie en forma de arco de círculo con radio . A lo largo del arco del círculo, la normal unitaria exterior es donde los vectores base son . Las tracciones en el arco son ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{r}}$ ${\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })}$

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} \quad \implies t_{r}=\sigma _{rr},~t_{\theta }=\sigma _{r\theta }~.}$

A continuación, examinamos el equilibrio de fuerza y ​​momento en la cuña acotada y obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum f_{1}&=F_{1}+\int _{\alpha }^{\beta }\left[\sigma _{rr}(a,\theta )~\cos \theta -\sigma _{r\theta }(a,\theta )~\sin \theta \right]~a~d\theta =0\\\sum f_{2}&=F_{2}+\int _{\alpha }^{\beta }\left[\sigma _{rr}(a,\theta )~\sin \theta +\sigma _{r\theta }(a,\theta )~\cos \theta \right]~a~d\theta =0\\\sum m_{3}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left[a~\sigma _{r\theta }(a,\theta )\right]~a~d\theta =0\end{aligned}}}$

Requerimos que estas ecuaciones se satisfagan para todos los valores de y por lo tanto satisfagan las condiciones de contorno . ${\displaystyle a\,}$

Las condiciones de contorno libres de tracción en los bordes también implican que ${\displaystyle \theta =\alpha }$ ${\displaystyle \theta =\beta }$

${\displaystyle \sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta \theta }=0\qquad {\text{at}}~~\theta =\alpha ,\theta =\beta }$

excepto en el punto . ${\displaystyle r=0}$

Si asumimos que en todas partes, entonces se satisfacen las condiciones libres de tracción y la ecuación de equilibrio de momento y nos quedamos con ${\displaystyle \sigma _{r\theta }=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+\int _{\alpha }^{\beta }\sigma _{rr}(a,\theta )~a~\cos \theta ~d\theta =0\\F_{2}&+\int _{\alpha }^{\beta }\sigma _{rr}(a,\theta )~a~\sin \theta ~d\theta =0\end{aligned}}}$

y a lo largo de todo el campo excepto en el punto . Pero el campo en todas partes también satisface las ecuaciones de equilibrio de fuerzas. Por lo tanto, esta debe ser la solución. Además, la suposición implica que . ${\displaystyle \sigma _{\theta \theta }=0}$ ${\displaystyle \theta =\alpha ,\theta =\beta }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta \theta }=0}$ ${\displaystyle \sigma _{r\theta }=0}$ ${\displaystyle C_{2}=C_{4}=0}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {2C_{1}\cos \theta }{r}}+{\frac {2C_{3}\sin \theta }{r}}~;~~\sigma _{r\theta }=0~;~~\sigma _{\theta \theta }=0}$

Para encontrar una solución particular para tenemos que introducir la expresión para en las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener un sistema de dos ecuaciones que deben resolverse para : ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ ${\displaystyle C_{1},C_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )~\cos \theta ~d\theta =0\\F_{2}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )~\sin \theta ~d\theta =0\end{aligned}}}$

Fuerzas que actúan sobre un semiplano

Si tomamos y , el problema se convierte en uno en el que una fuerza normal y una fuerza tangencial actúan sobre un semiplano. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas toman la forma ${\displaystyle \alpha =-\pi }$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+2\int _{-\pi }^{0}(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )~\cos \theta ~d\theta =0\qquad \implies F_{1}+C_{1}\pi =0\\F_{2}&+2\int _{-\pi }^{0}(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )~\sin \theta ~d\theta =0\qquad \implies F_{2}+C_{3}\pi =0\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle C_{1}=-{\cfrac {F_{1}}{\pi }}~;~~C_{3}=-{\cfrac {F_{2}}{\pi }}~.}$

Las tensiones de esta situación son:

${\displaystyle \sigma _{rr}=-{\frac {2}{\pi r}}(F_{1}\cos \theta +F_{2}\sin \theta )~;~~\sigma _{r\theta }=0~;~~\sigma _{\theta \theta }=0}$

