Martingala (teoría de la probabilidad)

Modelo en teoría de probabilidad

En teoría de probabilidad , una martingala es una secuencia de variables aleatorias (es decir, un proceso estocástico ) para el cual, en un momento particular, la expectativa condicional del siguiente valor en la secuencia es igual al valor actual, independientemente de todos los valores anteriores.

El movimiento browniano detenido es un ejemplo de martingala. Puede modelar un juego de apuestas de lanzamiento de moneda con posibilidad de quiebra.

Historia

Originalmente, la martingala se refería a una clase de estrategias de apuestas que eran populares en la Francia del siglo XVIII . ^{[1] [2]} La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana su apuesta si una moneda sale cara y la pierde si la moneda sale cruz. La estrategia hacía que el jugador duplicara su apuesta después de cada pérdida para que la primera victoria recuperara todas las pérdidas anteriores más una ganancia igual a la apuesta original. A medida que la riqueza y el tiempo disponible del jugador se acercan conjuntamente al infinito, su probabilidad de finalmente sacar cara se acerca a 1, lo que hace que la estrategia de apuestas martingala parezca una apuesta segura . Sin embargo, el crecimiento exponencial de las apuestas eventualmente lleva a la quiebra a sus usuarios debido a los fondos finitos. El movimiento browniano detenido , que es un proceso de martingala, se puede utilizar para modelar la trayectoria de tales juegos.

El concepto de martingala en la teoría de la probabilidad fue introducido por Paul Lévy en 1934, aunque no le puso nombre. El término "martingala" fue introducido más tarde por Ville (1939), quien también extendió la definición a las martingalas continuas. Gran parte del desarrollo original de la teoría fue realizado por Joseph Leo Doob, entre otros. Parte de la motivación para ese trabajo fue demostrar la imposibilidad de tener estrategias de apuestas exitosas en los juegos de azar.

Definiciones

Una definición básica de una martingala de tiempo discreto es un proceso estocástico de tiempo discreto (es decir, una secuencia de variables aleatorias ) X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... que satisface para cualquier tiempo n ,

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}$

Es decir, el valor esperado condicional de la siguiente observación, dadas todas las observaciones pasadas, es igual a la observación más reciente.

Secuencias martingala con respecto a otra secuencia

De manera más general, se dice que una secuencia Y ₁ ,  Y ₂ ,  Y ₃  ... es una martingala con respecto a otra secuencia X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃  ... si para todo n

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}$

De manera similar, una martingala de tiempo continuo con respecto al proceso estocástico X _t es un proceso estocástico Y _t tal que para todo t

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}$

Esto expresa la propiedad de que la esperanza condicional de una observación en el tiempo t , dadas todas las observaciones hasta el tiempo , es igual a la observación en el tiempo s (por supuesto, siempre que s  ≤  t ). La segunda propiedad implica que es medible con respecto a . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$

Definición general

En general, un proceso estocástico que toma valores en un espacio de Banach con norma es una martingala con respecto a una medida de filtración y probabilidad si ${\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{S}}$ ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Σ _∗ es una filtración del espacio de probabilidad subyacente (Ω, Σ,  ); ${\displaystyle \mathbb {P} }$
• Y se adapta a la filtración Σ _∗ , es decir, para cada t en el conjunto de índices T , la variable aleatoria Y _t es una función Σ _t - medible ;
• para cada t , Y _t se encuentra en el espacio L p L ¹ (Ω, Σ _t ,  ;  S ), es decir ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }(\lVert Y_{t}\rVert _{S})<+\infty ;}$

• para todos los s y t con s  <  t y todos los F  ∈ Σ _s ,

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}$

donde χ _F denota la función indicadora del evento F . En Probability and Random Processes de Grimmett y Stirzaker , esta última condición se denota como

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

que es una forma general de expectativa condicional . ^[3]

Es importante señalar que la propiedad de ser una martingala involucra tanto la filtración como la medida de probabilidad (con respecto a la cual se toman las expectativas). Es posible que Y pueda ser una martingala con respecto a una medida pero no a otra; el teorema de Girsanov ofrece una manera de encontrar una medida con respecto a la cual un proceso de Itō es una martingala.

