Túnel cuántico

Fenómeno mecánico cuántico

En física, el túnel cuántico , la penetración de barreras o simplemente el túnel es un fenómeno de la mecánica cuántica en el que un objeto como un electrón o un átomo atraviesa una barrera de energía potencial que, según la mecánica clásica , no debería ser transitable debido a que el objeto no tiene suficiente energía para pasar o superar la barrera.

La formación de túneles es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia , donde la función de onda cuántica describe el estado de una partícula u otro sistema físico , y las ecuaciones de onda como la ecuación de Schrödinger describen su comportamiento. La probabilidad de transmisión de un paquete de ondas a través de una barrera disminuye exponencialmente con la altura de la barrera, el ancho de la barrera y la masa de la partícula túnel, por lo que la túnelización se ve más prominentemente en partículas de baja masa como electrones o protones que atraviesan barreras microscópicamente estrechas. La formación de túneles es fácilmente detectable con barreras de espesor de aproximadamente 1 a 3 nm o menos para los electrones, y de aproximadamente 0,1 nm o menos para partículas más pesadas, como protones o átomos de hidrógeno. ^[1] Algunas fuentes describen la mera penetración de una función de onda en la barrera, sin transmisión al otro lado, como un efecto túnel, como en la perforación de túneles en las paredes de un pozo de potencial finito . ^{[2] [3]}

La construcción de túneles desempeña un papel esencial en fenómenos físicos como la fusión nuclear ^[4] y la desintegración radiactiva alfa de los núcleos atómicos. Las aplicaciones de túneles incluyen el diodo túnel , ^[5] la computación cuántica , la memoria flash y el microscopio de barrido de túneles . La formación de túneles limita el tamaño mínimo de los dispositivos utilizados en microelectrónica porque los electrones hacen túneles fácilmente a través de capas aislantes y transistores que son más delgados que aproximadamente 1 nm. ^[6]

El efecto se predijo a principios del siglo XX. Su aceptación como fenómeno físico general llegó a mediados de siglo. ^[7]

Introducción al concepto

Animación que muestra el efecto túnel y su aplicación a un STM.

Los túneles cuánticos pertenecen al dominio de la mecánica cuántica . Para comprender el fenómeno , las partículas que intentan atravesar una barrera potencial se pueden comparar con una bola que intenta rodar sobre una colina. La mecánica cuántica y la mecánica clásica difieren en su tratamiento de este escenario.

La mecánica clásica predice que las partículas que no tienen suficiente energía para superar una barrera clásicamente no pueden alcanzar el otro lado. Por lo tanto, una pelota sin suficiente energía para superar la colina rodaría hacia abajo. En la mecánica cuántica, una partícula puede, con una pequeña probabilidad, hacer un túnel hacia el otro lado, cruzando así la barrera. La razón de esta diferencia proviene de tratar la materia como si tuviera propiedades de ondas y partículas .

El problema de los túneles

Una simulación de un paquete de ondas que incide sobre una barrera potencial. En unidades relativas, la energía de la barrera es 20, mayor que la energía media del paquete de ondas de 14. Una parte del paquete de ondas atraviesa la barrera.

La función de onda de un sistema físico de partículas especifica todo lo que se puede saber sobre el sistema. ^[8] Por lo tanto, los problemas de mecánica cuántica analizan la función de onda del sistema. Utilizando formulaciones matemáticas, como la ecuación de Schrödinger , se puede deducir la evolución temporal de una función de onda conocida. El cuadrado del valor absoluto de esta función de onda está directamente relacionado con la distribución de probabilidad de las posiciones de las partículas, que describe la probabilidad de que las partículas se midan en esas posiciones.

Como se muestra en la animación, un paquete de ondas incide en la barrera, la mayor parte se refleja y una parte se transmite a través de la barrera. El paquete de ondas se vuelve más deslocalizado: ahora está a ambos lados de la barrera y es más bajo en amplitud máxima, pero igual en magnitud cuadrada integrada, lo que significa que la probabilidad de que la partícula esté en algún lugar sigue siendo la unidad. Cuanto más ancha sea la barrera y mayor sea la energía de la barrera, menor será la probabilidad de que se forme un túnel.

Algunos modelos de barrera de túnel, como las barreras rectangulares que se muestran, se pueden analizar y resolver algebraicamente. ^{[9] : 96} La mayoría de los problemas no tienen solución algebraica, por lo que se utilizan soluciones numéricas. Los " métodos semiclásicos " ofrecen soluciones aproximadas que son más fáciles de calcular, como la aproximación WKB .