Utilizando las tablas de desplazamiento de la solución de Michell , los desplazamientos para este caso se dan por

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=-{\cfrac {1}{4\pi \mu }}\left[F_{1}\{(\kappa -1)\theta \sin \theta -\cos \theta +(\kappa +1)\ln r\cos \theta \}+\right.\\&\qquad \qquad \left.F_{2}\{(\kappa -1)\theta \cos \theta +\sin \theta -(\kappa +1)\ln r\sin \theta \}\right]\\u_{\theta }&=-{\cfrac {1}{4\pi \mu }}\left[F_{1}\{(\kappa -1)\theta \cos \theta -\sin \theta -(\kappa +1)\ln r\sin \theta \}-\right.\\&\qquad \qquad \left.F_{2}\{(\kappa -1)\theta \sin \theta +\cos \theta +(\kappa +1)\ln r\cos \theta \}\right]\end{aligned}}}$

Desplazamientos en la superficie del semiplano

Para encontrar expresiones para los desplazamientos en la superficie del semiplano, primero encontramos los desplazamientos para positivo ( ) y negativo ( ) teniendo en cuenta que a lo largo de estas ubicaciones. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle r=|x_{1}|}$

Porque tenemos ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}=u_{1}&={\cfrac {F_{1}}{4\pi \mu }}\left[1-(\kappa +1)\ln |x_{1}|\right]\\u_{\theta }=u_{2}&={\cfrac {F_{2}}{4\pi \mu }}\left[1+(\kappa +1)\ln |x_{1}|\right]\end{aligned}}}$

Porque tenemos ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}=-u_{1}&=-{\cfrac {F_{1}}{4\pi \mu }}\left[1-(\kappa +1)\ln |x_{1}|\right]+{\cfrac {F_{2}}{4\mu }}(\kappa -1)\\u_{\theta }=-u_{2}&={\cfrac {F_{1}}{4\mu }}(\kappa -1)-{\cfrac {F_{2}}{4\pi \mu }}\left[1+(\kappa +1)\ln |x_{1}|\right]\end{aligned}}}$

Podemos hacer que los desplazamientos sean simétricos alrededor del punto de aplicación de la fuerza agregando desplazamientos del cuerpo rígido (lo que no afecta las tensiones)

${\displaystyle u_{1}={\cfrac {F_{2}}{8\mu }}(\kappa -1)~;~~u_{2}={\cfrac {F_{1}}{8\mu }}(\kappa -1)}$

y eliminar los desplazamientos redundantes del cuerpo rígido

${\displaystyle u_{1}={\cfrac {F_{1}}{4\pi \mu }}~;~~u_{2}={\cfrac {F_{2}}{4\pi \mu }}~.}$

Luego los desplazamientos en la superficie se pueden combinar y tomar la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\cfrac {F_{1}}{4\pi \mu }}(\kappa +1)\ln |x_{1}|+{\cfrac {F_{2}}{8\mu }}(\kappa -1){\text{sign}}(x_{1})\\u_{2}&={\cfrac {F_{2}}{4\pi \mu }}(\kappa +1)\ln |x_{1}|+{\cfrac {F_{1}}{8\mu }}(\kappa -1){\text{sign}}(x_{1})\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\text{sign}}(x)={\begin{cases}+1&x>0\\-1&x<0\end{cases}}}$

Referencias

1. A. Flamante. (1892). Sur la répartition des pressions dans un solide rectangular cargogé transversalement. Cuenta. Rendu. Acad. Ciencia. París, vol. 114, pág. 1465.
2. "Problemas de elasticidad en el plano". iMechanica . Consultado el 18 de noviembre de 2024 .
3. Slaughter, WS (2002). La teoría linealizada de la elasticidad . Birkhauser, Boston, pág. 294.
4. JR Barber, 2002, Elasticidad: 2.ª edición , Kluwer Academic Publishers.