En el entorno del espacio de Banach, la expectativa condicional también se denota en notación de operador como . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {E} ^{\Sigma _{s}}Y_{t}}$

Ejemplos de martingalas

• Un paseo aleatorio imparcial , en cualquier número de dimensiones, es un ejemplo de martingala.
• La fortuna (capital) de un jugador es una martingala si todos los juegos de apuestas que juega el jugador son justos. El jugador está jugando a un juego de lanzamiento de moneda . Supongamos que X _n es la fortuna del jugador después de n lanzamientos de una moneda justa , de modo que el jugador gana $1 si el resultado del lanzamiento de moneda es cara y pierde $1 si el resultado del lanzamiento de moneda es cruz. La fortuna condicional esperada del jugador después del próximo juego, dado el historial, es igual a su fortuna actual. Esta secuencia es, por tanto, una martingala.
• Sea Y _n = X _n ² − n , donde X _n es la fortuna del jugador del ejemplo anterior. Entonces, la secuencia { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } es una martingala. Esto se puede utilizar para demostrar que la ganancia o pérdida total del jugador varía aproximadamente entre más o menos la raíz cuadrada del número de juegos de lanzamiento de moneda jugados.
• Martingala de De Moivre : supongamos que los resultados del lanzamiento de la moneda son injustos , es decir, sesgados, con una probabilidad p de que salga cara y una probabilidad q  = 1 −  p de que salga cruz.

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

con "+" en caso de "cara" y "−" en caso de "cruz". Sea

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}}$

Entonces { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } es una martingala con respecto a { X _n  : n = 1, 2, 3, ... }. Para demostrar esto

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• La urna de Pólya contiene varias canicas de distintos colores; en cada iteración se selecciona una canica al azar de la urna y se reemplaza por varias más del mismo color. Para cualquier color dado, la fracción de canicas en la urna con ese color es una martingala. Por ejemplo, si actualmente el 95% de las canicas son rojas, entonces, aunque es más probable que en la siguiente iteración se agreguen canicas rojas que de otro color, este sesgo se equilibra exactamente con el hecho de que agregar más canicas rojas altera la fracción de manera mucho menos significativa que si se agregara la misma cantidad de canicas que no sean rojas.
• Prueba de razón de verosimilitud en estadística : se piensa que una variable aleatoria X se distribuye según una densidad de probabilidad f o una densidad de probabilidad diferente g . Se toma una muestra aleatoria X ₁ , ..., X _n . Sea Y _n la "razón de verosimilitud".

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

Si X se distribuye realmente según la densidad f en lugar de según g , entonces { Y _n  : n = 1, 2, 3,...} es una martingala con respecto a { X _n  : n = 1, 2, 3, ...}

Serie martingala creada por software

• En una comunidad ecológica , es decir, un grupo de especies que se encuentran en un nivel trófico particular y compiten por recursos similares en un área local, el número de individuos de cualquier especie particular de tamaño fijo es una función del tiempo (discreto) y puede verse como una secuencia de variables aleatorias. Esta secuencia es una martingala según la teoría neutral unificada de la biodiversidad y la biogeografía .
• Si { N _t  : t  ≥ 0 } es un proceso de Poisson con intensidad λ , entonces el proceso de Poisson compensado {  N _t  −  λt  : t  ≥ 0 } es una martingala de tiempo continuo con trayectorias de muestra continuas hacia la derecha/límite izquierdo .
• La martingala de Wald
• Un proceso -dimensional en algún espacio es una martingala en si cada componente es una martingala unidimensional en . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$ ${\displaystyle S}$