Historia

La ecuación de Schrödinger se publicó en 1926. La primera persona que aplicó la ecuación de Schrödinger a un problema que implicaba la construcción de túneles entre dos regiones clásicamente permitidas a través de una barrera de potencial fue Friedrich Hund en una serie de artículos publicados en 1927. Estudió las soluciones de una doble -Pozo potencial y espectros moleculares discutidos . ^[10] Leonid Mandelstam y Mikhail Leontovich descubrieron la construcción de túneles de forma independiente y publicaron sus resultados en 1928. ^[11]

En 1927, Lothar Nordheim , con la ayuda de Ralph Fowler , publicó un artículo que analizaba la emisión termoiónica y la reflexión de los electrones de los metales. Supuso una barrera de potencial superficial que confina los electrones dentro del metal y demostró que los electrones tienen una probabilidad finita de atravesar la barrera superficial o reflejarse en ella cuando sus energías están cercanas a la energía de la barrera. Clásicamente, el electrón transmitiría o reflejaría con un 100% de certeza, dependiendo de su energía. En 1928 J. Robert Oppenheimer publicó dos artículos sobre la emisión de campo , es decir, la emisión de electrones inducida por fuertes campos eléctricos. Nordheim y Fowler simplificaron la derivación de Oppenheimer y encontraron valores para las corrientes emitidas y funciones de trabajo que coincidían con los experimentos. ^[10]

Un gran éxito de la teoría de los túneles fue la explicación matemática de la desintegración alfa , que fue desarrollada en 1928 por George Gamow e independientemente por Ronald Gurney y Edward Condon . ^{[12] [13] [14] [15]} Estos últimos investigadores resolvieron simultáneamente la ecuación de Schrödinger para un modelo de potencial nuclear y derivaron una relación entre la vida media de la partícula y la energía de emisión que dependía directamente de la probabilidad matemática de túneles. Los tres investigadores estaban familiarizados con los trabajos sobre emisiones de campo ^[10] y Gamow estaba al tanto de los hallazgos de Mandelstam y Leontovich. ^[dieciséis]

En los primeros días de la teoría cuántica, el término efecto túnel no se utilizaba, sino que se hacía referencia al efecto como penetración o fuga a través de una barrera. El término alemán wellenmechanische Tunneleffekt fue utilizado en 1931 por Walter Schottky. ^[10] El término inglés efecto túnel entró en el idioma en 1932 cuando fue utilizado por Yakov Frenkel en su libro de texto. ^[10]

En 1957, Leo Esaki demostró la formación de túneles de electrones a través de una barrera de unos pocos nanómetros de ancho en una estructura semiconductora y desarrolló un diodo basado en el efecto túnel. ^[17] En 1960, siguiendo el trabajo de Esaki, Ivar Giaever demostró experimentalmente que la formación de túneles también tenía lugar en superconductores . El espectro de túneles proporcionó evidencia directa de la brecha de energía superconductora . En 1962, Brian Josephson predijo la tunelización de pares de Cooper superconductores . Esaki, Giaever y Josephson compartieron el Premio Nobel de Física de 1973 por sus trabajos sobre túneles cuánticos en sólidos. ^{[18] [7]}

En 1981, Gerd Binnig y Heinrich Rohrer desarrollaron un nuevo tipo de microscopio, llamado microscopio de efecto túnel , que se basa en la técnica de túneles y se utiliza para obtener imágenes de superficies a nivel atómico . Binnig y Rohrer recibieron el Premio Nobel de Física en 1986 por su descubrimiento. ^[19]

Aplicaciones

La construcción de túneles es la causa de algunos fenómenos físicos macroscópicos importantes.

Física del estado sólido

Electrónica

La construcción de túneles es una fuente de fuga de corriente en la electrónica de integración a muy gran escala (VLSI) y da como resultado un consumo sustancial de energía y efectos de calentamiento que afectan a dichos dispositivos. Se considera el límite inferior de cómo se pueden fabricar los elementos de dispositivos microelectrónicos. ^[20] La creación de túneles es una técnica fundamental utilizada para programar las puertas flotantes de la memoria flash .

Emisión fría

La emisión fría de electrones es relevante para la física de semiconductores y superconductores . Es similar a la emisión termoiónica , donde los electrones saltan aleatoriamente desde la superficie de un metal para seguir un sesgo de voltaje porque estadísticamente terminan con más energía que la barrera, a través de colisiones aleatorias con otras partículas. Cuando el campo eléctrico es muy grande, la barrera se vuelve lo suficientemente delgada como para que los electrones salgan del estado atómico, lo que genera una corriente que varía aproximadamente exponencialmente con el campo eléctrico. ^[21] Estos materiales son importantes para la memoria flash, los tubos de vacío y algunos microscopios electrónicos.

Cruce del túnel

Se puede crear una barrera sencilla separando dos conductores con un aislante muy fino . Se trata de uniones de túneles, cuyo estudio requiere comprender la construcción de túneles cuánticos. ^[22] Las uniones Josephson aprovechan los túneles cuánticos y la superconductividad para crear el efecto Josephson . Esto tiene aplicaciones en mediciones de precisión de voltajes y campos magnéticos , ^[21] así como en la célula solar multiunión .

Diodo de túnel

Un mecanismo de trabajo de un dispositivo de diodo túnel resonante , basado en el fenómeno del túnel cuántico a través de barreras potenciales.

