Coeficiente binomial

Número de subconjuntos de un tamaño determinado

Los coeficientes binomiales se pueden ordenar para formar el triángulo de Pascal , en el que cada entrada es la suma de las dos inmediatamente anteriores.

Visualización de la expansión binomial hasta la 4ta potencia.

En matemáticas , los coeficientes binomiales son los números enteros positivos que aparecen como coeficientes en el teorema del binomio . Comúnmente, un coeficiente binomial está indexado por un par de números enteros n ≥ k ≥ 0 y se escribe como el coeficiente del término x ^k en la expansión polinómica de la potencia binomial (1 + x ) ⁿ ; este coeficiente se puede calcular mediante la fórmula multiplicativa ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times \cdots \times 1}},}$

que usando notación factorial se puede expresar de forma compacta como

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Por ejemplo, la cuarta potencia de 1 + x es

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}}$

y el coeficiente binomial es el coeficiente del término x ² . ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6}$

Al organizar los números en filas sucesivas para n = 0, 1, 2, ... se obtiene una matriz triangular llamada triángulo de Pascal , que satisface la relación de recurrencia. ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.}$

Los coeficientes binomiales se dan en muchas áreas de las matemáticas, y especialmente en la combinatoria . El símbolo generalmente se lee como " n elige k " porque hay formas de elegir un subconjunto (desordenado) de k elementos de un conjunto fijo de n elementos. Por ejemplo, hay formas de elegir 2 elementos de {1, 2, 3, 4} , es decir, {1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4 } y {3, 4} . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$

Los coeficientes binomiales se pueden generalizar para cualquier número complejo z y entero k ≥ 0 , y muchas de sus propiedades continúan manteniéndose en esta forma más general. ${\displaystyle {\tbinom {z}{k}}}$

Historia y notación

Andreas von Ettingshausen introdujo la notación en 1826, ^[1] aunque los números se conocían siglos antes (véase el triángulo de Pascal ). Aproximadamente en 1150, el matemático indio Bhaskaracharya hizo una exposición de los coeficientes binomiales en su libro Līlāvatī . ^[2] ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Las notaciones alternativas incluyen C ( n , k ) , _n C _k , ⁿ C _k , C^kn
_​, ^[3] C^nk
_​y C _{n , k} , en todos los cuales C representa combinaciones o elecciones . Muchas calculadoras utilizan variantes de la notación C porque pueden representarla en una pantalla de una sola línea. De esta forma, los coeficientes binomiales se comparan fácilmente con k -permutaciones de n , escritas como P ( n , k ) , etc.

Definición e interpretaciones

Para los números naturales (que incluyen 0) n y k , el coeficiente binomial se puede definir como el coeficiente del monomio X ^k en la expansión de (1 + X ) ⁿ . El mismo coeficiente también ocurre (si k ≤ n ) en la fórmula binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

(válido para cualquier elemento x , y de un anillo conmutativo ), lo que explica el nombre "coeficiente binomial".

Otra aparición de este número es en combinatoria, donde indica el número de formas, sin tener en cuenta el orden, en que se pueden elegir k objetos entre n objetos; más formalmente, el número de k -subconjuntos de elementos (o k -combinaciones ) de un conjunto de n elementos. Este número puede verse igual al de la primera definición, independientemente de cualquiera de las fórmulas siguientes para calcularlo: si en cada uno de los n factores de la potencia (1 + X ) ⁿ se etiqueta temporalmente el término X con un índice i (que va de 1 a n ), entonces cada subconjunto de k índices da después de la expansión una contribución X ^k , y el coeficiente de ese monomio en el resultado será el número de dichos subconjuntos. Esto muestra en particular que es un número natural para cualquier número natural n y k . Hay muchas otras interpretaciones combinatorias de los coeficientes binomiales (problemas de conteo cuya respuesta viene dada por una expresión de coeficiente binomial), por ejemplo, el número de palabras formadas por n bits (dígitos 0 o 1) cuya suma es k está dada por , mientras que el número de formas de escribir donde cada a _i es un entero no negativo viene dado por . Se puede demostrar que la mayoría de estas interpretaciones son equivalentes a contar k combinaciones. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{n-1}}}$

Calcular el valor de los coeficientes binomiales

Existen varios métodos para calcular el valor de sin expandir realmente una potencia binomial ni contar k combinaciones. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Fórmula recursiva

Un método utiliza la fórmula recursiva y puramente aditiva.

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$$

${\displaystyle n,k}$ ${\displaystyle 1\leq k<n,}$

$${\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}$$

norte ≥ 0

La fórmula se desprende de considerar el conjunto {1, 2, 3, ..., n } y contar por separado (a) las k agrupaciones de elementos que incluyen un elemento particular del conjunto, digamos " i ", en cada grupo (ya que " i " ya está elegido para llenar un lugar en cada grupo, solo necesitamos elegir k − 1 del resto n − 1 ) y (b) todos los k -grupos que no incluyen " i "; esto enumera todas las k posibles combinaciones de n elementos. También se deduce del seguimiento de las contribuciones a X ^k en (1 + X ) ^{n −1} (1 + X ) . Como hay cero X ^{n +1} o X ⁻¹ en (1 + X ) ⁿ , se podría extender la definición más allá de los límites anteriores para incluir cuando k > n o k < 0 . Esta fórmula recursiva permite entonces construir el triángulo de Pascal , rodeado de espacios en blanco donde estarían los ceros, o los coeficientes triviales. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$

