En matemáticas , un polinomio simétrico es un polinomio P ( X 1 , X 2 ,..., X n ) en n variables, tal que si se intercambia alguna de las variables se obtiene el mismo polinomio. Formalmente, P es un polinomio simétrico si para cualquier permutación σ de los subíndices 1, 2, ..., n se tiene P ( X σ(1) , X σ(2) , ..., X σ( n ) ) = P ( X 1 , X 2 , ..., X n ) .
Los polinomios simétricos surgen naturalmente en el estudio de la relación entre las raíces de un polinomio en una variable y sus coeficientes , ya que los coeficientes pueden estar dados por expresiones polinómicas en las raíces, y todas las raíces juegan un papel similar en este escenario. Desde este punto de vista, los polinomios simétricos elementales son los polinomios simétricos más fundamentales. De hecho, un teorema llamado teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que cualquier polinomio simétrico puede expresarse en términos de polinomios simétricos elementales. Esto implica que cada expresión polinómica simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede darse alternativamente como una expresión polinómica en los coeficientes del polinomio.
Los polinomios simétricos también forman una estructura interesante por sí mismos, independientemente de cualquier relación con las raíces de un polinomio. En este contexto, otras colecciones de polinomios simétricos específicos, como los polinomios homogéneos completos , de suma de potencias y de Schur , desempeñan papeles importantes junto con los elementales. Las estructuras resultantes, y en particular el anillo de funciones simétricas , son de gran importancia en combinatoria y teoría de la representación .
Los siguientes polinomios en dos variables X 1 y X 2 son simétricos:
como es el siguiente polinomio en tres variables X 1 , X 2 , X 3 :
Hay muchas formas de crear polinomios simétricos específicos en cualquier número de variables (consulte los distintos tipos a continuación). Un ejemplo de un sabor algo diferente es
donde primero se construye un polinomio que cambia de signo con cada intercambio de variables, y tomando el cuadrado lo vuelve completamente simétrico (si las variables representan las raíces de un polinomio mónico, este polinomio da su discriminante ).
Por otro lado, el polinomio en dos variables.
no es simétrico, ya que si se intercambia y se obtiene un polinomio diferente, . De manera similar en tres variables
sólo tiene simetría bajo permutaciones cíclicas de las tres variables, lo que no es suficiente para ser un polinomio simétrico. Sin embargo, lo siguiente es simétrico:
Un contexto en el que ocurren funciones polinomiales simétricas es en el estudio de polinomios univariados mónicos de grado n que tienen n raíces en un campo determinado . Estas n raíces determinan el polinomio, y cuando se consideran variables independientes, los coeficientes del polinomio son funciones polinomiales simétricas de las raíces. Además, el teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que una función polinómica f de las n raíces puede expresarse como (otra) función polinómica de los coeficientes del polinomio determinado por las raíces si y sólo si f está dada por un polinomio simétrico.
Esto produce el enfoque para resolver ecuaciones polinomiales invirtiendo este mapa, "rompiendo" la simetría; dados los coeficientes del polinomio (los polinomios simétricos elementales en las raíces), ¿cómo se pueden recuperar las raíces? Esto lleva a estudiar soluciones de polinomios utilizando el grupo de permutación de las raíces, originalmente en forma de resolutivos de Lagrange , desarrollados más tarde en la teoría de Galois .
Considere un polinomio mónico en t de grado n
con coeficientes a i en algún campo K . Existen n raíces x 1 ,..., x n de P en algún campo posiblemente más grande (por ejemplo, si K es el campo de números reales , las raíces existirán en el campo de números complejos ); algunas de las raíces pueden ser iguales, pero el hecho de que uno tenga todas las raíces se expresa mediante la relación
Comparando coeficientes se encuentra que
De hecho, estos son sólo ejemplos de las fórmulas de Vieta . Muestran que todos los coeficientes del polinomio están dados en términos de las raíces mediante una expresión polinómica simétrica : aunque para un polinomio P dado puede haber diferencias cualitativas entre las raíces (como estar en el campo base K o no, ser simple o múltiple raíces), nada de esto afecta la forma en que aparecen las raíces en estas expresiones.
