Polinomio positivo

En matemáticas , un polinomio positivo (respectivamente no negativo ) en un conjunto particular es un polinomio cuyos valores son positivos (respectivamente no negativos) en ese conjunto. Precisamente, sea un polinomio en variables con coeficientes reales y sea un subconjunto del espacio euclidiano bidimensional . Decimos que: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle p}$es positivo en if para cada in . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p(x)>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle p}$no es negativo en if para cada in . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

Positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

Para ciertos conjuntos , existen descripciones algebraicas de todos los polinomios que son positivos (o no negativos) en . Tal descripción es positivstellensatz ( resp. nichtnegativstellensatz ). La importancia de los teoremas de Positivstellensatz en computación surge de su capacidad para transformar problemas de optimización polinomial en problemas de programación semidefinida , que pueden resolverse eficientemente utilizando técnicas de optimización convexa . ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

• Polinomios globalmente positivos y descomposición por suma de cuadrados .
  • Todo polinomio real en una variable es no negativo si y sólo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable. ^[2] Esta equivalencia no se generaliza para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio de Motzkin no es negativo pero no es una suma de cuadrados de elementos de . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]}$
  • Un polinomio real en variables es no negativo si y sólo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en variables (ver el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin ^[4] ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$
  • Supongamos que es homogéneo de grado par. Si es positivo en , entonces existe un número entero tal que es una suma de cuadrados de elementos de . ^[5] ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2})^{m}p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$
• Polinomios positivos sobre politopos .
  • Para polinomios de grado tenemos la siguiente variante del lema de Farkas : Si tienen grado y para todo satisfactorio , entonces existen números reales no negativos tales que . ${\displaystyle {}\leq 1}$ ${\displaystyle f,g_{1},\dots ,g_{k}}$ ${\displaystyle {}\leq 1}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\dots ,g_{k}(x)\geq 0}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\cdots +c_{k}g_{k}}$
  • Teorema de Pólya: ^[6] Si es homogéneo y positivo en el conjunto , entonces existe un número entero tal que tiene coeficientes no negativos. ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0,\dots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\cdots +x_{n}\neq 0\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x_{1}+\cdots +c_{n})^{m}p}$
  • Teorema de Handelman: ^[7] Si es un politopo compacto en el espacio euclidiano, definido por desigualdades lineales , y si es un polinomio en variables positivo en , entonces se puede expresar como una combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de miembros. de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{g_{i}\}}$
• Polinomios positivos en conjuntos semialgebraicos .
  • El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle .
  • Para conjuntos semialgebraicos compactos tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen , ^{[8] [9]} el positivstellensatz de Putinar ^{[10] [11]} y el positivstellensatz de Vasilescu. ^[12] El punto aquí es que no se necesitan denominadores.
  • Para conjuntos semialgebraicos compactos y agradables de baja dimensión, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores. ^{[13] [14] [15]}

Generalizaciones de positivstellensatz

Positivstellensatz también existen para signomios , ^[16] polinomios trigonométricos , ^[17] matrices polinómicas , ^[18] polinomios en variables libres, ^[19] polinomios cuánticos, ^[20] y funciones definibles en estructuras o-mínimas . ^[21]

