Constantes de lanzamiento de moneda de Feller

Constantes matemáticas

Las constantes de lanzamiento de moneda de Feller son un conjunto de constantes numéricas que describen probabilidades asintóticas de que en n lanzamientos independientes de una moneda justa , no aparezca ninguna racha de k caras (o, lo que es lo mismo, cruces) consecutivas.

William Feller demostró ^[1] que si esta probabilidad se escribe como p ( n , k ) entonces

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }p(n,k)\alpha _{k}^{n+1}=\beta _{k}}$

donde α _k es la raíz real positiva más pequeña de

${\displaystyle x^{k+1}=2^{k+1}(x-1)}$

y

${\displaystyle \beta _{k}={2-\alpha _{k} \over k+1-k\alpha _{k}}.}$

Valores de las constantes

Para las constantes están relacionadas con la proporción áurea , , y los números de Fibonacci ; las constantes son y . La probabilidad exacta p (n,2) se puede calcular utilizando números de Fibonacci , p (n,2) =  o resolviendo una relación de recurrencia directa que conduzca al mismo resultado. Para valores más altos de , las constantes están relacionadas con generalizaciones de números de Fibonacci como los números tribonacci y tetranacci. Las probabilidades exactas correspondientes se pueden calcular como p (n,k) =  . ^[2] ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}-1=2\varphi -2=2/\varphi }$ ${\displaystyle 1+1/{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {F_{n+2}}{2^{n}}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\tfrac {F_{n+2}^{(k)}}{2^{n}}}}$

Ejemplo

Si lanzamos una moneda al aire diez veces, la probabilidad exacta de que no salgan dos caras consecutivas (es decir, n  = 10 y k  = 2) es p (10,2) =   0,140625. La aproximación da 1,44721356...×1,23606797... ⁻¹¹  = 0,1406263... ${\displaystyle {\tfrac {9}{64}}}$ ${\displaystyle p(n,k)\approx \beta _{k}/\alpha _{k}^{n+1}}$

Referencias

1. Feller, W. (1968) Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, volumen 1 (3.ª edición), Wiley. ISBN  0-471-25708-7 Sección XIII.7
2. Lanzamiento de moneda en WolframMathWorld

Enlaces externos

• Constantes de Steve Finch en Mathsoft