La martingala es una clase de estrategia de apuestas que se originó en la Francia del siglo XVIII y fue popular allí. La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana la apuesta si una moneda sale cara y pierde si sale cruz. La estrategia consistía en que el jugador doblara la apuesta después de cada pérdida, de modo que la primera victoria recuperara todas las pérdidas anteriores y además obtuviera una ganancia igual a la apuesta original. Por lo tanto, la estrategia es una instancia de la paradoja de San Petersburgo .
Dado que es casi seguro que un jugador acabará sacando cara , la estrategia de apuestas martingala seguro que le hará ganar dinero siempre que tenga una riqueza infinita y no haya un límite de dinero ganado en una sola apuesta. Sin embargo, ningún jugador tiene una riqueza infinita, y el crecimiento exponencial de las apuestas puede llevar a la quiebra a los jugadores desafortunados que opten por utilizar la martingala, lo que provocaría una pérdida catastrófica. A pesar de que el jugador suele ganar una pequeña recompensa neta, lo que parece tener una estrategia sólida, el valor esperado del jugador sigue siendo cero porque la pequeña probabilidad de que el jugador sufra una pérdida catastrófica se equilibra exactamente con la ganancia esperada. En un casino, el valor esperado es negativo, debido a la ventaja de la casa . Además, como la probabilidad de una serie de pérdidas consecutivas es mayor de lo que sugiere la intuición común, las estrategias martingala pueden llevar a la quiebra a un jugador rápidamente. [1]
La estrategia martingala también se ha aplicado a la ruleta , ya que la probabilidad de obtener rojo o negro es cercana al 50%. [2]
La razón fundamental por la que todos los sistemas de apuestas de tipo martingala fallan es que ninguna cantidad de información sobre los resultados de apuestas pasadas puede usarse para predecir los resultados de una apuesta futura con una precisión mejor que la del azar. En terminología matemática, esto corresponde al supuesto de que los resultados de ganancia-pérdida de cada apuesta son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , un supuesto que es válido en muchas situaciones realistas. [3] De este supuesto se deduce que el valor esperado de una serie de apuestas es igual a la suma, sobre todas las apuestas que potencialmente podrían ocurrir en la serie, del valor esperado de una apuesta potencial multiplicado por la probabilidad de que el jugador haga esa apuesta. En la mayoría de los juegos de casino, el valor esperado de cualquier apuesta individual es negativo, por lo que la suma de muchos números negativos también será siempre negativa.
La estrategia de la martingala falla incluso con un tiempo de parada ilimitado, siempre que haya un límite en las ganancias o en las apuestas (lo que también es cierto en la práctica). [4] Solo con riqueza, apuestas y tiempo ilimitados se podría argumentar que la martingala se convierte en una estrategia ganadora .
La imposibilidad de ganar a largo plazo, dado un límite en el tamaño de las apuestas o un límite en el tamaño del bankroll o de la línea de crédito, se demuestra mediante el teorema de detención opcional . [4]
Sin embargo, sin estos límites, la estrategia de apuestas martingala seguramente le hará ganar dinero al jugador porque la probabilidad de que al menos un lanzamiento de moneda salga cara se acerca a uno a medida que el número de lanzamientos de moneda se acerca al infinito.
Definamos una ronda como una secuencia de pérdidas consecutivas seguidas de una victoria o de la quiebra del jugador. Después de una victoria, el jugador "reinicia" y se considera que ha comenzado una nueva ronda. De este modo, una secuencia continua de apuestas martingala se puede dividir en una secuencia de rondas independientes. A continuación se presenta un análisis del valor esperado de una ronda.
Sea q la probabilidad de perder (por ejemplo, en la ruleta americana de doble cero, es 20/38 para una apuesta al negro o al rojo). Sea B el importe de la apuesta inicial. Sea n el número finito de apuestas que el jugador puede permitirse perder.
La probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas es q n . Cuando todas las apuestas pierden, la pérdida total es
La probabilidad de que el jugador no pierda todas las n apuestas es 1 − q n . En todos los demás casos, el jugador gana la apuesta inicial ( B ). Por lo tanto, la ganancia esperada por ronda es
Siempre que q > 1/2, la expresión 1 − (2 q ) n < 0 para todo n > 0. Por lo tanto, para todos los juegos en los que un jugador tiene más probabilidades de perder que de ganar cualquier apuesta dada, se espera que ese jugador pierda dinero, en promedio, en cada ronda. Aumentar el tamaño de la apuesta para cada ronda según el sistema martingala solo sirve para aumentar la pérdida promedio.
Supongamos que un jugador tiene un bankroll de 63 unidades. El jugador podría apostar 1 unidad en el primer giro. En cada pérdida, la apuesta se duplica. Por lo tanto, tomando k como el número de pérdidas consecutivas anteriores, el jugador siempre apostará 2 k unidades.
Si gana en cualquier giro, el jugador sumará 1 unidad más del monto total apostado hasta ese momento. Una vez que obtenga esta victoria, el jugador reiniciará el sistema con una apuesta de 1 unidad.
Si pierde en los seis primeros giros, el jugador pierde un total de 63 unidades. Esto agota su bankroll y no puede continuar con la martingala.
