Principio de superposición

Principio fundamental de la física que establece que las soluciones físicas de sistemas lineales son lineales.

Superposición de ondas casi planas (líneas diagonales) de una fuente lejana y ondas de la estela de los patos . La linealidad se mantiene sólo aproximadamente en el agua y sólo para ondas con pequeñas amplitudes en relación con sus longitudes de onda.

Movimiento rodante como superposición de dos movimientos. El movimiento de rodadura de la rueda se puede describir como una combinación de dos movimientos separados: traslación sin rotación y rotación sin traslación.

El principio de superposición , ^[1] también conocido como propiedad de superposición , establece que, para todos los sistemas lineales , la respuesta neta causada por dos o más estímulos es la suma de las respuestas que habrían sido causadas por cada estímulo individualmente. De modo que si la entrada A produce la respuesta X y la entrada B produce la respuesta Y , entonces la entrada ( A + B ) produce la respuesta ( X + Y ).

Una función que satisface el principio de superposición se llama función lineal . La superposición se puede definir mediante dos propiedades más simples: aditividad ${\displaystyle F(x)}$

$${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}$$

homogeneidad

$${\displaystyle F(ax)=aF(x)}$$

escalar a

Este principio tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería porque muchos sistemas físicos pueden modelarse como sistemas lineales. Por ejemplo, una viga se puede modelar como un sistema lineal donde el estímulo de entrada es la carga sobre la viga y la respuesta de salida es la deflexión de la viga. La importancia de los sistemas lineales es que son más fáciles de analizar matemáticamente; Existe un gran conjunto de técnicas matemáticas, métodos de transformación lineal en el dominio de la frecuencia , como las transformadas de Fourier y Laplace , y la teoría del operador lineal , que son aplicables. Debido a que los sistemas físicos generalmente son sólo aproximadamente lineales, el principio de superposición es sólo una aproximación del verdadero comportamiento físico.

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluidas las ecuaciones algebraicas , las ecuaciones diferenciales lineales y los sistemas de ecuaciones de esas formas. Los estímulos y respuestas podrían ser números, funciones, vectores, campos vectoriales , señales variables en el tiempo o cualquier otro objeto que satisfaga ciertos axiomas . Tenga en cuenta que cuando se trata de vectores o campos vectoriales, una superposición se interpreta como una suma vectorial . Si la superposición se cumple, entonces también se cumple automáticamente para todas las operaciones lineales aplicadas a estas funciones (debido a la definición), como gradientes, diferenciales o integrales (si existen).

Relación con el análisis de Fourier y métodos similares.

Al escribir un estímulo muy general (en un sistema lineal) como la superposición de estímulos de una forma específica y simple, a menudo la respuesta resulta más fácil de calcular.

Por ejemplo, en el análisis de Fourier , el estímulo se escribe como la superposición de una infinidad de sinusoides . Debido al principio de superposición, cada una de estas sinusoides se puede analizar por separado y se puede calcular su respuesta individual. (La respuesta es en sí misma una sinusoide, con la misma frecuencia que el estímulo, pero generalmente con una amplitud y fase diferentes ). Según el principio de superposición, la respuesta al estímulo original es la suma (o integral) de todas las respuestas sinusoidales individuales. .

Como otro ejemplo común, en el análisis de funciones de Green , el estímulo se escribe como la superposición de infinitas funciones de impulso , y la respuesta es entonces una superposición de respuestas de impulso .

El análisis de Fourier es particularmente común para las ondas . Por ejemplo, en la teoría electromagnética, la luz ordinaria se describe como una superposición de ondas planas (ondas de frecuencia , polarización y dirección fijas). Mientras se cumpla el principio de superposición (lo que ocurre a menudo, pero no siempre; ver óptica no lineal ), el comportamiento de cualquier onda de luz puede entenderse como una superposición del comportamiento de estas ondas planas más simples .

Superposición de ondas

Dos ondas que viajan en direcciones opuestas a través del mismo medio se combinan linealmente. En esta animación, ambas ondas tienen la misma longitud de onda y la suma de amplitudes da como resultado una onda estacionaria .

Dos ondas se permean sin influenciarse entre sí.

