Polinomio SOS

En matemáticas , una forma (es decir, un polinomio homogéneo) h ( x ) de grado 2 m en el vector real n -dimensional x es suma de cuadrados de formas (SOS) si y sólo si existen formas de grado m tales que ${\displaystyle g_{1}(x),\ldots ,g_{k}(x)}$

$${\displaystyle h(x)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}(x)^{2}.}$$

Toda forma que es SOS es también un polinomio positivo , y aunque lo contrario no siempre es cierto, Hilbert demostró que para n = 2, 2 m = 2, o n = 3 y 2 m = 4 una forma es SOS si y sólo si es positivo. ^[1] Lo mismo también es válido para el problema analógico en formas simétricas positivas . ^{[2] [3]}

Aunque no todas las formas pueden representarse como SOS, se han encontrado condiciones suficientes y explícitas para que una forma sea SOS. ^{[4] [5]} Además, cada forma real no negativa se puede aproximar tanto como se desee (en la norma - de su vector de coeficientes) mediante una secuencia de formas que son SOS. ^[6] ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle \{f_{\epsilon }\}}$

Representación matricial cuadrada (SMR)

Establecer si una forma h ( x ) es SOS equivale a resolver un problema de optimización convexa . De hecho, cualquier h ( x ) se puede escribir como

$${\displaystyle h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}}$$

mxlos monomiosmxtranspuestaHmatriz simétrica ${\displaystyle x^{\{m\}}}$

$${\displaystyle h(x)=x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}}$$

espacio lineal ${\displaystyle L(\alpha )}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{L=L':~x^{\{m\}'}Lx^{\{m\}}=0\right\}.}$$

La dimensión del vector está dada por ${\displaystyle x^{\{m\}}}$

$${\displaystyle \sigma (n,m)={\binom {n+m-1}{m}},}$$

${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \omega (n,2m)={\frac {1}{2}}\sigma (n,m)\left(1+\sigma (n,m)\right)-\sigma (n,2m).}$$

Entonces, h ( x ) es SOS si y sólo si existe un vector tal que ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0,}$$

matrizsemidefinida positivade desigualdad matricial lineal^[7][8] ${\displaystyle H+L(\alpha )}$ ${\displaystyle h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}}$

Ejemplos

• Considere la forma de grado 4 en dos variables . Tenemos ${\displaystyle h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}}$
  $${\displaystyle m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{2}^{2}\end{pmatrix}}\!,~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&-\alpha _{1}\\0&-1+2\alpha _{1}&0\\-\alpha _{1}&0&1\end{pmatrix}}\!.}$$
  Puesto que existe α tal que , es decir , se sigue que h ( x ) es SOS. ${\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha =1}$
• Considere la forma de grado 4 en tres variables . Tenemos ${\displaystyle h(x)=2x_{1}^{4}-2.5x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{3}^{3}+5x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}$
  $${\displaystyle m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{1}x_{3}\\x_{2}^{2}\\x_{2}x_{3}\\x_{3}^{2}\end{pmatrix}},~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}2&-1.25&0&-\alpha _{1}&-\alpha _{2}&-\alpha _{3}\\-1.25&2\alpha _{1}&0.5+\alpha _{2}&0&-\alpha _{4}&-\alpha _{5}\\0&0.5+\alpha _{2}&2\alpha _{3}&\alpha _{4}&\alpha _{5}&-1\\-\alpha _{1}&0&\alpha _{4}&5&0&-\alpha _{6}\\-\alpha _{2}&-\alpha _{4}&\alpha _{5}&0&2\alpha _{6}&0\\-\alpha _{3}&-\alpha _{5}&-1&-\alpha _{6}&0&1\end{pmatrix}}.}$$
  Dado que para , se deduce que h ( x ) es SOS. ${\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha =(1.18,-0.43,0.73,1.13,-0.37,0.57)}$

Generalizaciones

Matriz SOS

Una forma matricial F ( x ) (es decir, una matriz cuyas entradas son formas) de dimensión r y grado 2 m en el vector real n -dimensional x es SOS si y sólo si existen formas matriciales de grado m tales que ${\displaystyle G_{1}(x),\ldots ,G_{k}(x)}$

$${\displaystyle F(x)=\sum _{i=1}^{k}G_{i}(x)'G_{i}(x).}$$

Matriz SMR

Establecer si una forma matricial F ( x ) es SOS equivale a resolver un problema de optimización convexa. De hecho, de manera similar al caso escalar, cualquier F ( x ) se puede escribir según el SMR como

$${\displaystyle F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)}$$

productoH ${\displaystyle \otimes }$

$${\displaystyle F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'H\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)}$$

${\displaystyle L(\alpha )}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{L=L':~\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'L\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)=0\right\}.}$$