Fórmula multiplicativa

Un método más eficiente para calcular coeficientes binomiales individuales viene dado por la fórmula

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},}$$

potencia factorial decrecienteknk ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$

Debido a la simetría del coeficiente binomial con respecto a k y n − k , el cálculo se puede optimizar estableciendo el límite superior del producto anterior al menor de k y n − k .

fórmula factorial

Finalmente, aunque computacionalmente inadecuada, está la forma compacta, frecuentemente utilizada en pruebas y derivaciones, que hace uso repetido de la conocida función factorial :

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}$$

norte ! n( n − k )! kn

lo que conduce a una rutina computacional multiplicativa más eficiente. Usando la notación factorial descendente ,

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}n^{\underline {k}}/k!&{\text{if }}\ k\leq {\frac {n}{2}}\\n^{\underline {n-k}}/(n-k)!&{\text{if }}\ k>{\frac {n}{2}}\end{cases}}.}$$

Generalización y conexión a la serie binomial.

La fórmula multiplicativa permite ampliar la definición de coeficientes binomiales ^[4] reemplazando n por un número arbitrario α (negativo, real, complejo) o incluso un elemento de cualquier anillo conmutativo en el que todos los números enteros positivos sean invertibles:

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .}$$

Con esta definición se tiene una generalización de la fórmula binomial (con una de las variables establecida en 1), lo que justifica seguir llamando a los coeficientes binomiales: ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$

Esta fórmula es válida para todos los números complejos α y X con | X | < 1. También puede interpretarse como una identidad de series de potencias formales en X , donde en realidad puede servir como definición de potencias arbitrarias de series de potencias con coeficiente constante igual a 1; El punto es que con esta definición se mantienen todas las identidades que uno espera para la exponenciación , en particular

$${\displaystyle (1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\text{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.}$$

Si α es un entero no negativo n , entonces todos los términos con k > n son cero y la serie infinita se convierte en una suma finita, recuperando así la fórmula binomial. Sin embargo, para otros valores de α , incluidos los números enteros negativos y los números racionales, la serie es realmente infinita.

el triangulo de pascal

Fila número 1000 del triángulo de Pascal, dispuesta verticalmente, con representaciones en escala de grises de los dígitos decimales de los coeficientes, alineados a la derecha. El límite izquierdo de la imagen corresponde aproximadamente a la gráfica del logaritmo de los coeficientes binomiales e ilustra que forman una secuencia log-cóncava .

La regla de Pascal es la relación de recurrencia importante.

que se puede utilizar para demostrar por inducción matemática que es un número natural para todo entero n ≥ 0 y todo entero k , un hecho que no es inmediatamente obvio a partir de la fórmula (1). A la izquierda y a la derecha del triángulo de Pascal, las entradas (mostradas como espacios en blanco) son todas cero. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

La regla de Pascal también da lugar al triángulo de Pascal :

El número de fila n contiene los números para k = 0,…, n . Se construye colocando primero unos en las posiciones más externas y luego llenando cada posición interna con la suma de los dos números directamente arriba. Este método permite el cálculo rápido de coeficientes binomiales sin necesidad de fracciones ni multiplicaciones. Por ejemplo, al observar la fila número 5 del triángulo, uno puede leer rápidamente que ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

${\displaystyle (x+y)^{5}={\underline {1}}x^{5}+{\underline {5}}x^{4}y+{\underline {10}}x^{3}y^{2}+{\underline {10}}x^{2}y^{3}+{\underline {5}}xy^{4}+{\underline {1}}y^{5}.}$

Combinatoria y estadística.

Los coeficientes binomiales son importantes en combinatoria porque proporcionan fórmulas listas para ciertos problemas de conteo frecuentes:

• Hay formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos. Ver Combinación . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$
• Hay formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos si se permiten repeticiones. Consulte Conjunto múltiple . ${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$
• Hay cadenas que contienen k unos yn ceros. ${\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}}$
• Hay cadenas que constan de k unos yn ceros de modo que no hay dos unos adyacentes. ^[5] ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}}$
• Los números catalanes son ${\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}.}$
• La distribución binomial en estadística es ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

Coeficientes binomiales como polinomios

Para cualquier entero no negativo k , la expresión se puede simplificar y definir como un polinomio dividido por k . : ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$

${\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {t^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}};}$

esto presenta un polinomio en t con coeficientes racionales .

Como tal, se puede evaluar en cualquier número real o complejo t para definir coeficientes binomiales con esos primeros argumentos. Estos "coeficientes binomiales generalizados" aparecen en el teorema del binomio generalizado de Newton .

Para cada k , el polinomio se puede caracterizar como el polinomio k de grado único p ( t ) que satisface p (0) = p (1) = ⋯ = p ( k − 1) = 0 y p ( k ) = 1 . ${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$

Sus coeficientes se pueden expresar en términos de números de Stirling de primera especie :

${\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.}$

La derivada de se puede calcular mediante diferenciación logarítmica : ${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}.}$

Esto puede causar un problema cuando se evalúa en números enteros desde hasta , pero usando las identidades siguientes podemos calcular la derivada como: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t-1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {(-1)^{k-i-1}}{k-i}}{\binom {t}{i}}.}$

Coeficientes binomiales como base para el espacio de polinomios.