Notas

1. Optimización semidefinida y geometría algebraica convexa. Grigoriy Blekherman, Pablo A. Parrilo, Rekha R. Thomas. Filadelfia. 2013.ISBN​ 978-1-61197-228-3. OCLC  809420808.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ) Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
2. Benoist, Olivier (2017). "Escribir polinomios positivos como sumas de (pocos) cuadrados". Boletín de EMS . 2017–9 (105): 8–13. doi : 10.4171/NEWS/105/4 . ISSN  1027-488X.
3. TS Motzkin, La desigualdad aritmético-geométrica. 1967 Desigualdades (Proc. Simpos. Base de la Fuerza Aérea Wright-Patterson, Ohio, 1965) págs.
4. E. Artin , Uber die Zerlegung definidor Funktionen in Quadrate, Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo, 5 (1927), 85–99.
5. B. Reznick, Denominadores uniformes en el decimoséptimo problema de Hilbert. Matemáticas. Z. 220 (1995), núm. 1, 75–97.
6. G. Pólya, Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, en: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, págs. 309–313.
7. D. Handelman, Representación de polinomios mediante funciones lineales positivas en poliedros convexos compactos. Pacífico J. Matemáticas. 132 (1988), núm. 1, 35–62.
8. K. Schmüdgen. "El problema del momento K para conjuntos semialgebraicos compactos". Matemáticas. Ana. 289 (1991), núm. 2, 203–206.
9. T. Wörmann. "Polinomo positivo Strikt in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Dortmund 1998.
10. M. Putinar, "Polinomios positivos en conjuntos semialgebraicos compactos". Universidad de Indiana. Matemáticas. J. 42 (1993), núm. 3, 969–984.
11. T. Jacobi, "Un teorema de representación para ciertos anillos conmutativos parcialmente ordenados". Matemáticas. Z. 237 (2001), núm. 2, 259–273.
12. Vasilescu, F.-H. "Medidas espectrales y problemas de momentos". Análisis espectral y sus aplicaciones, 173–215, Theta Ser. Adv. Matemáticas. , 2, Theta, Bucarest, 2003. Véase el teorema 1.3.1.
13. C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados de funciones regulares en variedades algebraicas reales". Trans. América. Matemáticas. Soc. 352 (2000), núm. 3, 1039–1069.
14. C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados en curvas algebraicas reales". Matemáticas. Z. 245 (2003), núm. 4, 725–760.
15. C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados en superficies algebraicas reales". Matemáticas manuscritas. 119 (2006), núm. 4, 395–410.
16. Dressler, Mareike; Murray, Riley (31 de diciembre de 2022). "Perspectivas algebraicas sobre la optimización signomial". Revista SIAM de Álgebra y Geometría Aplicadas . 6 (4): 650–684. arXiv : 2107.00345 . doi :10.1137/21M1462568. ISSN  2470-6566. S2CID  235694320.
17. Dumitrescu, Bogdan (2007). "Positivstellensatz para polinomios trigonométricos y pruebas de estabilidad multidimensional". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas II: resúmenes exprés . 54 (4): 353–356. doi :10.1109/TCSII.2006.890409. ISSN  1558-3791. S2CID  38131072.
18. Cimprič, J. (2011). "Estrictamente positivstellensätze para polinomios matriciales con restricciones escalares". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 434 (8): 1879–1883. arXiv : 1011.4930 . doi : 10.1016/j.laa.2010.11.046 . S2CID  119169153.
19. Helton, J. William; Klep, Igor; McCullough, Scott (2012). "El Positivstellensatz convexo en un álgebra libre". Avances en Matemáticas . 231 (1): 516–534. arXiv : 1102.4859 . doi : 10.1016/j.aim.2012.04.028 .
20. Klep, Igor (31 de diciembre de 2004). "El Positivstellensatz graduado no conmutativo". Comunicaciones en Álgebra . 32 (5): 2029-2040. doi :10.1081/AGB-120029921. ISSN  0092-7872. S2CID  120795025.
21. Acquistapace, F.; Andradas, C.; Broglia, F. (1 de julio de 2002). "El Positivstellensatz para funciones definibles en estructuras o-mínimas". Revista de Matemáticas de Illinois . 46 (3). doi : 10.1215/ijm/1258130979 . ISSN  0019-2082. S2CID  122451112.

Lectura adicional

• Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Geometría Algebraica Real . Traducido del original francés de 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. ISBN 3-540-64663-9 . 
• Marshall, Murray. "Polinomios positivos y sumas de cuadrados". Encuestas y monografías matemáticas , 146. Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4 .  

Ver también

• Polinomio SOS
• El decimoséptimo problema de Hilbert
• Nullstellensatz de Hilbert para descripciones algebraicas de polinomios que son cero en un conjunto S.