Involución (matemáticas)

Una involución es una función $f : X \to X$ que, cuando se aplica dos veces, nos devuelve al punto de partida.

En matemáticas , una involución , función involutoria o función autoinversa ^[1] es una función $f$ que es su propia inversa ,

f (f (x)) = x

para todo $x$ en el dominio de $f$ . ^[2] De manera equivalente, aplicar $f$ dos veces produce el valor original.

Propiedades generales

Cualquier involución es una biyección .

El mapa de identidad es un ejemplo trivial de involución. Ejemplos de involuciones no triviales incluyen la negación ( $x \mapsto - x$ ), la reciprocidad ( $x \mapsto 1/ x$ ) y la conjugación compleja ( $z \mapsto z$ ) en aritmética ; reflexión , rotación de media vuelta e inversión de círculo en geometría ; complementación en teoría de conjuntos ; y cifrados recíprocos como la transformación ROT13 y el cifrado polialfabético de Beaufort .

La composición $g \circ f$ de dos involuciones $f$ y $g$ es una involución si y sólo si conmutan : $g \circ f = f \circ g$ . ^[3]

Involuciones en conjuntos finitos

El número de involuciones, incluida la involución identidad, en un conjunto con $n = 0, 1, 2, ...$ elementos viene dado por una relación de recurrencia encontrada por Heinrich August Rothe en 1800:

a_{0}=a_{1}=1

y para

{\ Displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + (n-1) a_ {n-2}}

n>1.

Los primeros términos de esta secuencia son 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (secuencia A000085 en OEIS ); Estos números se llaman números de teléfono y también cuentan el número de cuadros de Young con un número determinado de celdas. ^[4] El número $an también se$ puede expresar mediante fórmulas no recursivas, como la suma

a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n -2m)!}}.

El número de puntos fijos de una involución en un conjunto finito y su número de elementos tienen la misma paridad . Así, el número de puntos fijos de todas las involuciones de un conjunto finito dado tiene la misma paridad. En particular, toda involución sobre un número impar de elementos tiene al menos un punto fijo . Esto se puede utilizar para demostrar el teorema de los dos cuadrados de Fermat . ^[5]

Involución en todos los campos de las matemáticas.

Funciones de valor real

Algunos ejemplos básicos de involuciones incluyen las funciones

{\begin{alignedat}{4}f_{1}(x)&=-x,\\f_{2}(x)&={\frac {1}{x}},\\f_{ 3}(x)&={\frac {x}{x-1}},\\\end{alignedat}}

f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}},

g(x)={\frac {b-x}{1+cx}}

b

c

bc \neq -1

Otro es

f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right).

La gráfica de una involución (en los números reales) es simétrica a lo largo de la recta $y = x$ . Esto se debe a que la inversa de cualquier función general será su reflejo sobre la recta $y = x$ . Esto se puede ver "intercambiando" $x$ con $y$ . Si, en particular, la función es una involución , entonces su gráfica es su propio reflejo.

Otras involuciones elementales son útiles para resolver ecuaciones funcionales .

Geometría euclidiana

Un ejemplo sencillo de involución del espacio euclidiano tridimensional es la reflexión a través de un plano . Realizar una reflexión dos veces devuelve un punto a sus coordenadas originales.

Otra involución es la reflexión a través del origen ; no es un reflejo en el sentido anterior y, por tanto, un ejemplo distinto.

Estas transformaciones son ejemplos de involuciones afines .

Geometría proyectiva

Una involución es una proyectividad del período 2, es decir, una proyectividad que intercambia pares de puntos. ^[6]^{: 24}

Cualquier proyectividad que intercambie dos puntos es una involución.
Los tres pares de lados opuestos de un cuadrilátero completo se encuentran con cualquier línea (que no pase por un vértice) en tres pares de una involución. Este teorema ha sido denominado Teorema de Involución de Desargues . ^[7] Sus orígenes se pueden ver en el Lema IV de los lemas de los Porismos de Euclides en el Volumen VII de la Colección de Pappus de Alejandría . ^[8]
Si una involución tiene un punto fijo , tiene otro, y consiste en la correspondencia entre conjugados armónicos respecto de esos dos puntos. En este caso la involución se denomina "hiperbólica", mientras que si no hay puntos fijos es "elíptica". En el contexto de las proyectividades, los puntos fijos se denominan puntos dobles . ^[6]^{: 53}

Otro tipo de involución que ocurre en la geometría proyectiva es una polaridad que es una correlación del período 2. ^[9]

Álgebra lineal

En álgebra lineal, una involución es un operador lineal $T$ en un espacio vectorial, tal que $T 2 = I$ . Excepto en la característica 2, dichos operadores son diagonalizables para una base dada con solo $1$ s y $-1$ s en la diagonal de la matriz correspondiente. Si el operador es ortogonal (una involución ortogonal ), es ortonormalmente diagonalizable.