La dimensión del vector está dada por ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \omega (n,2m,r)={\frac {1}{2}}r\left(\sigma (n,m)\left(r\sigma (n,m)+1\right)-(r+1)\sigma (n,2m)\right).}$$

Entonces, F ( x ) es SOS si y sólo si existe un vector tal que se cumpla el siguiente LMI: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0.}$$

La expresión se introdujo en ^[9] para establecer si una forma matricial es SOS a través de un LMI. ${\displaystyle F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)}$

SOS polinomio no conmutativo

Considere el álgebra libre R ⟨ X ⟩ generada por las n letras no conmutantes X = ( X ₁ , ..., X _n ) y equipada con la involución ^T , tal que ^T fija R y X ₁ , ..., X _n y invierte palabras formadas por X ₁ , ..., X _n . Por analogía con el caso conmutativo, los polinomios simétricos no conmutativos f son los polinomios no conmutativos de la forma f = f ^T . Cuando cualquier matriz real de cualquier dimensión r × r se evalúa en un polinomio simétrico no conmutativo f da como resultado una matriz semidefinida positiva , se dice que f es matriz positiva.

Un polinomio no conmutativo es SOS si existen polinomios no conmutativos tales que ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{k}}$

$${\displaystyle f(X)=\sum _{i=1}^{k}h_{i}(X)^{T}h_{i}(X).}$$

Sorprendentemente, en el escenario no conmutativo un polinomio no conmutativo es SOS si y sólo si es de matriz positiva. ^[10] Además, existen algoritmos disponibles para descomponer polinomios matriciales positivos en suma de cuadrados de polinomios no conmutativos. ^[11]

Referencias

1. Hilbert, David (septiembre de 1888). "Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten". Annalen Matemáticas . 32 (3): 342–350. doi :10.1007/bf01443605. S2CID  177804714.
2. Choi, médico; Lam, TY (1977). "Una vieja pregunta de Hilbert". Artículos de Queen en Matemática Pura y Aplicada . 46 : 385–405.
3. Goel, Charu; Kuhlmann, Salma; Reznick, Bruce (mayo de 2016). "Sobre el análogo de Choi-Lam del teorema de Hilbert de 1888 para formas simétricas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 496 : 114-120. arXiv : 1505.08145 . doi :10.1016/j.laa.2016.01.024. S2CID  17579200.
4. Lasserre, Jean B. (2007). "Condiciones suficientes para que un polinomio real sea suma de cuadrados". Archiv der Mathematik . 89 (5): 390–398. arXiv : matemáticas/0612358 . CiteSeerX 10.1.1.240.4438 . doi :10.1007/s00013-007-2251-y. S2CID  9319455. 
5. Poderes, Victoria ; Wörmann, Thorsten (1998). "Un algoritmo para sumas de cuadrados de polinomios reales" (PDF) . Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 127 (1): 99-104. doi : 10.1016/S0022-4049(97)83827-3 .
6. Lasserre, Jean B. (2007). "Una aproximación de suma de cuadrados de polinomios no negativos". Revisión SIAM . 49 (4): 651–669. arXiv : matemáticas/0412398 . Código Bib : 2007SIAMR..49..651L. doi : 10.1137/070693709.
7. Chesi, G.; Tesi, A.; Vicino, A.; Genesio, R. (1999). "Sobre la convexificación de algunos problemas de distancia mínima". Actas de la V Conferencia Europea de Control . Karlsruhe, Alemania: IEEE. págs. 1446-1451.
8. Choi, M.; Lam, T.; Reznick, B. (1995). "Sumas de cuadrados de polinomios reales". Actas de simposios de matemática pura . págs. 103-125.
9. Chesi, G.; Garulli, A.; Tesi, A.; Vicino, A. (2003). "Robusta estabilidad para sistemas politópicos mediante funciones de Lyapunov polinomialmente dependientes de parámetros". Actas de la 42ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control . Maui, Hawái: IEEE. págs. 4670–4675. doi :10.1109/CDC.2003.1272307.
10. Helton, J. William (septiembre de 2002). "Los polinomios "positivos" no conmutativos son sumas de cuadrados ". The Annals of Mathematics . 156 (2): 675–694. doi : 10.2307/3597203. JSTOR  3597203.
11. Burgdorf, Sabina; Cafuta, Kristijan; Klep, Igor; Povh, Janez (25 de octubre de 2012). "Aspectos algorítmicos de sumas de cuadrados hermitianos de polinomios no conmutativos". Optimización Computacional y Aplicaciones . 55 (1): 137-153. CiteSeerX 10.1.1.416.543 . doi :10.1007/s10589-012-9513-8. S2CID  254416733. 

Ver también

• Optimización de suma de cuadrados
• Polinomio positivo
• El decimoséptimo problema de Hilbert
• SOS-convexidad