Ahora se puede cambiar el punto de vista, tomando las raíces en lugar de los coeficientes como parámetros básicos para describir P y considerándolos como indeterminados en lugar de constantes en un campo apropiado; los coeficientes a i entonces se convierten en los polinomios simétricos particulares dados por las ecuaciones anteriores. Esos polinomios, sin el signo , se conocen como polinomios simétricos elementales en x 1 , ..., x n . Un hecho básico, conocido como teorema fundamental de los polinomios simétricos , establece que cualquier polinomio simétrico en n variables puede estar dado por una expresión polinómica en términos de estos polinomios simétricos elementales. De ello se deduce que cualquier expresión polinómica simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede expresarse como un polinomio en los coeficientes del polinomio y, en particular, que su valor reside en el campo base K que contiene esos coeficientes. Por lo tanto, cuando se trabaja sólo con tales expresiones polinómicas simétricas en las raíces, no es necesario saber nada particular acerca de esas raíces, ni calcular en ningún campo mayor que K en el que puedan encontrarse esas raíces. De hecho, los valores de las raíces mismas se vuelven bastante irrelevantes, y las relaciones necesarias entre coeficientes y expresiones polinómicas simétricas pueden encontrarse mediante cálculos en términos de polinomios simétricos únicamente. Un ejemplo de tales relaciones son las identidades de Newton , que expresan la suma de cualquier potencia fija de las raíces en términos de polinomios simétricos elementales.
Hay algunos tipos de polinomios simétricos en las variables X 1 , X 2 , ..., X n que son fundamentales.
Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico elemental e k ( X 1 , ..., X n ) es la suma de todos los productos distintos de k variables distintas. (Algunos autores lo denotan por σ k en su lugar). Para k = 0 solo existe el producto vacío , por lo que e 0 ( X 1 , ..., X n ) = 1, mientras que para k > n , no se puede generar ningún producto. formado, entonces e k ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0 en estos casos. Los n polinomios simétricos elementales restantes son bloques de construcción para todos los polinomios simétricos en estas variables: como se mencionó anteriormente, cualquier polinomio simétrico en las variables consideradas se puede obtener a partir de estos polinomios simétricos elementales usando multiplicaciones y sumas únicamente. De hecho se tienen los siguientes hechos más detallados:
Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos elementales relevantes son e 1 ( X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 , y e 2 ( X 1 , X 2 ) = X 1 X 2 . El primer polinomio en la lista de ejemplos anteriores se puede escribir como
(Para una prueba de que esto siempre es posible, consulte el teorema fundamental de los polinomios simétricos ).
Las potencias y productos de polinomios simétricos elementales dan lugar a expresiones bastante complicadas. Si uno busca componentes básicos aditivos para polinomios simétricos, una opción más natural es tomar aquellos polinomios simétricos que contienen solo un tipo de monomio , con solo aquellas copias necesarias para obtener simetría. Cualquier monomio en X 1 , ..., X n se puede escribir como X 1 α 1 ... X n α n donde los exponentes α i son números naturales (posiblemente cero); escribiendo α = (α 1 ,...,α n ) esto se puede abreviar a X α . El polinomio monomio simétrico m α ( X 1 , ..., X n ) se define como la suma de todos los monomios x β donde β abarca todas las permutaciones distintas de (α 1 ,...,α n ). Por ejemplo uno tiene
Claramente m α = m β cuando β es una permutación de α, por lo que generalmente se consideran solo aquellos m α para los cuales α 1 ≥ α 2 ≥ ... ≥ α n , en otras palabras, para los cuales α es una partición de un número entero . Estos polinomios simétricos monomios forman una base de espacio vectorial : cada polinomio simétrico P se puede escribir como una combinación lineal de los polinomios simétricos monomios. Para ello basta con separar los diferentes tipos de monomio que aparecen en P . En particular, si P tiene coeficientes enteros, también los tendrá la combinación lineal.
Los polinomios simétricos elementales son casos particulares de polinomios simétricos monomios: para 0 ≤ k ≤ n se tiene
Para cada entero k ≥ 1, el polinomio monomio simétrico m ( k ,0,...,0) ( X 1 , ..., X n ) es de especial interés. Es el polinomio simétrico de suma de potencias, definido como
Todos los polinomios simétricos se pueden obtener a partir de los primeros n polinomios simétricos de suma de potencias mediante sumas y multiplicaciones, posiblemente involucrando coeficientes racionales . Más precisamente,
En particular, los polinomios de suma de potencias restantes p k ( X 1 , ..., X n ) para k > n pueden expresarse así en los primeros n polinomios de suma de potencias; Por ejemplo
A diferencia de la situación de los polinomios elementales y homogéneos completos, un polinomio simétrico en n variables con coeficientes integrales no tiene por qué ser una función polinómica con coeficientes integrales de los polinomios simétricos de suma de potencias. Por ejemplo, para n = 2, el polinomio simétrico
tiene la expresión
Usando tres variables se obtiene una expresión diferente.