Sobre cualquier campo de característica 0 (es decir, cualquier campo que contenga números racionales ), cada polinomio p ( t ) de grado como máximo d es expresable de forma única como una combinación lineal de coeficientes binomiales. El coeficiente a _k es la k ésima diferencia de la secuencia p (0), p (1), ..., p ( k ). Explícitamente, ^[6] ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$

Polinomios con valores enteros

Cada polinomio tiene un valor entero : tiene un valor entero en todas las entradas enteras . (Una forma de demostrar esto es mediante inducción en k , usando la identidad de Pascal ). Por lo tanto, cualquier combinación lineal entera de polinomios de coeficientes binomiales también tiene valores enteros. Por el contrario, ( 4 ) muestra que cualquier polinomio con valores enteros es una combinación lineal entera de estos polinomios de coeficientes binomiales. De manera más general, para cualquier subanillo R de un campo característico 0 K , un polinomio en K [ t ] toma valores en R en todos los números enteros si y solo si es una R -combinación lineal de polinomios de coeficientes binomiales. ${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$ ${\displaystyle t}$

Ejemplo

El polinomio de valores enteros 3 t (3 t + 1) / 2 se puede reescribir como

${\displaystyle 9{\binom {t}{2}}+6{\binom {t}{1}}+0{\binom {t}{0}}.}$

Identidades que involucran coeficientes binomiales

La fórmula factorial facilita relacionar coeficientes binomiales cercanos. Por ejemplo, si k es un entero positivo y n es arbitrario, entonces

y, con un poco más de trabajo,

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

También podemos conseguir

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={\frac {n-k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

Además, lo siguiente puede resultar útil:

${\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}={\binom {n}{h+k}}{\binom {h+k}{h}}.}$

Para la constante n , tenemos la siguiente recurrencia:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}.}$

Para resumir, tenemos

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-1}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n}{n-2k}}{\Bigg (}{\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}{\Bigg )}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.}$

Sumas de los coeficientes binomiales

La formula

dice que los elementos en la n- ésima fila del triángulo de Pascal siempre suman 2 elevado a la n- ésima potencia. Esto se obtiene del teorema del binomio ( ∗ ) estableciendo x = 1 e y = 1 . La fórmula también tiene una interpretación combinatoria natural: el lado izquierdo suma el número de subconjuntos de {1, ..., n } de tamaños k = 0, 1, ..., n , dando el número total de subconjuntos. (Es decir, el lado izquierdo cuenta el conjunto potencia de {1,..., n }.) Sin embargo, estos subconjuntos también se pueden generar eligiendo o excluyendo sucesivamente cada elemento 1,..., n ; las n opciones binarias independientes (cadenas de bits) permiten un total de opciones. Los lados izquierdo y derecho son dos formas de contar la misma colección de subconjuntos, por lo que son iguales. ${\displaystyle 2^{n}}$

las formulas

y

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}$

se sigue del teorema del binomio después de derivar con respecto a x (dos veces para este último) y luego sustituir x = y = 1 .

La identidad de Chu-Vandermonde , que es válida para cualquier valor complejo m y n y cualquier entero no negativo k , es

y se puede encontrar examinando el coeficiente de en la expansión de (1 + x ) ^m (1 + x ) ^{n − m} = (1 + x ) ⁿ usando la ecuación ( 2 ). Cuando m = 1 , la ecuación ( 7 ) se reduce a la ecuación ( 3 ). En el caso especial n = 2 m , k = m , usando ( 1 ), la expansión ( 7 ) se convierte (como se ve en el triángulo de Pascal a la derecha) ${\displaystyle x^{k}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\qquad 1\\1\qquad 2\qquad 1\\{\color {blue}1\qquad 3\qquad 3\qquad 1}\\1\qquad 4\qquad 6\qquad 4\qquad 1\\1\qquad 5\qquad 10\qquad 10\qquad 5\qquad 1\\1\qquad 6\qquad 15\qquad {\color {red}20}\qquad 15\qquad 6\qquad 1\\1\qquad 7\qquad 21\qquad 35\qquad 35\qquad 21\qquad 7\qquad 1\end{array}}}$

Triángulo de Pascal, filas 0 a 7. La ecuación 8 para m = 3 se ilustra en las filas 3 y 6 como ${\displaystyle 1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.}$

donde el término del lado derecho es un coeficiente binomial central .

Otra forma de la identidad de Chu-Vandermonde, que se aplica a cualquier número entero j , k y n que satisfaga 0 ≤ j ≤ k ≤ n , es

La prueba es similar, pero utiliza la expansión de la serie binomial ( 2 ) con exponentes enteros negativos. Cuando j = k , la ecuación ( 9 ) da la identidad del palo de hockey

${\displaystyle \sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}$

y su pariente

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m}{\binom {n+r}{r}}={\binom {n+m+1}{m}}.}$

Sea F ( n ) el enésimo número de Fibonacci . Entonces

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1).}$

Esto se puede demostrar por inducción usando ( 3 ) o por la representación de Zeckendorf . A continuación se proporciona una prueba combinatoria.

