Desigualdad matricial lineal

Optimización matemática convexa

En optimización convexa , una desigualdad matricial lineal ( LMI ) es una expresión de la forma

${\displaystyle \operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,}$

dónde

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]}$es un vector real,
• ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$son matrices simétricas , ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
• ${\displaystyle B\succeq 0}$es una desigualdad generalizada que significa que es una matriz semidefinida positiva que pertenece al cono semidefinido positivo en el subespacio de matrices simétricas . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Esta desigualdad matricial lineal especifica una restricción convexa en  . ${\displaystyle y}$

Aplicaciones

Existen métodos numéricos eficientes para determinar si un LMI es factible ( p. ej. , si existe un vector y tal que LMI( y ) ≥ 0), o para resolver un problema de optimización convexa con restricciones de LMI. Muchos problemas de optimización en teoría de control , identificación de sistemas y procesamiento de señales se pueden formular utilizando LMI. Los LMI también encuentran aplicación en la suma de cuadrados polinomiales . El programa semidefinido primario y dual prototípico es una minimización de una función lineal real sujeta respectivamente a los conos convexos primario y dual que gobiernan este LMI.

Resolviendo LMI

Un avance importante en la optimización convexa fue la introducción de métodos de punto interior . Estos métodos se desarrollaron en una serie de artículos y adquirieron verdadero interés en el contexto de los problemas de LMI en el trabajo de Yurii Nesterov y Arkadi Nemirovski .

Ver también

• Programación semidefinida
• espectroedro
• Lema de Finsler

Referencias

• Y. Nesterov y A. Nemirovsky, Métodos polinomiales de puntos interiores en programación convexa. SIAM, 1994.

Enlaces externos

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron y V. Balakrishnan, Desigualdades de matrices lineales en teoría de sistemas y control (libro en pdf)
• C. Scherer y S. Weiland, Desigualdades de matriz lineal en el control