Moneda justa

Concepto estadístico

Una moneda justa, cuando se lanza, debería tener la misma probabilidad de caer en ambos lados.

En teoría de la probabilidad y estadística , una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad de 1/2 de éxito en cada ensayo se denomina metafóricamente moneda justa . Una para la cual la probabilidad no es 1/2 se denomina moneda sesgada o injusta . En estudios teóricos, la suposición de que una moneda es justa se hace a menudo haciendo referencia a una moneda ideal .

John Edmund Kerrich realizó experimentos de lanzamiento de monedas y descubrió que una moneda hecha con un disco de madera del tamaño de una corona y recubierto de plomo por un lado caía de cara (con el lado de madera hacia arriba) 679 veces de cada 1000. ^[1] En este experimento, la moneda se lanzó equilibrándola sobre el dedo índice, girándola con el pulgar para que girara en el aire durante unos 30 cm antes de caer sobre una tela plana extendida sobre una mesa. Edwin Thompson Jaynes afirmó que cuando se atrapa una moneda en la mano, en lugar de dejarla rebotar, el sesgo físico en la moneda es insignificante en comparación con el método del lanzamiento, donde con suficiente práctica se puede hacer que una moneda caiga de cara el 100% de las veces. ^[2] Explorar el problema de comprobar si una moneda es justa es una herramienta pedagógica bien establecida en la enseñanza de la estadística .

Definición del espacio de probabilidad

En teoría de la probabilidad , una moneda justa se define como un espacio de probabilidad , que a su vez está definido por el espacio muestral , el espacio de eventos y la medida de probabilidad . Si se utilizan caras y cruces, el espacio muestral de una moneda se define como: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$$

El espacio de eventos de una moneda incluye todos los conjuntos de resultados del espacio muestral a los que se les puede asignar una probabilidad, que es el conjunto de potencias totales . Por lo tanto, el espacio de eventos se define como: ${\displaystyle 2^{\Omega }}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$$

${\displaystyle \{\}}$es el evento en el que no ocurre ninguno de los resultados (lo cual es imposible y, por lo tanto, se le puede asignar una probabilidad de 0), y es el evento en el que ocurre cualquiera de los resultados (lo cual está garantizado y se le puede asignar una probabilidad de 1). Debido a que la moneda es justa, la posibilidad de cualquier resultado individual es 50-50. La medida de probabilidad se define entonces mediante la función: ${\displaystyle \{H,T\}}$

Por lo tanto, el espacio de probabilidad completo que define una moneda justa es el triplete, como se definió anteriormente. Tenga en cuenta que esta no es una variable aleatoria porque cara y cruz no tienen valores numéricos inherentes como los que podría encontrar en un dado justo de dos valores. Una variable aleatoria agrega la estructura adicional de asignar un valor numérico a cada resultado. Las opciones comunes son o . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (H,T)\to (1,0)}$ ${\displaystyle (H,T)\to (1,-1)}$

Papel en la enseñanza y teoría estadística

Las propiedades probabilísticas y estadísticas de los juegos de lanzamiento de monedas se utilizan a menudo como ejemplos tanto en libros de texto introductorios como avanzados y se basan principalmente en suponer que una moneda es justa o "ideal". Por ejemplo, Feller utiliza esta base para introducir tanto la idea de los paseos aleatorios como para desarrollar pruebas de homogeneidad dentro de una secuencia de observaciones observando las propiedades de las rachas de valores idénticos dentro de una secuencia. ^[3] Esto último conduce a una prueba de rachas . Una serie temporal que consiste en el resultado de lanzar una moneda justa se denomina proceso de Bernoulli .

Resultados justos de una moneda sesgada

Si un tramposo ha alterado una moneda para favorecer un lado sobre el otro (una moneda sesgada), la moneda puede seguir utilizándose para obtener resultados justos modificando ligeramente el juego. John von Neumann dio el siguiente procedimiento: ^[4]

1. Lanza la moneda dos veces.
2. Si los resultados coinciden, comience de nuevo, olvidando ambos resultados.
3. Si los resultados difieren, utilice el primer resultado y olvidé el segundo.