Las ondas generalmente se describen mediante variaciones en algunos parámetros a través del espacio y el tiempo; por ejemplo, la altura de una onda de agua, la presión de una onda de sonido o el campo electromagnético de una onda de luz. El valor de este parámetro se llama amplitud de la onda y la onda misma es una función que especifica la amplitud en cada punto.

En cualquier sistema con ondas, la forma de onda en un momento dado es función de las fuentes (es decir, fuerzas externas, si las hay, que crean o afectan la onda) y las condiciones iniciales del sistema. En muchos casos (por ejemplo, en la ecuación de onda clásica ), la ecuación que describe la onda es lineal. Cuando esto es cierto, se puede aplicar el principio de superposición. Eso significa que la amplitud neta causada por dos o más ondas que atraviesan el mismo espacio es la suma de las amplitudes que habrían sido producidas por las ondas individuales por separado. Por ejemplo, dos ondas que viajan una hacia la otra se atravesarán sin ninguna distorsión en el otro lado. (Ver imagen en la parte superior).

Difracción de ondas versus interferencia de ondas

Con respecto a la superposición de ondas, Richard Feynman escribió: ^[2]

Nadie ha podido definir satisfactoriamente la diferencia entre interferencia y difracción. Es sólo una cuestión de uso y no existe una diferencia física específica e importante entre ellos. Lo mejor que podemos hacer, en términos generales, es decir que cuando sólo hay unas pocas fuentes, digamos dos, que interfieren, entonces el resultado suele denominarse interferencia, pero si hay un gran número de ellas, parece que la palabra difracción se utiliza con mayor frecuencia.

Otros autores elaboran: ^[3]

La diferencia es de conveniencia y convención. Si las ondas que se van a superponer provienen de unas pocas fuentes coherentes, digamos dos, el efecto se llama interferencia. Por otro lado, si las ondas a superponer se originan al subdividir un frente de onda en ondas (fuentes) coherentes infinitesimales, el efecto se llama difracción. La diferencia entre los dos fenómenos es [una cuestión] sólo de grado y, básicamente, son dos casos límite de efectos de superposición.

Otra fuente más coincide: ^[4]

En la medida en que las franjas de interferencia observadas por Young eran el patrón de difracción de la doble rendija, este capítulo [Difracción de Fraunhofer] es, por tanto, una continuación del Capítulo 8 [Interferencia]. Por otra parte, pocos ópticos considerarían el interferómetro de Michelson como un ejemplo de difracción. Algunas de las categorías importantes de difracción se relacionan con la interferencia que acompaña a la división del frente de onda, por lo que la observación de Feynman refleja hasta cierto punto la dificultad que podemos tener para distinguir la división de amplitud y la división del frente de onda.

Interferencia de ondas

El fenómeno de la interferencia entre ondas se basa en esta idea. Cuando dos o más ondas atraviesan el mismo espacio, la amplitud neta en cada punto es la suma de las amplitudes de las ondas individuales. En algunos casos, como en los auriculares con cancelación de ruido , la variación sumada tiene una amplitud menor que las variaciones de los componentes; esto se llama interferencia destructiva . En otros casos, como en un arreglo lineal , la variación sumada tendrá una amplitud mayor que cualquiera de los componentes individualmente; esto se llama interferencia constructiva .

La onda verde atraviesa hacia la derecha mientras que la onda azul atraviesa hacia la izquierda, la amplitud neta de la onda roja en cada punto es la suma de las amplitudes de las ondas individuales.

Desviaciones de la linealidad

En las situaciones físicas más realistas, la ecuación que gobierna la onda es sólo aproximadamente lineal. En estas situaciones, el principio de superposición sólo se cumple aproximadamente. Como regla general, la precisión de la aproximación tiende a mejorar a medida que la amplitud de la onda disminuye. Para ver ejemplos de fenómenos que surgen cuando el principio de superposición no se cumple exactamente, consulte los artículos Óptica no lineal y Acústica no lineal .