Los diodos son dispositivos semiconductores eléctricos que permiten que la corriente eléctrica fluya en una dirección más que en la otra. El dispositivo depende de una capa de agotamiento entre los semiconductores tipo N y tipo P para cumplir su propósito. Cuando estos están muy dopados, la capa de agotamiento puede ser lo suficientemente delgada como para hacer túneles. Cuando se aplica una pequeña polarización directa, la corriente debida al efecto túnel es significativa. Esto tiene un máximo en el punto donde la polarización de voltaje es tal que el nivel de energía de las bandas de conducción p y n son iguales. A medida que aumenta la polarización de voltaje, las dos bandas de conducción ya no se alinean y el diodo actúa normalmente. ^[23]

Debido a que la corriente de túnel disminuye rápidamente, se pueden crear diodos de túnel que tengan un rango de voltajes para los cuales la corriente disminuye a medida que aumenta el voltaje. Esta propiedad peculiar se utiliza en algunas aplicaciones, como dispositivos de alta velocidad donde la probabilidad de tunelización característica cambia tan rápidamente como el voltaje de polarización. ^[23]

El diodo túnel resonante utiliza el túnel cuántico de una manera muy diferente para lograr un resultado similar. Este diodo tiene un voltaje resonante por lo que una corriente favorece un voltaje particular, que se logra colocando dos capas delgadas con una banda de conductancia de alta energía cerca una de la otra. Esto crea un pozo de potencial cuántico que tiene un nivel de energía más bajo discreto . Cuando este nivel de energía es mayor que el de los electrones, no se produce ningún efecto túnel y el diodo tiene polarización inversa. Una vez que las dos energías de voltaje se alinean, los electrones fluyen como un cable abierto. A medida que el voltaje aumenta aún más, la formación de túneles se vuelve improbable y el diodo vuelve a actuar como un diodo normal antes de que se note un segundo nivel de energía. ^[24]

Transistores de efecto de campo de túnel

Un proyecto de investigación europeo demostró transistores de efecto de campo en los que la puerta (canal) se controla mediante túneles cuánticos en lugar de inyección térmica, lo que reduce el voltaje de la puerta de ≈1 voltio a 0,2 voltios y reduce el consumo de energía hasta 100 veces. Si estos transistores pudieran ampliarse a chips VLSI , mejorarían el rendimiento por potencia de los circuitos integrados . ^{[25] [26]}

Conductividad de sólidos cristalinos.

Si bien el modelo de conductividad eléctrica de Drude-Lorentz hace excelentes predicciones sobre la naturaleza de los electrones conductores en los metales, puede mejorarse mediante el uso de túneles cuánticos para explicar la naturaleza de las colisiones de los electrones. ^[21] Cuando un paquete de ondas de electrones libres encuentra una larga serie de barreras espaciadas uniformemente , la parte reflejada del paquete de ondas interfiere uniformemente con la transmitida entre todas las barreras, de modo que el 100% de transmisión se vuelve posible. La teoría predice que si los núcleos cargados positivamente forman una matriz perfectamente rectangular, los electrones atravesarán el metal como electrones libres, lo que conducirá a una conductancia extremadamente alta , y que las impurezas en el metal lo alterarán. ^[21]

Microscopio de efecto túnel

El microscopio de efecto túnel (STM), inventado por Gerd Binnig y Heinrich Rohrer , puede permitir obtener imágenes de átomos individuales en la superficie de un material. ^[21] Opera aprovechando la relación entre el túnel cuántico y la distancia. Cuando la punta de la aguja del STM se acerca a una superficie de conducción que tiene una polarización de voltaje, medir la corriente de los electrones que hacen túneles entre la aguja y la superficie revela la distancia entre la aguja y la superficie. Mediante el uso de varillas piezoeléctricas que cambian de tamaño cuando se aplica voltaje, se puede ajustar la altura de la punta para mantener constante la corriente de túnel. Los voltajes variables en el tiempo que se aplican a estas varillas se pueden registrar y utilizar para obtener imágenes de la superficie del conductor. ^[21] Los STM tienen una precisión de 0,001 nm, o aproximadamente el 1% del diámetro atómico. ^[24]

Física nuclear

Fusión nuclear

Los túneles cuánticos son un fenómeno esencial para la fusión nuclear. La temperatura en los núcleos estelares es generalmente insuficiente para permitir que los núcleos atómicos superen la barrera de Coulomb y logren la fusión termonuclear . Los túneles cuánticos aumentan la probabilidad de atravesar esta barrera. Aunque esta probabilidad es todavía baja, el número extremadamente grande de núcleos en el núcleo de una estrella es suficiente para mantener una reacción de fusión constante. ^[27]

Desintegración radioactiva

La desintegración radiactiva es el proceso de emisión de partículas y energía desde el núcleo inestable de un átomo para formar un producto estable. Esto se hace mediante la creación de un túnel de una partícula fuera del núcleo (un electrón que hace un túnel hacia el núcleo es captura de electrones ). Esta fue la primera aplicación de la tunelización cuántica. La desintegración radiactiva es una cuestión relevante para la astrobiología ya que esta consecuencia del túnel cuántico crea una fuente de energía constante durante un gran intervalo de tiempo para ambientes fuera de la zona habitable circunestelar donde la insolación no sería posible ( océanos subterráneos ) o efectiva. ^[27]

La tunelización cuántica puede ser uno de los mecanismos de la hipotética desintegración de protones . ^{[28] [29]}

Química

Efecto isotópico cinético

En cinética química , la sustitución de un isótopo ligero de un elemento por uno más pesado normalmente da como resultado una velocidad de reacción más lenta. Esto generalmente se atribuye a diferencias en las energías vibratorias del punto cero para los enlaces químicos que contienen isótopos más ligeros y más pesados ​​y generalmente se modela utilizando la teoría del estado de transición . Sin embargo, en ciertos casos, se observan grandes efectos isotópicos que no pueden explicarse mediante un tratamiento semiclásico, y se requiere la creación de túneles cuánticos. RP Bell desarrolló un tratamiento modificado de la cinética de Arrhenius que se utiliza comúnmente para modelar este fenómeno. ^[30]