La razón por la que este proceso produce un resultado justo es que la probabilidad de obtener cara y luego cruz debe ser la misma que la probabilidad de obtener cruz y luego cara, ya que la moneda no cambia su sesgo entre lanzamientos y los dos lanzamientos son independientes. Esto funciona solo si obtener un resultado en un ensayo no cambia el sesgo en los ensayos posteriores, que es el caso de la mayoría de las monedas no maleables (pero no para procesos como la urna Pólya ). Al excluir los eventos de dos caras y dos cruces repitiendo el procedimiento, el lanzador de la moneda se queda con los únicos dos resultados restantes que tienen una probabilidad equivalente. Este procedimiento solo funciona si los lanzamientos se emparejan correctamente; si parte de un par se reutiliza en otro par, la imparcialidad puede arruinarse. Además, la moneda no debe estar tan sesgada que un lado tenga una probabilidad de cero .

Este método se puede ampliar considerando también secuencias de cuatro lanzamientos. Es decir, si se lanza la moneda dos veces pero los resultados coinciden, y se lanza la moneda dos veces más pero los resultados coinciden ahora para el lado opuesto, entonces se puede utilizar el primer resultado. Esto se debe a que HHTT y TTHH son igualmente probables. Esto se puede extender a cualquier múltiplo de 2.

El valor esperado de los lanzamientos en el juego n no es difícil de calcular, primero note que en el paso 3 cualquiera que sea el evento o hemos lanzado la moneda dos veces, pero en el paso 2 ( o ) también tenemos que rehacer las cosas, por lo que tendremos 2 lanzamientos más el valor esperado de los lanzamientos del próximo juego, pero a medida que comenzamos de nuevo, el valor esperado del próximo juego es el mismo que el valor del juego anterior o cualquier otro juego, por lo que realmente no depende de n, por lo tanto (esto puede entenderse como el proceso como una martingala donde tomar la expectativa nuevamente nos da eso, pero debido a la ley de la expectativa total obtenemos que ) por lo tanto tenemos: ${\displaystyle E(F_{n})}$ ${\displaystyle HT}$ ${\displaystyle TH}$ ${\displaystyle E(F_{n}|HT,TH)=2}$ ${\displaystyle TT}$ ${\displaystyle HH}$ ${\displaystyle E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})}$ ${\displaystyle E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})}$ ${\displaystyle E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}}$ ${\displaystyle E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})}$ ${\displaystyle E(F_{n+1})=E(E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1}))=E(F_{n})}$

El gráfico muestra que cuanto más lejos está el número de lanzamientos esperados antes de obtener un resultado exitoso. ${\displaystyle {\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$ ${\displaystyle P(H)}$ ${\displaystyle 0.5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(F)&=E(F_{n})\\&=E(F_{n}|TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}|HT,TH)P(HT,TH)\\&=(2+E(F_{n+1}))P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT,HH))+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))(P(TT)+P(HH))+2(P(HT)+P(TH))\\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{2})+4P(H)P(T)\\&=(2+E(F))(1-2P(H)P(T))+4P(H)P(T)\\&=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore E(F)=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\Rightarrow E(F)={\frac {1}{P(H)P(T)}}={\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$

Cuanto más sesgada sea nuestra moneda, más probable será que tengamos que realizar un mayor número de pruebas antes de obtener un resultado justo.

Un mejor algoritmo cuando se conoce P(H)

Supongamos que se conoce el sesgo. En esta sección, proporcionamos un algoritmo simple ^[5] que mejora el número esperado de lanzamientos de moneda. El algoritmo utiliza una probabilidad ideal , que Primero consideramos un algoritmo para generar una moneda arbitraria con sesgo . Para obtener una moneda justa, el algoritmo primero establece y luego ejecuta el siguiente algoritmo. ${\displaystyle b:=P({\mathtt {H}})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p=0.5}$