Superposición cuántica

En mecánica cuántica , una tarea principal es calcular cómo se propaga y se comporta un determinado tipo de onda. La onda se describe mediante una función de onda y la ecuación que gobierna su comportamiento se llama ecuación de Schrödinger . Un enfoque principal para calcular el comportamiento de una función de onda es escribirla como una superposición (llamada " superposición cuántica ") de (posiblemente infinitas) otras funciones de onda de un cierto tipo: estados estacionarios cuyo comportamiento es particularmente simple. Dado que la ecuación de Schrödinger es lineal, el comportamiento de la función de onda original se puede calcular de esta manera mediante el principio de superposición. ^[5]

La naturaleza proyectiva del espacio de estados mecánico-cuánticos causa cierta confusión, porque un estado mecánico cuántico es un rayo en el espacio proyectivo de Hilbert , no un vector . Según Dirac : " si el vector ket correspondiente a un estado se multiplica por cualquier número complejo, distinto de cero, el vector ket resultante corresponderá al mismo estado [cursiva en el original]". ^[6] Sin embargo, la suma de dos rayos para componer un rayo superpuesto no está definida. Como resultado, el propio Dirac utiliza representaciones de estados de vectores ket para descomponer o dividir, por ejemplo, un vector ket en superposición de vectores ket componentes como: ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{j}\rangle }$

$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,}$$

^[7] ${\displaystyle C_{j}\in {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Existen correspondencias exactas entre la superposición presentada en el capítulo principal de esta página y la superposición cuántica. Por ejemplo, la esfera de Bloch para representar el estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ) también se conoce como esfera de Poincaré y representa diferentes tipos de estados de polarización pura clásicos .

Sin embargo, sobre el tema de la superposición cuántica, Kramers escribe: "El principio de superposición [cuántica]... no tiene analogía en la física clásica" ^{[ cita necesaria ]} . Según Dirac : " la superposición que ocurre en la mecánica cuántica es de una naturaleza esencialmente diferente de cualquiera que ocurra en la teoría clásica [cursiva en el original]". ^[8] Aunque el razonamiento de Dirac incluye la atomicidad de la observación, que es válida, en cuanto a la fase, en realidad se refieren a simetría de traducción de fase derivada de la simetría de traducción del tiempo , que también es aplicable a los estados clásicos, como se muestra arriba con los estados de polarización clásicos.

Problemas de valores en la frontera

Un tipo común de problema de valores en la frontera es (para decirlo de manera abstracta) encontrar una función y que satisfaga alguna ecuación

$${\displaystyle F(y)=0}$$

$${\displaystyle G(y)=z.}$$

la ecuación de Laplacecondiciones de frontera de DirichletFlaplacianoRGyRzyR

En el caso de que F y G sean operadores lineales, entonces el principio de superposición dice que una superposición de soluciones a la primera ecuación es otra solución a la primera ecuación:

$${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}$$

$${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}).}$$

Descomposición de estado aditivo

Considere un sistema lineal simple:

$${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

Por principio de superposición, el sistema se puede descomponer en

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

El principio de superposición sólo está disponible para sistemas lineales. Sin embargo, la descomposición de estados aditiva se puede aplicar tanto a sistemas lineales como no lineales. A continuación, considere un sistema no lineal.

$${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},}$$

${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Esta descomposición puede ayudar a simplificar el diseño del controlador.