Multisecciones de sumas

Para números enteros s y t tales que la serie multisección da la siguiente identidad para la suma de coeficientes binomiales: ${\displaystyle 0\leq t<s,}$

${\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.}$

Para los pequeños , estas series tienen formas especialmente bonitas; por ejemplo, ^[7]

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-4)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{9}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\sin {\frac {n\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{6}}+{\binom {n}{10}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}-2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{3}}+{\binom {n}{7}}+{\binom {n}{11}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}-2^{\frac {n}{2}}\sin {\frac {n\pi }{4}}\right)}$

sumas parciales

Aunque no existe una fórmula cerrada para sumas parciales

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {n}{j}}}$

de coeficientes binomiales, ^[8] se puede usar nuevamente ( 3 ) y la inducción para demostrar que para k = 0,…, n − 1 ,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},}$

con caso especial ^[9]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0}$

para norte > 0 . Este último resultado es también un caso especial del resultado de la teoría de diferencias finitas que para cualquier polinomio P ( x ) de grado menor que n , ^[10]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.}$

Diferenciar ( 2 ) k veces y establecer x = −1 produce esto para , cuando 0 ≤ k < n , y el caso general se sigue tomando combinaciones lineales de estas. ${\displaystyle P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)}$

Cuando P ( x ) es de grado menor o igual que n ,

donde es el coeficiente de grado n en P ( x ). ${\displaystyle a_{n}}$

Más generalmente para ( 10 ),

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(m+(n-j)d)=d^{n}n!a_{n}}$

donde m y d son números complejos. Esto sigue inmediatamente aplicando ( 10 ) al polinomio en lugar de , y observando que todavía tiene grado menor o igual a n , y que su coeficiente de grado n es d ⁿ a _n . ${\displaystyle Q(x):=P(m+dx)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)}$

La serie es convergente para k ≥ 2. Esta fórmula se utiliza en el análisis del problema de los tanques alemanes . Se deduce de lo cual se prueba por inducción en M . ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$

Identidades con pruebas combinatorias

Muchas identidades que implican coeficientes binomiales se pueden demostrar mediante métodos combinatorios . Por ejemplo, para números enteros no negativos , la identidad ${\displaystyle {n}\geq {q}}$

${\displaystyle \sum _{k=q}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{q}}=2^{n-q}{\binom {n}{q}}}$

(que se reduce a ( 6 ) cuando q = 1) se le puede dar una prueba de doble conteo , de la siguiente manera. El lado izquierdo cuenta el número de formas de seleccionar un subconjunto de [ n ] = {1, 2, ..., n } con al menos q elementos, y marcar q elementos entre los seleccionados. El lado derecho cuenta lo mismo, porque hay formas de elegir un conjunto de q elementos para marcar, y de elegir cuáles de los elementos restantes de [ n ] también pertenecen al subconjunto. ${\displaystyle {\tbinom {n}{q}}}$ ${\displaystyle 2^{n-q}}$

En la identidad de Pascal

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k},}$

ambos lados cuentan el número de k -subconjuntos de elementos de [ n ]: los dos términos del lado derecho los agrupan en aquellos que contienen el elemento n y los que no.

La identidad ( 8 ) también tiene una prueba combinatoria. La identidad dice

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}.}$

Supongamos que tiene cuadrados vacíos dispuestos en una fila y desea marcar (seleccionar) n de ellos. Hay maneras de hacer esto. Por otro lado, puedes seleccionar tus n cuadrados seleccionando k cuadrados de entre los primeros n y cuadrados de los n cuadrados restantes; cualquier k de 0 an funcionará . Esto da ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$ ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}}={\binom {2n}{n}}.}$

Ahora aplique ( 1 ) para obtener el resultado.

Si se denota por F ( i ) la secuencia de números de Fibonacci , indexados de manera que F (0) = F (1) = 1 , entonces la identidad

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n)}$$

^[11]inducciónF ( n )n × 12 × 11 × 1k2 × 1n − 2 k1 × 1n − kk ${\displaystyle {\tbinom {n-k}{k}}}$

Fila de suma de coeficientes

El número de k - combinaciones para todo k , , es la suma de la enésima fila (contando desde 0) de los coeficientes binomiales. Estas combinaciones se enumeran mediante los dígitos 1 del conjunto de números de base 2 contando desde 0 hasta , donde cada posición de dígito es un elemento del conjunto de n . ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

La identidad de Dixon.

La identidad de Dixon es

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}$

o, más generalmente,

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,}$

donde a , b y c son números enteros no negativos.

Identidades continuas

Ciertas integrales trigonométricas tienen valores expresables en términos de coeficientes binomiales: para cualquier ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}(x)\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ odd}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ even}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Estos se pueden demostrar usando la fórmula de Euler para convertir funciones trigonométricas en exponenciales complejas, expandiendo usando el teorema del binomio e integrando término por término.

Congruencias

Si n es primo, entonces

$${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n}$$

knkkn ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1.}$

De hecho, tenemos

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={(n-1)(n-2)\cdots (n-k) \over 1\cdot 2\cdots k}=\prod _{i=1}^{k}{n-i \over i}\equiv \prod _{i=1}^{k}{-i \over i}=(-1)^{k}\mod n.}$

Funciones generadoras

Funciones generadoras ordinarias

Para un n fijo , la función generadora ordinaria de la secuencia es ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}.}$

Para una k fija , la función generadora ordinaria de la secuencia es ${\displaystyle {\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{n \choose k}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.}$

La función generadora bivariada de los coeficientes binomiales es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$

Una función generadora bivariada simétrica de los coeficientes binomiales es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-x-y}}.}$

que es la misma que la función generadora anterior después de la sustitución . ${\displaystyle x\to xy}$

Función generadora exponencial

Una función generadora bivariada exponencial simétrica de los coeficientes binomiales es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose k}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}.}$