Submartingalas, supermartingalas y relación con las funciones armónicas

Hay dos generalizaciones de una martingala que también incluyen casos en los que la observación actual X _n no es necesariamente igual a la expectativa condicional futura E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ] sino un límite superior o inferior en la expectativa condicional. Estas generalizaciones reflejan la relación entre la teoría de la martingala y la teoría del potencial , es decir, el estudio de las funciones armónicas . Así como una martingala de tiempo continuo satisface E[ X _t  | { X _τ  :  τ  ≤  s }] −  X _s  = 0 ∀ s  ≤  t , una función armónica f satisface la ecuación diferencial parcial Δ f  = 0 donde Δ es el operador laplaciano . Dado un proceso de movimiento browniano W _t y una función armónica f , el proceso resultante f ( W _t ) también es una martingala.

• Una submartingala de tiempo discreto es una secuencia de variables aleatorias integrables que satisfacen ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

De la misma manera, una submartingala de tiempo continuo satisface

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

En teoría de potencial, una función subarmónica f satisface Δ f  ≥ 0. Cualquier función subarmónica que esté limitada por encima de una función armónica para todos los puntos en el borde de una bola está limitada por encima de la función armónica para todos los puntos dentro de la bola. De manera similar, si una submartingala y una martingala tienen expectativas equivalentes para un tiempo dado, la historia de la submartingala tiende a estar limitada por encima de la historia de la martingala. En términos generales, el prefijo "sub-" es consistente porque la observación actual X _n es menor que (o igual a) la expectativa condicional E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]. En consecuencia, la observación actual proporciona soporte desde abajo de la expectativa condicional futura, y el proceso tiende a aumentar en el tiempo futuro.

• De manera análoga, una supermartingala de tiempo discreto satisface

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

De la misma manera, una supermartingala de tiempo continuo satisface

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

En teoría de potencial, una función superarmónica f satisface Δ f  ≤ 0. Cualquier función superarmónica que esté limitada por debajo por una función armónica para todos los puntos en el borde de una pelota está limitada por debajo por la función armónica para todos los puntos dentro de la pelota. De manera similar, si una supermartingala y una martingala tienen expectativas equivalentes para un tiempo dado, la historia de la supermartingala tiende a estar limitada por debajo por la historia de la martingala. En términos generales, el prefijo "super-" es consistente porque la observación actual X _n es mayor que (o igual a) la expectativa condicional E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]. En consecuencia, la observación actual proporciona respaldo desde arriba de la expectativa condicional futura, y el proceso tiende a decrecer en el tiempo futuro.

Ejemplos de submartingalas y supermartingalas

• Toda martingala es también una submartingala y una supermartingala. Por el contrario, cualquier proceso estocástico que sea a la vez una submartingala y una supermartingala es una martingala.
• Consideremos de nuevo al jugador que gana $1 cuando una moneda sale cara y pierde $1 cuando la moneda sale cruz. Supongamos ahora que la moneda puede estar sesgada, de modo que salga cara con una probabilidad p .
  • Si p es igual a 1/2, el jugador en promedio no gana ni pierde dinero y la fortuna del jugador a lo largo del tiempo es una martingala.
  • Si p es menor que 1/2, el jugador pierde dinero en promedio y su fortuna a lo largo del tiempo es una supermartingala.
  • Si p es mayor que 1/2, el jugador gana dinero en promedio y su fortuna a lo largo del tiempo es una submartingala.
• Una función convexa de una martingala es una submartingala, según la desigualdad de Jensen . Por ejemplo, el cuadrado de la fortuna del jugador en el juego de la moneda justa es una submartingala (lo que también se deduce del hecho de que X _n ²  −  n es una martingala). De manera similar, una función cóncava de una martingala es una supermartingala.