La expresión correspondiente también era válida para dos variables (basta con establecer X 3 en cero), pero como involucra a p 3 , no podría usarse para ilustrar la afirmación para n = 2. El ejemplo muestra que si la La expresión para un polinomio monomio simétrico dado en términos de los primeros n polinomios de suma de potencias implica coeficientes racionales que pueden depender de n . Pero siempre se necesitan coeficientes racionales para expresar polinomios simétricos elementales (excepto los constantes y e 1 que coincide con la primera suma de potencias) en términos de polinomios de suma de potencias. Las identidades de Newton proporcionan un método explícito para hacer esto; Implica la división por números enteros hasta n , lo que explica los coeficientes racionales. Debido a estas divisiones, la afirmación mencionada falla en general cuando los coeficientes se toman en un campo de característica finita ; sin embargo, es válido con coeficientes en cualquier anillo que contenga números racionales.
Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico homogéneo completo h k ( X 1 , ..., X n ) es la suma de todos los monomios distintos de grado k en las variables X 1 , ..., X n . Por ejemplo
El polinomio h k ( X 1 , ..., X n ) es también la suma de todos los polinomios simétricos monomios distintos de grado k en X 1 , ..., X n , por ejemplo para el ejemplo dado
Todos los polinomios simétricos en estas variables se pueden construir a partir de polinomios simétricos completos y homogéneos: cualquier polinomio simétrico en X 1 , ..., X n se puede obtener a partir de los polinomios simétricos homogéneos completos h 1 ( X 1 , ..., X n ) , ..., h n ( X 1 , ..., X n ) mediante multiplicaciones y sumas. Más precisamente:
Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos homogéneos completos relevantes son h 1 ( X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 y h 2 ( X 1 , X 2 ) = X 1 2 + X 1 X 2 + X 2 2 . El primer polinomio en la lista de ejemplos anteriores se puede escribir como
Como en el caso de las sumas de potencias, la afirmación dada se aplica en particular a los polinomios simétricos homogéneos completos más allá de h n ( X 1 , ..., X n ), lo que permite expresarlos en términos de los unos hasta ese punto; nuevamente las identidades resultantes dejan de ser válidas cuando se aumenta el número de variables.
Un aspecto importante de los polinomios simétricos homogéneos completos es su relación con los polinomios simétricos elementales, que pueden expresarse como las identidades
Dado que e 0 ( X 1 , ..., X n ) y h 0 ( X 1 , ..., X n ) son ambos iguales a 1, se puede aislar el primer o el último término de estas sumatorias; el primero proporciona un conjunto de ecuaciones que permite expresar recursivamente los sucesivos polinomios simétricos homogéneos completos en términos de polinomios simétricos elementales, y el segundo proporciona un conjunto de ecuaciones que permite hacer lo inverso. Esto muestra implícitamente que cualquier polinomio simétrico se puede expresar en términos de h k ( X 1 , ..., X n ) con 1 ≤ k ≤ n : primero se expresa el polinomio simétrico en términos de los polinomios simétricos elementales, y luego expresa aquellos en términos de los mencionados completos homogéneos.
Otra clase de polinomios simétricos es la de los polinomios de Schur, que son de fundamental importancia en las aplicaciones de los polinomios simétricos a la teoría de la representación . Sin embargo, no son tan fáciles de describir como otros tipos de polinomios simétricos especiales; consulte el artículo principal para obtener más detalles.
Los polinomios simétricos son importantes para el álgebra lineal , la teoría de la representación y la teoría de Galois . También son importantes en combinatoria , donde se estudian mayoritariamente a través del anillo de funciones simétricas , lo que evita tener que llevar consigo un número fijo de variables todo el tiempo.
Análogos a los polinomios simétricos son los polinomios alternos : polinomios que, en lugar de ser invariantes bajo la permutación de las entradas, cambian según el signo de la permutación .
Todos estos son productos del polinomio de Vandermonde y un polinomio simétrico, y forman una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos: el polinomio de Vandermonde es una raíz cuadrada del discriminante.