Propiedades de divisibilidad

En 1852, Kummer demostró que si myn son enteros no negativos y p es un número primo, entonces la mayor potencia de p dividiendo es igual a p ^c , donde c es el número de acarreos cuando myn se suman en base p . De manera equivalente, el exponente de un primo p en es igual al número de enteros no negativos j tales que la parte fraccionaria de k / p ^j es mayor que la parte fraccionaria de n / p ^j . De esto se puede deducir que es divisible por n / mcd ( n , k ). En particular, se deduce que p divide para todos los enteros positivos r y s tales que s < p ^r . Sin embargo, esto no es cierto para potencias superiores de p : por ejemplo, 9 no divide . ${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {p^{r}}{s}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {9}{6}}}$

Un resultado algo sorprendente de David Singmaster (1974) es que cualquier número entero divide a casi todos los coeficientes binomiales. Más precisamente, arregle un número entero d y sea f ( N ) el número de coeficientes binomiales con n < N tales que d divide . Entonces ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {f(N)}{N(N+1)/2}}=1.}$

Dado que el número de coeficientes binomiales con n < N es N ( N + 1) / 2, esto implica que la densidad de coeficientes binomiales divisible por d llega a 1. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Los coeficientes binomiales tienen propiedades de divisibilidad relacionadas con el mínimo común múltiplo de números enteros consecutivos. Por ejemplo: ^[12]

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}$divide . ${\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}}$

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}$es un múltiplo de . ${\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}}$

Otro hecho: un número entero n ≥ 2 es primo si y sólo si todos los coeficientes binomiales intermedios

${\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}}$

son divisibles por n .

Prueba: cuando p es primo, p se divide

${\displaystyle {\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}}$para todo 0 < k < p

porque es un número natural y p divide al numerador pero no al denominador. Cuando n es compuesto, sea p el factor primo más pequeño de n y sea k = n / p . Entonces 0 < p < n y ${\displaystyle {\tbinom {p}{k}}}$

${\displaystyle {\binom {n}{p}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)}{p!}}={\frac {k(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)}{(p-1)!}}\not \equiv 0{\pmod {n}}}$

de lo contrario, el numerador k ( n − 1)( n − 2)⋯( n − p + 1) tiene que ser divisible por n = k × p , este solo puede ser el caso cuando ( n − 1)( n − 2) ⋯( n − p + 1) es divisible por p . Pero n es divisible por p , entonces p no divide a n − 1, n − 2,…, n − p + 1 y como p es primo, sabemos que p no divide a ( n − 1)( n − 2) ⋯( n − p + 1) y por lo tanto el numerador no puede ser divisible por n .

Límites y fórmulas asintóticas.

Los siguientes límites se mantienen para todos los valores de n y k tales que 1 ≤ k ≤ n : ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.}$$

$${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n}{k}}\cdot {\frac {n-1}{k-1}}\cdots {\frac {n-(k-1)}{1}}}$$

${\displaystyle k}$ ${\textstyle \geq {\frac {n}{k}}}$ ${\textstyle e^{k}>k^{k}/k!}$ ${\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}$

De las propiedades de divisibilidad podemos inferir que

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}},}$$

^[12]

Los siguientes límites son útiles en la teoría de la información: ^{[13] : 353}

$${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}2^{nH(k/n)}\leq {n \choose k}\leq 2^{nH(k/n)}}$$

función de entropía binaria ${\displaystyle H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)}$

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {n}{8k(n-k)}}}2^{nH(k/n)}\leq {n \choose k}\leq {\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}2^{nH(k/n)}}$$

^{[14] : 309} ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$

Tanto n como k son grandes

La aproximación de Stirling produce la siguiente aproximación, válida cuando ambas tienden al infinito: ${\displaystyle n-k,k}$

$${\displaystyle {n \choose k}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}}$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$$

m ≥ 2n ≥ 1^{[ ¿por qué? ]} ${\displaystyle {\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}}$

$${\displaystyle {\sqrt {n}}{mn \choose n}\geq {\frac {m^{m(n-1)+1}}{(m-1)^{(m-1)(n-1)}}}.}$$

Si n es grande y k es lineal en n , existen varias estimaciones asintóticas precisas para el coeficiente binomial . Por ejemplo, si entonces ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle |n/2-k|=o(n^{2/3})}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}$$

renortek^[15]

n mucho mayor que k

Si n es grande y k es o ( n ) (es decir, si k / n → 0 ), entonces

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)}$$

opequeña notación o^[dieciséis]

Sumas de coeficientes binomiales

Se puede obtener un límite superior simple y aproximado para la suma de coeficientes binomiales utilizando el teorema del binomio :

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose i}\leq \sum _{i=0}^{k}n^{i}\cdot 1^{k-i}\leq (1+n)^{k}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {8n\varepsilon (1-\varepsilon )}}}\cdot 2^{H(\varepsilon )\cdot n}\leq \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq 2^{H(\varepsilon )\cdot n},}$$

^[17] ${\displaystyle n>k\geq 1}$ ${\displaystyle \varepsilon \doteq k/n\leq 1/2}$

Coeficientes binomiales generalizados

La fórmula del producto infinito para la función gamma también da una expresión para coeficientes binomiales.

$${\displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}$$

$${\displaystyle {z \choose k}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{and}}\qquad {z+k \choose k}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}$$

${\displaystyle k\to \infty }$

Este comportamiento asintótico está contenido en la aproximación

$${\displaystyle {z+k \choose k}\approx {\frac {e^{z(H_{k}-\gamma )}}{\Gamma (z+1)}}}$$

knúmero armónicoconstante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Además, la fórmula asintótica

$${\displaystyle {\frac {z+k \choose j}{k \choose j}}\to \left(1-{\frac {j}{k}}\right)^{-z}\quad {\text{and}}\quad {\frac {j \choose j-k}{j-z \choose j-k}}\to \left({\frac {j}{k}}\right)^{z}}$$