Astroquímica en nubes interestelares

Al incluir los túneles cuánticos, se pueden explicar las síntesis astroquímicas de varias moléculas en las nubes interestelares , como la síntesis de hidrógeno molecular , agua ( hielo ) y el importante formaldehído prebiótico . ^[27] Se ha observado en el laboratorio la formación de túneles de hidrógeno molecular. ^[31]

biología cuántica

El túnel cuántico se encuentra entre los efectos cuánticos centrales no triviales de la biología cuántica . ^[32] Aquí es importante tanto como túnel de electrones como de túnel de protones . La tunelización de electrones es un factor clave en muchas reacciones redox bioquímicas ( fotosíntesis , respiración celular ), así como en la catálisis enzimática. El túnel de protones es un factor clave en la mutación espontánea del ADN . ^[27]

La mutación espontánea ocurre cuando la replicación normal del ADN tiene lugar después de que un protón particularmente significativo ha hecho un túnel. ^[33] Un enlace de hidrógeno une los pares de bases del ADN. Un potencial de doble pozo a lo largo de un enlace de hidrógeno separa una barrera de energía potencial. Se cree que el potencial del doble pozo es asimétrico, con un pozo más profundo que el otro, de modo que el protón normalmente descansa en el pozo más profundo. Para que se produzca una mutación, el protón debe haber hecho un túnel hacia el pozo menos profundo. El movimiento del protón desde su posición regular se llama transición tautomérica . Si la replicación del ADN tiene lugar en este estado, la regla de apareamiento de bases del ADN puede verse comprometida y provocar una mutación. ^[34] Per-Olov Lowdin fue el primero en desarrollar esta teoría de la mutación espontánea dentro de la doble hélice . Se cree que otros casos de mutaciones en biología inducidas por túneles cuánticos son causa de envejecimiento y cáncer. ^[35]

discusión matemática

Túnel cuántico a través de una barrera. La energía de la partícula tunelizada es la misma pero la amplitud de probabilidad disminuye.

La ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula en una dimensión se puede escribir como o $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$

dónde

• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,
• m es la masa de la partícula,
• x representa la distancia medida en la dirección del movimiento de la partícula,
• Ψ es la función de onda de Schrödinger,
• V es la energía potencial de la partícula (medida en relación con cualquier nivel de referencia conveniente),
• E es la energía de la partícula asociada con el movimiento en el eje x (medida en relación con V ),
• M ( x ) es una cantidad definida por V ( x ) − E que no tiene un nombre aceptado en física.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger toman diferentes formas para diferentes valores de x , dependiendo de si M ( x ) es positiva o negativa. Cuando M ( x ) es constante y negativa, entonces la ecuación de Schrödinger se puede escribir en la forma $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

Las soluciones de esta ecuación representan ondas viajeras, con constante de fase + k o - k . Alternativamente, si M ( x ) es constante y positiva, entonces la ecuación de Schrödinger se puede escribir en la forma $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad {\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

Las soluciones de esta ecuación son exponenciales ascendentes y descendentes en forma de ondas evanescentes . Cuando M ( x ) varía con la posición, se produce la misma diferencia de comportamiento, dependiendo de si M(x) es negativo o positivo. De ello se deduce que el signo de M ( x ) determina la naturaleza del medio, con M (x) negativo correspondiente al medio A y M ( x ) positivo correspondiente al medio B. Por lo tanto, se deduce que el acoplamiento de ondas evanescentes puede ocurrir si una región de M ( x ) positivo está intercalado entre dos regiones de M ( x ) negativo, creando así una barrera potencial.

Las matemáticas para abordar la situación en la que M ( x ) varía con x son difíciles, excepto en casos especiales que generalmente no corresponden a la realidad física. Un tratamiento matemático completo aparece en la monografía de 1965 de Fröman y Fröman. Sus ideas no se han incorporado a los libros de texto de física, pero sus correcciones tienen poco efecto cuantitativo.

La aproximación WKB

La función de onda se expresa como exponencial de una función:

$${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$dónde $${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

${\displaystyle \Phi '(x)}$Luego se separa en partes reales e imaginarias:

$${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$donde A ( x ) y B ( x ) son funciones de valor real.

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera y utilizando el hecho de que la parte real debe ser 0, se obtiene:

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

Túneles cuánticos en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica. Función de Wigner para hacer túneles a través de la barrera de potencial en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano . ${\displaystyle U(x)=8e^{-0.25x^{2}}}$ ${\displaystyle H(x,p)=p^{2}/2+U(x)}$

Para resolver esta ecuación usando la aproximación semiclásica, cada función debe expandirse como una serie de potencias en . De las ecuaciones, la serie de potencias debe comenzar con al menos un orden de para satisfacer la parte real de la ecuación; porque es preferible un buen límite clásico que comience con la potencia más alta posible de la constante de Planck , lo que conduce a y con las siguientes restricciones en los términos de orden más bajo, y ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar ^{-1}}$ $${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$$ $${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),}$$ $${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$$ $${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.}$$

Llegados a este punto se pueden considerar dos casos extremos.