Por ejemplo, supongamos que se elige una base para un espacio vectorial $V$ y que $e 1$ y $e 2$ son elementos de base. Existe una transformación lineal $f$ que envía $e 1$ a $e 2$ y envía $e 2$ a $e 1$ , y esa es la identidad en todos los demás vectores base. Se puede comprobar que $f (f (x)) = x$ para todo $x$ en $V$ . Es decir, f $es$ una involución de $V.$

De forma específica, cualquier operador lineal puede representarse mediante una matriz $T.$ Cada matriz tiene una transpuesta , que se obtiene intercambiando filas por columnas. Esta transposición es una involución sobre el conjunto de matrices. Dado que la conjugación compleja por elementos es una involución independiente, la transpuesta conjugada o el adjunto hermitiano también es una involución.

La definición de involución se extiende fácilmente a los módulos . Dado un módulo $M$ sobre un anillo $R$ , un endomorfismo $R$ $f$ de $M$ se llama involución si $f$ $2$ es el homomorfismo identidad en $M.$

Las involuciones están relacionadas con los idempotentes ; si $2$ es invertible, entonces se corresponden uno a uno.

En análisis funcional , las álgebras de Banach * y las álgebras C* son tipos especiales de álgebras de Banach con involuciones.

Álgebra de cuaterniones, grupos, semigrupos

En un álgebra de cuaterniones , una (anti)involución se define mediante los siguientes axiomas: si consideramos una transformación entonces es una involución si $x\mapsto f(x)$

$f(f(x))=x$ (es su propio inverso)
$f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ y (es lineal) $f(\lambda x)=\lambda f(x)$
$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

Una antiinvolución no obedece al último axioma sino que

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

Esta antigua ley a veces se llama antidistributiva . También aparece en grupos como $(xy) -1 = (y) -1 (x) -1$ . Tomado como axioma, conduce a la noción de semigrupo con involución , del cual hay ejemplos naturales que no son grupos, por ejemplo la multiplicación de matrices cuadradas (es decir, el monoide lineal completo ) con transpuesta como involución.

Teoría del anillo

En la teoría de anillos , la palabra involución suele entenderse como un antihomomorfismo que es su propia función inversa. Ejemplos de involuciones en anillos comunes:

conjugación compleja en el plano complejo y su equivalente en los números complejos divididos
tomando la transpuesta en un anillo de matriz.

teoría de grupos

En teoría de grupos , un elemento de un grupo es una involución si tiene orden 2; es decir, una involución es un elemento $a$ tal que $a \neq e$ y $a 2 = e$ , donde $e$ es el elemento identidad . ^[10] Originalmente, esta definición coincidía con la primera definición anterior, ya que los miembros de los grupos siempre eran biyecciones de un conjunto en sí mismo; es decir, se consideró que grupo significaba grupo de permutación . A finales del siglo XIX, el grupo se definió de manera más amplia y, en consecuencia, también la involución .

Una permutación es una involución si y sólo si puede escribirse como un producto finito de transposiciones disjuntas .

Las involuciones de un grupo tienen un gran impacto en la estructura del grupo. El estudio de las involuciones fue fundamental en la clasificación de grupos finitos simples .

Un elemento $x$ de un grupo $G$ se llama fuertemente real si hay una involución $t$ con $x t = x -1$ (donde $x t = x -1 = t -1 \cdot x \cdot t$ ).

Los grupos de Coxeter son grupos generados por un conjunto $S$ de involuciones sujetas únicamente a relaciones que involucran potencias de pares de elementos de $S.$ Los grupos de Coxeter se pueden utilizar, entre otras cosas, para describir los posibles poliedros regulares y sus generalizaciones a dimensiones superiores .

Lógica matemática

La operación del complemento en álgebras de Boole es una involución. En consecuencia, la negación en lógica clásica satisface la ley de la doble negación : $\neg\neg A$ es equivalente a $A.$

Generalmente en lógicas no clásicas, la negación que satisface la ley de la doble negación se denomina involutiva . En semántica algebraica, tal negación se realiza como una involución en el álgebra de los valores de verdad . Ejemplos de lógicas que tienen negación involutiva son la lógica de tres valores de Kleene y Bochvar , la lógica de muchos valores de Łukasiewicz , la lógica difusa IMTL, etc. La negación involutiva a veces se agrega como un conectivo adicional a las lógicas con negación no involutiva; esto es habitual, por ejemplo, en lógicas difusas de norma t .