${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle j/k\to x}$ ${\displaystyle x}$

Generalizaciones

Generalización a multinomios

Los coeficientes binomiales se pueden generalizar a coeficientes multinomiales definidos como el número:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}}$

dónde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.}$

Mientras que los coeficientes binomiales representan los coeficientes de ( x + y ) ⁿ , los coeficientes multinomiales representan los coeficientes del polinomio

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r})^{n}.}$

El caso r = 2 da coeficientes binomiales:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2}}={n \choose k_{1},n-k_{1}}={n \choose k_{1}}={n \choose k_{2}}.}$

La interpretación combinatoria de los coeficientes multinomiales es la distribución de n elementos distinguibles en r contenedores (distinguibles), cada uno de los cuales contiene exactamente k _i elementos, donde i es el índice del contenedor.

Los coeficientes multinomiales tienen muchas propiedades similares a las de los coeficientes binomiales, por ejemplo, la relación de recurrencia:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}={n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},\ldots ,k_{r}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{r}}+\ldots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}-1}}$

y simetría:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}={n \choose k_{\sigma _{1}},k_{\sigma _{2}},\ldots ,k_{\sigma _{r}}}}$

donde es una permutación de (1, 2, ..., r ). ${\displaystyle (\sigma _{i})}$

serie de taylor

Usando números de Stirling del primer tipo, la expansión de la serie alrededor de cualquier punto elegido arbitrariamente es ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{z \choose k}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{z_{0} \choose j-i}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}z_{0}^{j-i}{j \choose i}{\frac {s_{k,j}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Coeficiente binomial con n = 1/2

La definición de los coeficientes binomiales se puede ampliar al caso en que es real y es un número entero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

En particular, la siguiente identidad se cumple para cualquier número entero no negativo : ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {{1/2} \choose {k}}={{2k} \choose {k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.}$

Esto aparece cuando se expande a una serie de potencias usando la serie binomial de Newton: ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}.}$

Productos de coeficientes binomiales.

Se puede expresar el producto de dos coeficientes binomiales como una combinación lineal de coeficientes binomiales:

${\displaystyle {z \choose m}{z \choose n}=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{m+n-k \choose k,m-k,n-k}{z \choose m+n-k},}$

donde los coeficientes de conexión son coeficientes multinomiales . En términos de objetos combinatorios etiquetados, los coeficientes de conexión representan el número de formas de asignar m + n − k etiquetas a un par de objetos combinatorios etiquetados (de peso m y n respectivamente) a los que se les han identificado o pegado sus primeras k etiquetas. para obtener un nuevo objeto combinatorio etiquetado de peso m + n − k . (Es decir, separar las etiquetas en tres porciones para aplicarlas a la parte pegada, la parte no pegada del primer objeto y la parte no pegada del segundo objeto). En este sentido, los coeficientes binomiales son series generadoras exponenciales de lo que son los factoriales descendentes. son para series generadoras ordinarias.

El producto de todos los coeficientes binomiales en la enésima fila del triángulo de Pascal viene dado por la fórmula:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=\prod _{k=1}^{n}k^{2k-n-1}.}$

Descomposición en fracciones parciales

La descomposición en fracciones parciales del recíproco viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{z \choose n}}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}{n \choose i}{\frac {n-i}{z-i}},\qquad {\frac {1}{z+n \choose n}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{n \choose i}{\frac {i}{z+i}}.}$

Serie binomial de Newton

La serie binomial de Newton, llamada así en honor a Sir Isaac Newton , es una generalización del teorema binomial a series infinitas:

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}z^{n}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots .}$

La identidad se puede obtener mostrando que ambos lados satisfacen la ecuación diferencial (1 + z ) f' ( z ) = α f ( z ) .

El radio de convergencia de esta serie es 1. Una expresión alternativa es

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\alpha +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{n+\alpha \choose n}z^{n}}$

donde la identidad

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{k}{k-n-1 \choose k}}$

Está aplicado.

Coeficiente binomial multiconjunto (ascendente)

Los coeficientes binomiales cuentan subconjuntos de tamaño prescrito de un conjunto determinado. Un problema combinatorio relacionado es contar conjuntos múltiples de tamaño prescrito con elementos extraídos de un conjunto dado, es decir, contar el número de formas de seleccionar un cierto número de elementos de un conjunto dado con la posibilidad de seleccionar el mismo elemento repetidamente. Los números resultantes se denominan coeficientes multiconjunto ; ^[18] se denota el número de formas de "seleccionar múltiples" (es decir, elegir con reemplazo) k elementos de un conjunto de n elementos . ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$

Para evitar ambigüedad y confusión con la denotación principal de n en este artículo,
sea f = n = r + ( k − 1) y r = f − ( k − 1) .