Caso 1

Si la amplitud varía lentamente en comparación con la fase y que corresponde al movimiento clásico. Resolver el siguiente orden de expansión produce ${\displaystyle A_{0}(x)=0}$ $${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$$ $${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$$

Caso 2

Si la fase varía lentamente en comparación con la amplitud, y que corresponde a la tunelización. Resolver el siguiente orden de la expansión produce ${\displaystyle B_{0}(x)=0}$ $${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$$ $${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$$

En ambos casos se desprende del denominador que ambas soluciones aproximadas son malas cerca de los puntos de inflexión clásicos . Lejos de la colina potencial, la partícula actúa de manera similar a una onda libre y oscilante; debajo de la colina potencial, la partícula sufre cambios exponenciales de amplitud. Al considerar el comportamiento en estos límites y los puntos de inflexión clásicos, se puede llegar a una solución global. ${\displaystyle E=V(x)}$

Para empezar, se elige un punto de inflexión clásico y se amplía en una serie de potencias sobre : ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$$

Mantener solo el término de primer orden garantiza la linealidad: $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}$$

Usando esta aproximación, la ecuación cerca se convierte en una ecuación diferencial : ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$$

Esto se puede resolver utilizando funciones de Airy como solución.

$${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$$

Tomando estas soluciones para todos los puntos de inflexión clásicos, se puede formar una solución global que vincule las soluciones limitantes. Dados los dos coeficientes de un lado de un punto de inflexión clásico, los dos coeficientes del otro lado de un punto de inflexión clásico se pueden determinar utilizando esta solución local para conectarlos.

Por lo tanto, las soluciones de la función de Airy realizarán asíntotas en funciones seno, coseno y exponencial en los límites adecuados. Las relaciones entre y son ${\displaystyle C,\theta }$ ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$

$${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$$y

Túnel cuántico a través de una barrera. En el origen ( x = 0), hay una barrera de potencial muy alta, pero estrecha. Se puede observar un importante efecto túnel.

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

Con los coeficientes encontrados se puede encontrar la solución global. Por lo tanto, el coeficiente de transmisión para un túnel de partículas a través de una única barrera potencial es

$${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}$$

¿Dónde están los dos puntos de inflexión clásicos para la barrera potencial? ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

Para una barrera rectangular, esta expresión se simplifica a: $${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}$$

Más rapido que la luz

Algunos físicos han afirmado que es posible que las partículas de espín cero viajen más rápido que la velocidad de la luz al hacer túneles. ^[7] Esto parece violar el principio de causalidad , ya que entonces existe un marco de referencia en el que la partícula llega antes de salir. En 1998, Francis E. Low revisó brevemente el fenómeno de los túneles en tiempo cero. ^[36] Más recientemente, Günter Nimtz publicó datos experimentales sobre el tiempo de túnel de fonones , fotones y electrones . ^[37] Otro experimento supervisado por AM Steinberg , parece indicar que las partículas podrían hacer túneles a velocidades aparentes más rápidas que la luz. ^{[38] [39]}

Otros físicos, como Herbert Winful , ^[40] cuestionaron estas afirmaciones. Winful argumentó que el paquete de ondas de una partícula túnel se propaga localmente, por lo que una partícula no puede atravesar la barrera de forma no local. Winful también argumentó que los experimentos que supuestamente muestran una propagación no local han sido mal interpretados. En particular, la velocidad de grupo de un paquete de ondas no mide su velocidad, sino que está relacionada con la cantidad de tiempo que el paquete de ondas permanece almacenado en la barrera. Además, si el túnel cuántico se modela con la ecuación relativista de Dirac , teoremas matemáticos bien establecidos implican que el proceso es completamente subluminal. ^{[41] [42]}

Túnel dinámico

Oscilaciones de probabilidad de túnel cuántico en un doble pozo de potencial integrable, visto en el espacio de fase

El concepto de túnel cuántico se puede extender a situaciones en las que existe un transporte cuántico entre regiones que clásicamente no están conectadas incluso si no existe una barrera potencial asociada. Este fenómeno se conoce como túnel dinámico. ^{[43] [44]}

Túneles en el espacio de fases

El concepto de túnel dinámico es particularmente adecuado para abordar el problema del túnel cuántico en grandes dimensiones (d>1). En el caso de un sistema integrable , donde las trayectorias clásicas acotadas están confinadas a toros en el espacio de fases , el efecto túnel puede entenderse como el transporte cuántico entre estados semiclásicos construidos sobre dos toros distintos pero simétricos. ^[45]

Túneles asistidos por el caos

Oscilaciones de túneles asistidas por el caos entre dos tori regulares incrustados en un mar caótico, vistas en el espacio de fases

En la vida real, la mayoría de los sistemas no son integrables y muestran diversos grados de caos. Se dice entonces que la dinámica clásica es mixta y que el espacio de fases del sistema se compone típicamente de islas de órbitas regulares rodeadas por un gran mar de órbitas caóticas. La existencia del mar caótico, donde clásicamente se permite el transporte, entre los dos toros simétricos favorece el túnel cuántico entre ellos. Este fenómeno se conoce como túneles asistidos por caos. ^[46] y se caracteriza por fuertes resonancias de la tasa de tunelización al variar cualquier parámetro del sistema.