La involutividad de la negación es una propiedad de caracterización importante para la lógica y las variedades correspondientes de álgebras . Por ejemplo, la negación involutiva caracteriza a las álgebras de Boole entre las álgebras de Heyting . De manera correspondiente, la lógica booleana clásica surge al agregar la ley de la doble negación a la lógica intuicionista . La misma relación se mantiene también entre las álgebras MV y las álgebras BL (y, por lo tanto, correspondientemente entre la lógica de Łukasiewicz y la lógica difusa BL ), IMTL y MTL , y otros pares de variedades importantes de álgebras (resp. lógicas correspondientes).

En el estudio de las relaciones binarias , cada relación tiene una relación inversa . Dado que lo inverso de lo inverso es la relación original, la operación de conversión es una involución en la categoría de relaciones . Las relaciones binarias se ordenan mediante la inclusión . Si bien este orden se invierte con la involución de complementación , se conserva durante la conversión.

Ciencias de la Computación

La operación XOR bit a bit con un valor dado para un parámetro es una involución en el otro parámetro. En algunos casos, las máscaras XOR se utilizaron para dibujar gráficos en imágenes de tal manera que al dibujarlos dos veces en el fondo, el fondo vuelve a su estado original. La operación NOT bit a bit también es una involución y es un caso especial de la operación XOR donde un parámetro tiene todos los bits establecidos en 1.

Otro ejemplo es una función de máscara y desplazamiento de bits que opera con valores de color almacenados como números enteros, digamos en la forma $(R, G, B)$ , que intercambia $R$ y $B$ , lo que da como resultado la forma $(B, G, R)$ : $f (f (RGB)) = RGB, f (f (BGR)) = BGR$ .

El cifrado criptográfico RC4 es una involución, ya que las operaciones de cifrado y descifrado utilizan la misma función.

Prácticamente todas las máquinas de cifrado mecánico implementan un cifrado recíproco , una involución en cada letra tecleada. En lugar de diseñar dos tipos de máquinas, una para cifrar y otra para descifrar, todas las máquinas pueden ser idénticas y pueden configurarse (codificarse) de la misma manera. ^[11]

Ver también

Referencias

^ Robert Alexander Adams, Cálculo: variable única , 2006, ISBN 0321307143 , p. 165
^ Russell, Bertrand (1903), Principios de las matemáticas (2ª ed.), WW Norton & Company, Inc, p. 426, ISBN 9781440054167
^ Kubrusly, Carlos S. (2011), Los elementos de la teoría del operador, Springer Science & Business Media, Problema 1.11 (a), p. 27, ISBN 9780817649982.
^ Knuth, Donald E. (1973), El arte de la programación informática , Volumen 3: Clasificación y búsqueda , Lectura, Mass.: Addison-Wesley, págs. 48, 65, MR 0445948
^ Zagier, D. (1990), "Una prueba de una oración de que todo primo p ≡ 1 (mod 4) es una suma de dos cuadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi :10.2307/2323918, JSTOR 2323918, SEÑOR 1041893.
^ ab AG Pickford (1909) Geometría proyectiva elemental, Cambridge University Press a través de Internet Archive
^ JV Field y JJ Gray (1987) La obra geométrica de Girard Desargues , (Nueva York: Springer), p. 54
^ Ivor Thomas (editor) (1980) Selecciones que ilustran la historia de las matemáticas griegas , volumen II, número 362 en la Biblioteca clásica de Loeb (Cambridge y Londres: Harvard y Heinemann), págs.
^ HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , págs. 244–8, John Wiley & Sons
^ John S. Rosa. "Un curso de teoría de grupos". pag. 10, sección 1.13.
^ Greg Goebel. "La Mecanización de los Cifrados" 2018.

Otras lecturas

Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Cuaterniones involuciones y anti-involuciones". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 53 (1): 137-143. arXiv : matemáticas/0506034 . doi :10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID 45639619.
Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alejandro ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), El libro de las involuciones , Publicaciones Coloquio, vol. 44, con prefacio de J. Boobs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001
"Involución", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

enlaces externos

Medios relacionados con Involución en Wikimedia Commons