Los coeficientes de conjuntos múltiples se pueden expresar en términos de coeficientes binomiales mediante la regla

$${\displaystyle {\binom {f}{k}}=\left(\!\!{\binom {r}{k}}\!\!\right)={\binom {r+k-1}{k}}.}$$

factorial descendente

$${\displaystyle (f)_{k}=f^{\underline {k}}=(f-k+1)\cdots (f-3)\cdot (f-2)\cdot (f-1)\cdot f,}$$

$${\displaystyle r^{(k)}=\,r^{\overline {k}}=\,r\cdot (r+1)\cdot (r+2)\cdot (r+3)\cdots (r+k-1);}$$

$${\displaystyle 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20\cdot 21=(21)_{5}=21^{\underline {5}}=17^{\overline {5}}=17^{(5)}.}$$

$${\displaystyle {\binom {f}{k}}={\frac {(f)_{k}}{k!}}={\frac {(f-k+1)\cdots (f-2)\cdot (f-1)\cdot f}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}},}$$

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {r}{k}}\!\!\right)={\frac {r^{(k)}}{k!}}={\frac {r\cdot (r+1)\cdot (r+2)\cdots (r+k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}}.}$$

Generalización a enteros negativos n

Coeficientes binomiales C  ( n , k ) extendidos para n negativo y fraccionario, ilustrados con un binomio simple . Se puede observar que el triángulo de Pascal se gira y se niegan los términos alternos. El caso n  = −1 da la serie de Grandi .

Para cualquier n ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-n}{k}}&={\frac {-n\cdot -(n+1)\dots -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}\\&=(-1)^{k}\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)\;.\end{aligned}}}$

En particular, los coeficientes binomiales evaluados en números enteros negativos n están dados por coeficientes multiconjunto con signo. En el caso especial , esto se reduce a ${\displaystyle n=-1}$ ${\displaystyle (-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).}$

Por ejemplo, si n = −4 y k = 7, entonces r = 4 y f = 10:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-4}{7}}&={\frac {-10\cdot -9\cdot -8\cdot -7\cdot -6\cdot -5\cdot -4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=(-1)^{7}\;{\frac {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=\left(\!\!{\binom {-7}{7}}\!\!\right)\left(\!\!{\binom {4}{7}}\!\!\right)={\binom {-1}{7}}{\binom {10}{7}}.\end{aligned}}}$

Dos argumentos valorados reales o complejos

El coeficiente binomial se generaliza a dos argumentos de valores reales o complejos utilizando la función gamma o la función beta mediante

${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (y+1,x-y+1)}}.}$

Esta definición hereda las siguientes propiedades adicionales de : ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{-y-1 \choose -x-1}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{y-x-1 \choose y};}$

además,

${\displaystyle {x \choose y}\cdot {y \choose x}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}.}$

La función resultante ha sido poco estudiada y aparentemente se graficó por primera vez en (Fowler 1996). En particular, muchas identidades binomiales fallan: excepto para n positivo (tan negativo). El comportamiento es bastante complejo y marcadamente diferente en varios octantes (es decir, con respecto a los ejes x e y y la línea ), y el comportamiento para x negativo tiene singularidades en valores enteros negativos y un tablero de ajedrez de regiones positivas y negativas: ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle y=x}$

• en el octante es una forma suavemente interpolada del binomio habitual, con una cresta ("cresta de Pascal"). ${\displaystyle 0\leq y\leq x}$
• en el octante y en el cuadrante la función es cercana a cero. ${\displaystyle 0\leq x\leq y}$ ${\displaystyle x\geq 0,y\leq 0}$
• en el cuadrante la función es alternativamente muy grande positiva y negativa en los paralelogramos con vértices ${\displaystyle x\leq 0,y\geq 0}$
  $${\displaystyle (-n,m+1),(-n,m),(-n-1,m-1),(-n-1,m)}$$
• en el octante el comportamiento vuelve a ser alternativamente positivo y negativo muy grande, pero en una cuadrícula. ${\displaystyle 0>x>y}$
• en el octante es cercano a cero, excepto cerca de las singularidades. ${\displaystyle -1>y>x+1}$

Generalización a q -series

El coeficiente binomial tiene una generalización analógica q conocida como coeficiente binomial gaussiano .

Generalización a infinitos cardinales.

La definición del coeficiente binomial se puede generalizar a infinitos cardinales definiendo:

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }=\left|\left\{B\subseteq A:\left|B\right|=\beta \right\}\right|}$

donde A es un conjunto con cardinalidad . Se puede demostrar que el coeficiente binomial generalizado está bien definido, en el sentido de que no importa qué conjunto elijamos para representar el número cardinal , seguirá siendo el mismo. Para cardinales finitos, esta definición coincide con la definición estándar del coeficiente binomial. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle {\alpha \choose \beta }}$

Asumiendo el axioma de elección , se puede demostrar que para cualquier cardinal infinito . ${\textstyle {\alpha \choose \alpha }=2^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ver también

• transformada binomial
• número de delannoy
• número euleriano
• Función hipergeométrica
• Lista de temas factoriales y binomiales
• Representación de Macaulay de un número entero
• número de Motzkin
• Multiplicidades de entradas en el triángulo de Pascal
• número de narayana
• Teorema de la estrella de David
• La curiosa identidad del sol
• Tabla de series newtonianas
• Expansión trinomio