Túnel asistido por resonancia

Cuando es pequeño frente al tamaño de las islas regulares, la fina estructura del espacio de fase clásico juega un papel clave en la construcción de túneles. En particular, los dos toros simétricos están acoplados "mediante una sucesión de transiciones clásicamente prohibidas a través de resonancias no lineales" que rodean las dos islas. ^[47] ${\displaystyle \hbar }$

Fenómenos relacionados

Varios fenómenos tienen el mismo comportamiento que el túnel cuántico. Dos ejemplos son el acoplamiento de ondas evanescentes ^[48] (la aplicación de la ecuación de ondas de Maxwell a la luz ) y la aplicación de la ecuación de ondas no dispersivas de la acústica aplicada a las "ondas en cuerdas" . ^{[ cita necesaria ]}

Estos efectos se modelan de manera similar a la barrera de potencial rectangular . En estos casos, un medio de transmisión a través del cual se propaga la onda es el mismo o casi igual en todas partes, y un segundo medio a través del cual la onda viaja de manera diferente. Esto se puede describir como una región delgada del medio B entre dos regiones del medio A. El análisis de una barrera rectangular mediante la ecuación de Schrödinger se puede adaptar a estos otros efectos siempre que la ecuación de onda tenga soluciones de ondas viajeras en el medio A pero Soluciones exponenciales reales en medio B.

En óptica , el medio A es vacío mientras que el medio B es vidrio. En acústica, el medio A puede ser líquido o gaseoso y el medio B, un sólido. En ambos casos, el medio A es una región del espacio donde la energía total de la partícula es mayor que su energía potencial y el medio B es la barrera potencial. Estos tienen una onda entrante y ondas resultantes en ambas direcciones. Puede haber más medios y barreras, y las barreras no tienen por qué ser discretas. Las aproximaciones son útiles en este caso.

Una asociación clásica onda-partícula se analizó originalmente como análoga al túnel cuántico, ^[49] pero un análisis posterior encontró una causa de dinámica de fluidos relacionada con el impulso vertical impartido a las partículas cercanas a la barrera. ^[50]

Ver también

• Descarga de barrera dieléctrica
• Emisión de electrones de campo
• Método Holstein-Arenque
• Túnel de protones
• Clonación cuántica
• Unión de túnel superconductor
• Diodo de túnel
• Cruce del túnel
• agujero blanco