Martingalas y tiempos de parada

Un tiempo de parada con respecto a una secuencia de variables aleatorias X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... es una variable aleatoria τ con la propiedad de que para cada t , la ocurrencia o no ocurrencia del evento τ = t depende solo de los valores de X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ...,  X _t . La intuición detrás de la definición es que en cualquier momento particular t , puedes mirar la secuencia hasta el momento y decir si es momento de parar. Un ejemplo en la vida real podría ser el momento en el que un jugador abandona la mesa de juego, que podría ser una función de sus ganancias anteriores (por ejemplo, podría irse solo cuando se arruina), pero no puede elegir irse o quedarse según el resultado de juegos que aún no se han jugado.

En algunos contextos, el concepto de tiempo de detención se define requiriendo únicamente que la ocurrencia o no ocurrencia del evento τ  =  t sea probabilísticamente independiente de X _{t  + 1} ,  X _{t  + 2} , ... pero no que esté completamente determinado por la historia del proceso hasta el tiempo  t . Esta es una condición más débil que la que aparece en el párrafo anterior, pero es lo suficientemente fuerte como para servir en algunas de las pruebas en las que se utilizan tiempos de detención.

Una de las propiedades básicas de las martingalas es que, si es una (sub-/super-) martingala y es un tiempo de detención, entonces el proceso detenido correspondiente definido por también es una (sub-/super-) martingala. ${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$ ${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$

El concepto de martingala detenida conduce a una serie de teoremas importantes, incluido, por ejemplo, el teorema de detención opcional que establece que, en determinadas condiciones, el valor esperado de una martingala en un momento de detención es igual a su valor inicial.

Véase también

• La desigualdad de Azuma
• Movimiento browniano
• Martingala Doob
• Teoremas de convergencia de la martingala de Doob
• Desigualdad de la martingala de Doob
• Teorema de descomposición de Doob-Meyer
• Martingala local
• Cadena de Markov
• Propiedad de Markov
• Martingala (sistema de apuestas)
• Teorema del límite central de la martingala
• Secuencia de diferencia de martingala
• Teorema de representación de la martingala
• Número normal
• Semimartingala

Notas

1. Balsara, NJ (1992). Estrategias de gestión del dinero para operadores de futuros . Wiley Finance. pág. 122. ISBN 978-0-471-52215-7. martingala.
2. Mansuy, Roger (junio de 2009). «Los orígenes de la palabra «martingala»» (PDF) . Revista electrónica de historia de la probabilidad y la estadística . 5 (1). Archivado (PDF) desde el original el 31 de enero de 2012. Consultado el 22 de octubre de 2011 .
3. Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857223-7.
4. Bogachev, Vladimir (1998). Medidas gaussianas . American Mathematical Society. pp. 372–373. ISBN 978-1470418694.

Referencias

• "Martingala", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Los esplendores y miserias de las martingalas". Revista Electrónica de Historia de la Probabilidad y la Estadística . 5 (1). Junio ​​2009. Número entero dedicado a la teoría de probabilidad Martingala (Laurent Mazliak y Glenn Shafer, Editores).
• Baldi, Paolo; Mazliak, Laurent; Priouret, Pierre (1991). Martingalas y cadenas de Markov . Chapman y Hall. ISBN 978-1-584-88329-6.
• Williams, David (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Kleinert, Hagen (2004). Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros (4.ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Richard, Mark; Vecer, Jan (2021). "Pruebas de eficiencia de los mercados de predicción: enfoque martingala, razón de verosimilitud y análisis factorial de Bayes". Riesgos . 9 (2): 31. doi : 10.3390/risks9020031 . hdl : 10419/258120 .
• Siminelakis, París (2010). "Martingales y tiempos de parada: uso de martingalas para obtener límites y analizar algoritmos" (PDF) . Universidad de Atenas. Archivado desde el original (PDF) el 19 de febrero de 2018. Consultado el 18 de junio de 2010 .
• Ville, Jean (1939). "Estudio crítico de la noción de colectivo". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Monografías des Probabilités (en francés). 3 (11). París: 824–825. doi : 10.1090/S0002-9904-1939-07089-4 . Zbl  0021.14601. Revisado por Doob.