1. Lanza la moneda sesgada y deja que sea el resultado. ${\displaystyle X\in \{{\mathtt {H}},{\mathtt {T}}\}}$
2. Si , utilice si el resultado de la inversión es . De lo contrario, reemplace por y vuelva al paso 1. ${\displaystyle p\geq b}$ ${\displaystyle {\mathtt {H}}}$ ${\displaystyle X={\mathtt {H}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\gets {\frac {p-b}{1-b}}}$
3. De lo contrario , use si el resultado de la inversión es . De lo contrario, establezca en y vuelva al paso 1. ${\displaystyle p<b}$ ${\displaystyle {\mathtt {T}}}$ ${\displaystyle X={\mathtt {T}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\gets {\frac {p}{b}}}$

Tenga en cuenta que el algoritmo anterior no alcanza el número óptimo esperado de lanzamientos de moneda, que es , aquí está la función de entropía binaria . Hay algoritmos que alcanzan este valor óptimo en expectativa. Sin embargo, esos algoritmos son más sofisticados que el mostrado anteriormente. ${\displaystyle 1/H(b)}$ ${\displaystyle H(b)}$

El algoritmo anterior tiene un número esperado de lanzamientos de moneda sesgados que es , que es exactamente la mitad en comparación con el truco de von Neumann. ${\displaystyle {\frac {1}{2b(1-b)}}}$

Análisis

La exactitud del algoritmo anterior es un ejercicio perfecto de expectativa condicional. Ahora analizamos el número esperado de lanzamientos de moneda.

Dado el sesgo y el valor actual de , se puede definir una función que represente el número esperado de lanzamientos de moneda antes de que se obtenga un resultado. La relación de recurrencia de se puede describir de la siguiente manera. ${\displaystyle b=P(H)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{b}(p)}$ ${\displaystyle f_{b}(p)}$

$${\displaystyle f_{b}(p)={\begin{cases}1+b\cdot f_{b}\left({\frac {p}{b}}\right)&{\text{if }}p<b\\1+(1-b)\cdot f_{b}\left({\frac {p-b}{1-b}}\right)&{\text{if }}p\geq b\end{cases}}}$$

Esto se resuelve mágicamente en la siguiente función:

$${\displaystyle f_{b}(p)={\frac {b+(1-2b)p}{b(1-b)}}}$$

Cuando , el número esperado de lanzamientos de moneda es el deseado. ${\displaystyle p=0.5}$ ${\displaystyle f_{b}(0.5)={\frac {1}{2b(1-b)}}}$

Observación

La idea de este algoritmo se puede extender para generar cualquier moneda sesgada con una probabilidad específica.

Véase también

• Cómo comprobar si una moneda es justa
• Lanzamiento de moneda
• Constantes de lanzamiento de moneda de Feller

Referencias

1. Kerrich, John Edmund (1946). Una introducción experimental a la teoría de la probabilidad . E. Munksgaard.
2. Jaynes, ET (2003). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. p. 318. ISBN 9780521592710. Archivado del original el 5 de febrero de 2002. Cualquiera que esté familiarizado con la ley de conservación del momento angular puede, después de algo de práctica, hacer trampa en el habitual juego de lanzamiento de moneda y acertar con un 100 por ciento de precisión. Puede obtener cualquier frecuencia de caras que desee; ¡y el sesgo de la moneda no tiene ninguna influencia en los resultados!{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
3. Feller, W (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0.
4. von Neumann, John (1951). "Varias técnicas utilizadas en relación con dígitos aleatorios". Serie de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Normas . 12 : 36.
5. Henry Tsai, 12 de abril de 2024.

Lectura adicional

• Gelman, Andrew; Deborah Nolan (2002). "El rincón del profesor: puedes cargar un dado, pero no puedes sesgar una moneda". American Statistician . 56 (4): 308–311. doi :10.1198/000313002605.Disponible en el sitio web de Andrew Gelman
• "Un desmitificador de toda la vida se enfrenta a un árbitro de decisiones neutrales: un mago convertido en matemático descubre un sesgo al lanzar una moneda". Stanford Report . 2004-06-07 . Consultado el 2008-03-05 .
• John von Neumann, "Varias técnicas utilizadas en conexión con dígitos aleatorios", en AS Householder, GE Forsythe y HH Germond, eds., Método de Monte Carlo , National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 12 (Washington, DC: US ​​Government Printing Office, 1951): 36-38.