Referencias

1. Estudiante; Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Nueva York: VCH. pag. 1308.ISBN​ 978-0-89573-752-6.
2. Davies, PCW (6 de mayo de 2004). "La mecánica cuántica y el principio de equivalencia". Gravedad clásica y cuántica . 21 (11): 2761–2772. arXiv : quant-ph/0403027 . Código Bib : 2004CQGra..21.2761D. doi :10.1088/0264-9381/21/11/017. ISSN  0264-9381. Pero las partículas cuánticas son capaces de hacer un túnel hacia la región clásicamente prohibida...
3. Cazador de aves, Michael. "Partícula en caja finita y túneles". Química de LibreTexts . Consultado el 4 de septiembre de 2023 . Es posible hacer un túnel hacia la barrera (muro).
4. Servía; Vuille (2008). Física universitaria . vol. 2 (Octava ed.). Belmont: Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-55475-2.
5. Taylor, J. (2004). Física moderna para científicos e ingenieros . Prentice Hall. pag. 234.ISBN​ 978-0-13-805715-2.
6. "Efectos cuánticos a 7/5 nm y más". Ingeniería de semiconductores . Consultado el 15 de julio de 2018 .
7. Razavy, Mohsen (2003). Teoría cuántica de los túneles . Científico mundial. págs.4, 462. ISBN 978-9812564887.
8. Bjorken y Drell, Mecánica cuántica relativista , Mcgraw-Hill College, 1965. p. 2
9. Mesías, Albert (1966). Mecánica cuántica. Holanda del Norte, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244.
10. Merzbacher, Eugen (agosto de 2002). "La historia temprana de los túneles cuánticos". Física hoy . 55 (8): 44–49. Código Bib : 2002PhT....55h..44M. doi : 10.1063/1.1510281 . Consultado el 17 de agosto de 2022 . Friedrich Hund... fue el primero en hacer uso de la penetración de barreras mecánicas cuánticas...
11. Mandelstam, L.; Leontowitsch, M. (1928). "Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung". Zeitschrift für Physik . 47 (1–2): 131–136. Código Bib : 1928ZPhy...47..131M. doi :10.1007/BF01391061. S2CID  125101370.
12. Gurney, RW; Condon, UE (1928). "Mecánica cuántica y desintegración radiactiva". Naturaleza . 122 (3073): 439. Bibcode :1928Natur.122..439G. doi : 10.1038/122439a0 . S2CID  4090561.
13. Gurney, RW; Condon, UE (1929). "Mecánica cuántica y desintegración radiactiva". Revisión física . 33 (2): 127–140. Código bibliográfico : 1929PhRv...33..127G. doi : 10.1103/PhysRev.33.127.
14. Bethe, Hans (27 de octubre de 1966). "Hans Bethe - Sesión I". Biblioteca y Archivos Niels Bohr, Instituto Americano de Física, College Park, Maryland, EE. UU. (Entrevista). Entrevistado por Charles Weiner; Jagdish Mehra . Universidad de Cornell . Consultado el 1 de mayo de 2016 .
15. Friedlander, Gerhart; Kennedy, José E.; Molinero, Julián Malcolm (1964). Nuclear y Radioquímica (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 225–7. ISBN 978-0-471-86255-0.
16. Feinberg, EL (2002). "El antepasado (sobre Leonid Isaakovich Mandelstam)". Física-Uspekhi . 45 (1): 81-100. Código Bib : 2002PhyU...45...81F. doi :10.1070/PU2002v045n01ABEH001126. S2CID  250780246.
17. Esaki, Leo (22 de marzo de 1974). "Largo viaje hacia la construcción de túneles". Ciencia . 183 (4130): 1149-1155. Código bibliográfico : 1974 Ciencia... 183.1149E. doi : 10.1126/ciencia.183.4130.1149. ISSN  0036-8075. PMID  17789212. S2CID  44642243.
18. Dardo, M. (Mauro) (2004). Los premios Nobel y la física del siglo XX. Archivo de Internet. Cambridge, Reino Unido; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83247-2.
19. Binnig G, Rohrer H (1 de julio de 1987). "Microscopía de efecto túnel: desde el nacimiento hasta la adolescencia". Reseñas de Física Moderna . 59 (3): 615–625. Código bibliográfico : 1987RvMP...59..615B. doi : 10.1103/RevModPhys.59.615 .
20. "Aplicaciones de la construcción de túneles". psi.phys.wits.ac.za. ​Consultado el 30 de abril de 2023 .
21. Taylor, J. (2004). Física moderna para científicos e ingenieros . Prentice Hall. pag. 479.ISBN​ 978-0-13-805715-2.
22. Estudiante; Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Nueva York: VCH. págs. 1308-1309. ISBN 978-0-89573-752-6.
23. Krane, Kenneth (1983). Física moderna. Nueva York: John Wiley and Sons. pag. 423.ISBN​ 978-0-471-07963-7.
24. Caballero, RD (2004). Física para científicos e ingenieros: con la física moderna . Educación Pearson. pag. 1311.ISBN​ 978-0-321-22369-2.
25. Ionescu, Adrián M.; Riel, Heike (2011). "Transistores de efecto de campo de túnel como interruptores electrónicos de bajo consumo". Naturaleza . 479 (7373): 329–337. Código Bib :2011Natur.479..329I. doi : 10.1038/naturaleza10679. PMID  22094693. S2CID  4322368.
26. Vyas, PB; Naquín, C.; Edwards, H.; Lee, M.; Vandenberghe, WG; Fischetti, MV (23 de enero de 2017). "Simulación teórica de transconductancia diferencial negativa en dispositivos nMOS de pozo cuántico lateral". Revista de Física Aplicada . 121 (4): 044501. Código bibliográfico : 2017JAP...121d4501V. doi : 10.1063/1.4974469. ISSN  0021-8979.
27. Trixler, F. (2013). "Túnel cuántico hacia el origen y evolución de la vida". Química Orgánica Actual . 17 (16): 1758-1770. doi :10.2174/13852728113179990083. PMC 3768233 . PMID  24039543. 
28. Talou, P.; Carján, N.; Strottman, D. (1998). "Propiedades dependientes del tiempo de la desintegración de protones al cruzar estados metaestables de una sola partícula en núcleos deformados". Revisión Física C. 58 (6): 3280–3285. arXiv : nucl-th/9809006 . Código bibliográfico : 1998PhRvC..58.3280T. doi : 10.1103/PhysRevC.58.3280. S2CID  119075457.
29. "adsabs.harvard.edu".
30. Campana, Ronald Percy (1980). El efecto túnel en química . Londres: Chapman y Hall. ISBN 0412213400. OCLC  6854792.
31. Salvaje, Robert; Nötzold, Markus; Simpson, Malcolm; Tran, Thuy Dung; Wester, Roland (1 de marzo de 2023). "Túnel medido en una reacción ion-molécula muy lenta". Naturaleza . 615 (7952): 425–429. arXiv : 2303.14948 . Código Bib :2023Natur.615..425W. doi :10.1038/s41586-023-05727-z. ISSN  1476-4687. PMID  36859549. S2CID  257282176.
32. Trixler, F. (2013). "Túnel cuántico hacia el origen y la evolución de la vida". Química Orgánica Actual . 17 (16): 1758-1770. doi :10.2174/13852728113179990083. PMC 3768233 . PMID  24039543. 
33. Matta, Cherif F. (2014). Bioquímica cuántica: estructura electrónica y actividad biológica. Weinheim: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-62922-0.
34. Majumdar, Rabi (2011). Mecánica cuántica: en física y química con aplicaciones a la biolotería. Nuevo: Aprendizaje de PHI. ISBN 9788120343047.
35. Cooper, WG (junio de 1993). "Funciones de la evolución, la mecánica cuántica y las mutaciones puntuales en los orígenes del cáncer". Bioquímica Bioquímica del Cáncer . 13 (3): 147-170. PMID  8111728.
36. Bajo, FE (1998). "Comentarios sobre la aparente propagación superluminal". Ana. Física. 7 (7–8): 660–661. Código Bib : 1998AnP...510..660L. doi :10.1002/(SICI)1521-3889(199812)7:7/8<660::AID-ANDP660>3.0.CO;2-0. S2CID  122717505.
37. Nimtz, G. (2011). "La construcción de túneles se enfrenta a la relatividad especial". Encontró. Física. 41 (7): 1193-1199. arXiv : 1003.3944 . Código bibliográfico : 2011FoPh...41.1193N. doi :10.1007/s10701-011-9539-2. S2CID  119249900.
38. "El tiempo de construcción de túneles cuánticos se mide utilizando átomos ultrafríos - Physics World". 22 de julio de 2020.
39. "Revista Quanta". 20 de octubre de 2020.
40. Winful, HG (2006). "El tiempo de construcción de túneles, el efecto Hartman y la superluminalidad: una propuesta de resolución de una vieja paradoja". Física. Representante 436 (1–2): 1–69. Código Bib : 2006PhR...436....1W. doi :10.1016/j.physrep.2006.09.002.
41. La ecuación de Dirac. doi :10.1007/978-3-662-02753-0.
42. Gavassino, L.; Disconzi, MM (13 de marzo de 2023). "Subluminalidad del túnel cuántico relativista". Revisión física A. 107 (3): 032209. arXiv : 2208.09742 . doi :10.1103/PhysRevA.107.032209.
43. Davis, Michael J.; Heller, Eric J. (1 de julio de 1981). "Túnel dinámico cuántico en estados ligados". La Revista de Física Química . 75 (1): 246–254. Código bibliográfico : 1981JChPh..75..246D. doi : 10.1063/1.441832. ISSN  0021-9606.
44. Keshavamurthy, Srihari; Schlagheck, Peter (9 de marzo de 2011). Túneles dinámicos: teoría y experimento. Prensa CRC. ISBN 978-1-4398-1666-0.
45. Wilkinson, Michael (1 de septiembre de 1986). "Túnel entre tori en el espacio de fases". Physica D: Fenómenos no lineales . 21 (2): 341–354. Código bibliográfico : 1986PhyD...21..341W. doi :10.1016/0167-2789(86)90009-6. ISSN  0167-2789.
46. Tomsovic, Steven; Ullmo, Denis (1 de julio de 1994). "Túneles asistidos por el caos". Revisión física E. 50 (1): 145-162. Código Bib : 1994PhRvE..50..145T. doi :10.1103/PhysRevE.50.145. PMID  9961952.
47. Brodier, Olivier; Schlagheck, Peter; Ullmo, Denis (25 de agosto de 2002). "Túnel asistido por resonancia". Anales de Física . 300 (1): 88-136. arXiv : nlin/0205054 . Código Bib : 2002AnPhy.300...88B. doi :10.1006/aphy.2002.6281. ISSN  0003-4916. S2CID  51895893.
48. Martín, Th.; Landauer, R. (1 de febrero de 1992). "Retraso de tiempo de ondas electromagnéticas evanescentes y la analogía con el túnel de partículas". Revisión física A. 45 (4): 2611–2617. Código bibliográfico : 1992PhRvA..45.2611M. doi :10.1103/PhysRevA.45.2611. ISSN  1050-2947. PMID  9907285.
49. Eddi, A.; Fuerte, E.; Moisés, F.; Couder, Y. (16 de junio de 2009). "Túnel impredecible de una asociación clásica onda-partícula" (PDF) . Cartas de revisión física . 102 (24): 240401. Código bibliográfico : 2009PhRvL.102x0401E. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.240401. PMID  19658983. Archivado desde el original (PDF) el 10 de marzo de 2016 . Consultado el 1 de mayo de 2016 .
50. Bush, John WM; Oza, Anand U (1 de enero de 2021). "Análogos cuánticos hidrodinámicos". Informes sobre los avances en física . 84 (1): 017001. doi : 10.1088/1361-6633/abc22c. ISSN  0034-4885. PMID  33065567.