En este ejemplo, la probabilidad de perder todo el bankroll y no poder continuar con la martingala es igual a la probabilidad de 6 pérdidas consecutivas: (10/19) 6 = 2,1256 %. La probabilidad de ganar es igual a 1 menos la probabilidad de perder 6 veces: 1 − (10/19) 6 = 97,8744 %.
La cantidad esperada de ganancias es (1 × 0,978744) = 0,978744.
La cantidad esperada de pérdidas es (63 × 0,021256) = 1,339118.
Por lo tanto, el valor esperado total para cada aplicación del sistema de apuestas es (0,978744 − 1,339118) = −0,360374.
En una circunstancia única, esta estrategia puede tener sentido. Supongamos que el jugador posee exactamente 63 unidades pero necesita desesperadamente un total de 64. Suponiendo que q > 1/2 (es un casino real) y que solo puede realizar apuestas con probabilidades iguales, su mejor estrategia es el juego audaz : en cada giro, debe apostar la cantidad más pequeña de modo que si gana alcance su objetivo inmediatamente, y si no tiene suficiente para esto, simplemente debe apostar todo. Finalmente, se arruina o alcanza su objetivo. Esta estrategia le da una probabilidad del 97,8744% de lograr el objetivo de ganar una unidad frente a una probabilidad del 2,1256% de perder las 63 unidades, y esa es la mejor probabilidad posible en esta circunstancia. [5] Sin embargo, el juego audaz no siempre es la estrategia óptima para tener la mayor posibilidad posible de aumentar un capital inicial a una cantidad mayor deseada. Si el jugador puede apostar cantidades arbitrariamente pequeñas con probabilidades arbitrariamente altas (pero aún con la misma pérdida esperada de 10/19 de la apuesta en cada apuesta), y solo puede realizar una apuesta en cada giro, entonces hay estrategias con más del 98% de posibilidades de alcanzar su objetivo, y estas utilizan un juego muy tímido a menos que el jugador esté cerca de perder todo su capital, en cuyo caso cambia a un juego extremadamente audaz. [6]
El análisis anterior calcula el valor esperado , pero podemos hacer otra pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que uno pueda jugar un juego de casino usando la estrategia martingala y evitar la racha perdedora lo suficiente como para duplicar su bankroll?
Como antes, esto depende de la probabilidad de perder 6 giros seguidos de la ruleta, suponiendo que apostamos a rojo/negro o par/impar. Muchos jugadores creen que las probabilidades de perder 6 giros seguidos son remotas y que, con una adherencia paciente a la estrategia, aumentarán lentamente su bankroll.
En realidad, las probabilidades de una racha de 6 derrotas seguidas son mucho más altas de lo que mucha gente cree intuitivamente. Los estudios psicológicos han demostrado que, como la gente sabe que las probabilidades de perder 6 veces seguidas de 6 jugadas son bajas, suponen incorrectamente que en una serie más larga de jugadas las probabilidades también son muy bajas. De hecho, mientras que la probabilidad de perder 6 veces seguidas en 6 jugadas es un 1,8% relativamente bajo en una ruleta de un solo cero, la probabilidad de perder 6 veces seguidas (es decir, encontrarse con una racha de 6 derrotas) en algún momento durante una serie de 200 jugadas es de aproximadamente el 84%. Incluso si el jugador puede tolerar apostar ~1.000 veces su apuesta original, una racha de 10 derrotas seguidas tiene una probabilidad de ~11% de ocurrir en una serie de 200 jugadas. Una racha de pérdidas de este tipo probablemente acabaría con el apostador, ya que 10 pérdidas consecutivas utilizando la estrategia martingala significan una pérdida de 1.023 veces la apuesta original.
Estas probabilidades, que no son intuitivamente riesgosas, elevan el requisito de capital para realizar apuestas Martingala a largo plazo "seguras" a cifras inviables. Para tener una probabilidad inferior al 10 % de no sobrevivir a una racha de pérdidas prolongada durante 5000 jugadas, el apostador debe tener suficiente para duplicar sus apuestas por 15 pérdidas. Esto significa que el apostador debe tener más de 65 500 (2^15-1 para sus 15 pérdidas y 2^15 para su apuesta ganadora número 16 que termina con la racha) veces el tamaño de su apuesta original. Por lo tanto, un jugador que haga apuestas de 10 unidades querría tener más de 655 000 unidades en su capital (y aún así tener una probabilidad de ~5,5 % de perderlo todo durante 5000 jugadas).
Cuando se les pide a las personas que inventen datos que representen 200 lanzamientos de moneda, a menudo no agregan rachas de más de 5 porque creen que estas rachas son muy poco probables. [7] Esta creencia intuitiva a veces se conoce como la heurística de representatividad .
En un estilo clásico de apuestas martingala, los jugadores aumentan las apuestas después de cada pérdida con la esperanza de que una victoria eventual les permita recuperar todas las pérdidas anteriores. El enfoque anti-martingala, también conocido como martingala inversa, en cambio aumenta las apuestas después de las victorias, mientras que las reduce después de una pérdida. La percepción es que el jugador se beneficiará de una racha ganadora o una "mano caliente", mientras que reducirá las pérdidas cuando esté "frío" o tenga una racha perdedora. Como las apuestas individuales son independientes entre sí (y de las expectativas del jugador), el concepto de "rachas" ganadoras es simplemente un ejemplo de la falacia del jugador , y la estrategia anti-martingala no genera dinero. [8]