Notas

1. Higham (1998)
2. Lilavati Sección 6, Capítulo 4 (ver Knuth (1997)).
3. Uspensky 1937, pag. 18
4. Ver (Graham, Knuth y Patashnik 1994), que también define para . Las generalizaciones alternativas, como dos argumentos con valores reales o complejos que utilizan la función Gamma, asignan valores distintos de cero a for , pero esto hace que la mayoría de las identidades de coeficientes binomiales fallen y, por lo tanto, no se utilizan ampliamente en la mayoría de las definiciones. Una de esas elecciones de valores distintos de cero conduce al estéticamente agradable "molino de viento de Pascal" en Hilton, Holton y Pedersen, Reflexiones matemáticas: en una habitación con muchos espejos , Springer, 1997, pero hace que incluso la identidad de Pascal falle (en el origen). ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$ ${\displaystyle k<0}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle k<0}$
5. Muir, Thomas (1902). "Nota sobre combinaciones seleccionadas". Actas de la Real Sociedad de Edimburgo .
6. Esto puede verse como un análogo discreto del teorema de Taylor . Está estrechamente relacionado con el polinomio de Newton . Las sumas alternas de esta forma pueden expresarse como la integral de Nörlund-Rice .
7. Gradshteyn y Ryzhik (2014, págs. 3-4).
8. Boardman, Michael (2004), "The Egg-Drop Numbers", Mathematics Magazine , 77 (5): 368–372, doi :10.2307/3219201, JSTOR  3219201, MR  1573776, es bien sabido que no existe una forma cerrada (es decir, fórmula directa) para la suma parcial de coeficientes binomiales.
9. ver inducción desarrollada en la ecuación (7) p. 1389 en Aupetit, Michael (2009), "Partición múltiple casi homogénea con un generador determinista", Neurocomputing , 72 (7–9): 1379–1389, doi :10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN  0925-2312.
10. Ruiz, Sebastián (1996). "Una identidad algebraica que conduce al teorema de Wilson". La Gaceta Matemática . 80 (489): 579–582. arXiv : matemáticas/0406086 . doi :10.2307/3618534. JSTOR  3618534. S2CID  125556648.
11. Benjamín y Quinn 2003, págs.4-5
12. Farhi, Bakir (2007). "Límites inferiores no triviales para el mínimo común múltiplo de alguna secuencia finita de números enteros". Revista de teoría de números . 125 (2): 393–411. arXiv : 0803.0290 . doi :10.1016/j.jnt.2006.10.017. S2CID  115167580.
13. Thomas M. Portada; Joy A. Thomas (18 de julio de 2006). Elementos de la teoría de la información . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 0-471-24195-4.
14. FJ MacWilliams; NJA Sloane (1981). La teoría de los códigos correctores de errores . vol. 16 (3ª ed.). Holanda del Norte. ISBN 0-444-85009-0.
15. Spencer, Joel ; Florescu, Laura (2014). Asintopia . Biblioteca matemática para estudiantes. vol. 71. AMS . pag. 66.ISBN _ 978-1-4704-0904-3. OCLC  865574788.
16. Spencer, Joel ; Florescu, Laura (2014). Asintopia . Biblioteca matemática para estudiantes. vol. 71. AMS . pag. 59.ISBN​ 978-1-4704-0904-3. OCLC  865574788.
17. véase, por ejemplo, Ash (1990, p. 121) o Flum & Grohe (2006, p. 427).
18. Munarini, Emanuele (2011), "Matrices de Riordan y sumas de números armónicos" (PDF) , Análisis aplicable y matemáticas discretas , 5 (2): 176–200, doi :10.2298/AADM110609014M, MR  2867317.

Referencias

• Ceniza, Robert B. (1990) [1965]. Teoría de la información . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-66521-6.
• Benjamín, Arthur T .; Quinn, Jennifer J. (2003). Pruebas que realmente cuentan: el arte de la prueba combinatoria . Exposiciones Matemáticas Dolciani. vol. 27. Asociación Matemática de América . ISBN 978-0-88385-333-7.
• Bryant, Víctor (1993). Aspectos de la combinatoria . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-41974-3.
• Flum, Jörg; Grohe, Martín (2006). Teoría de la Complejidad Parametrizada. Saltador. ISBN 978-3-540-29952-3. Archivado desde el original el 18 de noviembre de 2007 . Consultado el 28 de agosto de 2017 .
• Fowler, David (enero de 1996). "La función del coeficiente binomial". El Mensual Matemático Estadounidense . Asociación Matemática de América. 103 (1): 1–17. doi :10.2307/2975209. JSTOR  2975209.
• Goetgheluck, P. (1987). "Cálculo de coeficientes binomiales". Mensual Matemático Estadounidense . 94 (4): 360–365. doi :10.2307/2323099. JSTOR  2323099.
• Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas (Segunda ed.). Addison-Wesley. págs. 153-256. ISBN 0-201-55802-5.
• Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM (2014). Tabla de integrales, series y productos (8ª ed.). Prensa académica. ISBN 978-0-12-384933-5.
• Grinshpan, AZ (2010), "Desigualdades ponderadas y binomios negativos", Avances en Matemáticas Aplicadas , 45 (4): 564–606, doi : 10.1016/j.aam.2010.04.004
• Higham, Nicolás J. (1998). Manual de escritura para las ciencias matemáticas . SIAM . pag. 25.ISBN _ 0-89871-420-6.
• Knuth, Donald E. (1997). El arte de la programación informática, volumen 1: algoritmos fundamentales(Tercera ed.). Addison-Wesley. págs. 52–74. ISBN 0-201-89683-4.
• Maestro cantante, David (1974). "Notas sobre coeficientes binomiales. III. Cualquier número entero divide a casi todos los coeficientes binomiales". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 8 (3): 555–560. doi :10.1112/jlms/s2-8.3.555.
• Shilov, GE (1977). Álgebra lineal . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-63518-7.
• Uspensky, James (1937), Introducción a la probabilidad matemática, McGraw-Hill

enlaces externos

• "Coeficientes binomiales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Andrés Granville (1997). "Propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales I. Coeficientes binomiales módulo de potencias primas". Conferencia CMS. Proc . 20 : 151-162. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2015 . Consultado el 3 de septiembre de 2013 .

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