Otras lecturas

• Binney, James; Skinner, D. (2010). La física de la mecánica cuántica: una introducción (3ª ed.). Archivo Capilla. ISBN 978-1-902918-51-8.
• Fröman, N.; Fröman, P.-O. (1965). Aproximación JWKB: Aportes a la Teoría . Ámsterdam: Holanda Septentrional.
• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Liboff, Richard L. (2002). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Müller-Kirsten, HJW (2012). Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2ª ed . Singapur: World Scientific.
• Razavy, Mohsen (2003). Teoría cuántica de los túneles . Científico mundial. ISBN 978-981-238-019-7.
• Vilenkin, Alejandro; Vilenkin, Alejandro; Winitzki, Serge (2003). "Creación de partículas en un universo túnel". Revisión física D. 68 (2): 023520. arXiv : gr-qc/0210034 . Código bibliográfico : 2003PhRvD..68b3520H. doi : 10.1103/PhysRevD.68.023520. S2CID  118969589.
• Lobo, EL (2012). Principios de la espectroscopia de túneles de electrones . Serie internacional de monografías sobre física (2 ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-958949-4.

enlaces externos

• Animación, aplicaciones e investigaciones relacionadas con el efecto túnel y otros fenómenos cuánticos (Université Paris Sud)
• Ilustración animada de túneles cuánticos.
• Ilustración animada de túneles cuánticos en un dispositivo RTD
• Solución interactiva de la ecuación del túnel de Schrodinger