Otras aplicaciones de ejemplo

• En ingeniería eléctrica , en un circuito lineal , la entrada (una señal de voltaje aplicada que varía en el tiempo) está relacionada con la salida (una corriente o voltaje en cualquier parte del circuito) mediante una transformación lineal. Por tanto, una superposición (es decir, una suma) de señales de entrada producirá la superposición de las respuestas. El uso del análisis de Fourier sobre esta base es particularmente común. Para conocer otra técnica relacionada en el análisis de circuitos, consulte Teorema de superposición .
• En física , las ecuaciones de Maxwell implican que las distribuciones de cargas y corrientes (posiblemente variables en el tiempo) están relacionadas con los campos eléctrico y magnético mediante una transformación lineal. Por tanto, el principio de superposición se puede utilizar para simplificar el cálculo de los campos que surgen de una carga y distribución de corriente determinadas. El principio también se aplica a otras ecuaciones diferenciales lineales que surgen en la física, como la ecuación del calor .
• En ingeniería , la superposición se utiliza para resolver las deflexiones de vigas y estructuras de cargas combinadas cuando los efectos son lineales (es decir, cada carga no afecta los resultados de las otras cargas, y el efecto de cada carga no altera significativamente la geometría de la sistema estructural). ^[9] El método de superposición de modos utiliza las frecuencias naturales y las formas de los modos para caracterizar la respuesta dinámica de una estructura lineal. ^[10]
• En hidrogeología , el principio de superposición se aplica al abatimiento de dos o más pozos de agua que bombean en un acuífero ideal . Este principio se utiliza en el método de elementos analíticos para desarrollar elementos analíticos capaces de combinarse en un solo modelo.
• En el control de procesos , el principio de superposición se utiliza en el control predictivo de modelos .
• El principio de superposición se puede aplicar cuando se analizan mediante linealización pequeñas desviaciones de una solución conocida a un sistema no lineal .
• En música , el teórico Joseph Schillinger utilizó una forma del principio de superposición como base de su Teoría del Ritmo en su Sistema Schillinger de Composición Musical .
• En informática, a veces se ve la superposición de múltiples rutas de código, código y datos, o múltiples estructuras de datos en la memoria compartida , binarios gruesos , así como instrucciones superpuestas en código automodificable y texto ejecutable altamente optimizados .

Historia

Según Léon Brillouin , el principio de superposición fue enunciado por primera vez por Daniel Bernoulli en 1753: "El movimiento general de un sistema vibratorio viene dado por una superposición de sus vibraciones propias". El principio fue rechazado por Leonhard Euler y luego por Joseph Lagrange . Bernoulli argumentó que cualquier cuerpo sonoro podría vibrar en una serie de modos simples con una frecuencia de oscilación bien definida. Como había indicado anteriormente, estos modos podrían superponerse para producir vibraciones más complejas. En su reacción a las memorias de Bernoulli, Euler elogió a su colega por haber desarrollado mejor la parte física del problema de las cuerdas vibrantes, pero negó la generalidad y superioridad de la solución multimodo. ^[11]

Posteriormente fue aceptado, en gran parte gracias al trabajo de Joseph Fourier . ^[12]

Ver también

• Descomposición de estado aditivo
• Beat (acústica)
• Coherencia (física)
• Circunvolución
• La función del verde.
• Respuesta impulsiva
• Interferencia
• Superposición cuántica

Referencias

1. Diccionario de Física Penguin, ed. Valerie Illingworth, 1991, Penguin Books, Londres.
2. Conferencias de física, vol. 1, 1963, pág. 30-1, Lectura de Addison Wesley Publishing Company, Misa [1]
3. NK VERMA, Física para ingenieros , PHI Learning Pvt. Limitado. Ltd., 18 de octubre de 2013, pág. 361. [2]
4. Tim Freegarde, Introducción a la física de las ondas , Cambridge University Press, 8 de noviembre de 2012. [3]
5. Mecánica cuántica, Kramers, editor de HA Dover, 1957, pág. 62 ISBN  978-0-486-66772-0
6. Dirac, PAM (1958). Los principios de la mecánica cuántica , cuarta edición, Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, p. 17.
7. Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "Comprensión de las fases geométricas en la mecánica cuántica: un ejemplo elemental". Fundamentos de la Física . 23 (2): 185-195. Código bibliográfico : 1993FoPh...23..185S. doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
8. Dirac, PAM (1958). Los principios de la mecánica cuántica , cuarta edición, Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, p. 14.
9. Diseño de ingeniería mecánica, por Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, publicado en 2004 McGraw-Hill Professional, p. 192ISBN 0-07-252036-1​ 
10. Procedimientos de elementos finitos, Bathe, KJ, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785ISBN 0-13-301458-4​ 
11. Temas de Numérica para la Propagación de Ondas, Centro Vasco de Matemática Aplicada, 2012, España, p. 39
12. Brillouin, L. (1946). Propagación de ondas en estructuras periódicas: filtros eléctricos y redes cristalinas , McGraw-Hill, Nueva York, pág. 2.

Otras lecturas

• Haberman, Richard (2004). Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-065243-0.
• Superposición de ondas sonoras.

enlaces externos

• Medios relacionados con el principio de superposición en Wikimedia Commons
• La definición del diccionario de interferencia en Wikcionario.