Emisión espontánea

Cambio de estado mecánico cuántico

La emisión espontánea es el proceso en el que un sistema mecánico cuántico (como una molécula , un átomo o una partícula subatómica ) pasa de un estado de energía excitado a un estado de energía más bajo (por ejemplo, su estado fundamental ) y emite una cantidad cuantificada de energía en forma de fotón . La emisión espontánea es, en última instancia, responsable de la mayor parte de la luz que vemos a nuestro alrededor; es tan omnipresente que se dan muchos nombres a lo que es esencialmente el mismo proceso. Si los átomos (o moléculas) se excitan por algún medio distinto del calentamiento, la emisión espontánea se llama luminiscencia . Por ejemplo, las luciérnagas son luminiscentes. Y existen diferentes formas de luminiscencia según cómo se produzcan los átomos excitados ( electroluminiscencia , quimioluminiscencia, etc.). Si la excitación se efectúa por la absorción de radiación, la emisión espontánea se llama fluorescencia . A veces, las moléculas tienen un nivel metaestable y continúan fluoresciendo mucho después de que se apague la radiación excitadora; esto se llama fosforescencia . Las figuras que brillan en la oscuridad son fosforescentes. Los láseres comienzan por emisión espontánea y luego, durante el funcionamiento continuo, funcionan por emisión estimulada .

La emisión espontánea no puede explicarse mediante la teoría electromagnética clásica y es fundamentalmente un proceso cuántico. Según la American Physical Society, la primera persona en predecir correctamente el fenómeno de la emisión espontánea fue Albert Einstein en una serie de artículos que comenzaron en 1916 y que culminaron en lo que ahora se llama el coeficiente A de Einstein . ^{[1] [2]} La teoría cuántica de la radiación de Einstein anticipó varias décadas las ideas expresadas más tarde en la electrodinámica cuántica y la óptica cuántica . ^[3] Más tarde, después del descubrimiento formal de la mecánica cuántica en 1926, la tasa de emisión espontánea fue descrita con precisión a partir de los primeros principios por Dirac en su teoría cuántica de la radiación, ^[4] el precursor de la teoría que más tarde llamó electrodinámica cuántica . ^[5] Los físicos contemporáneos, cuando se les pide que den una explicación física de la emisión espontánea, generalmente invocan la energía del punto cero del campo electromagnético. ^{[6] [7]} En 1963, se desarrolló el modelo de Jaynes-Cummings ^{[8], que describe el sistema de un} átomo de dos niveles que interactúa con un modo de campo cuantizado (es decir, el vacío) dentro de una cavidad óptica. Dio la predicción no intuitiva de que la tasa de emisión espontánea podría controlarse dependiendo de las condiciones de contorno del campo de vacío circundante. Estos experimentos dieron lugar a la electrodinámica cuántica de cavidades (CQED), el estudio de los efectos de los espejos y las cavidades en las correcciones radiativas.

Introducción

Si una fuente de luz ('el átomo') está en un estado excitado con energía , puede decaer espontáneamente a un nivel inferior (por ejemplo, el estado fundamental) con energía , liberando la diferencia de energía entre los dos estados en forma de fotón. El fotón tendrá una frecuencia angular y una energía : ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$

${\displaystyle E_{2}-E_{1}=\hbar \omega ,}$

donde es la constante de Planck reducida . Nota: , donde es la constante de Planck y es la frecuencia lineal . La fase del fotón en la emisión espontánea es aleatoria, al igual que la dirección en la que se propaga el fotón. Esto no es cierto para la emisión estimulada . A continuación se muestra un diagrama de niveles de energía que ilustra el proceso de emisión espontánea: ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu }$

Si el número de fuentes de luz en el estado excitado en el momento está dado por , la velocidad a la que se desintegra es: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {\partial N(t)}{\partial t}}=-A_{21}N(t),}$

donde es la tasa de emisión espontánea. En la ecuación de tasa hay una constante de proporcionalidad para esta transición particular en esta fuente de luz particular. La constante se conoce como el coeficiente A de Einstein y tiene unidades s ⁻¹ . ^[9] La ecuación anterior se puede resolver para obtener: ${\displaystyle A_{21}}$ ${\displaystyle A_{21}}$

${\displaystyle N(t)=N(0)e^{-A_{21}t}=N(0)e^{-\Gamma _{\!{\text{rad}}}t},}$

donde es el número inicial de fuentes de luz en el estado excitado, es el tiempo y es la tasa de desintegración radiactiva de la transición. El número de estados excitados decae exponencialmente con el tiempo, de forma similar a la desintegración radiactiva . Después de un tiempo de vida, el número de estados excitados decae al 36,8% de su valor original ( -tiempo). La tasa de desintegración radiactiva es inversamente proporcional al tiempo de vida : ${\displaystyle N(0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Gamma _{\!{\text{rad}}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \tau _{21}}$

${\displaystyle A_{21}=\Gamma _{21}={\frac {1}{\tau _{21}}}.}$

Teoría

Las transiciones espontáneas no eran explicables en el marco de la ecuación de Schrödinger , en la que los niveles de energía electrónica estaban cuantizados, pero no el campo electromagnético. Dado que los estados propios de un átomo están correctamente diagonalizados, la superposición de las funciones de onda entre el estado excitado y el estado fundamental del átomo es cero. Por lo tanto, en ausencia de un campo electromagnético cuantizado, el átomo en estado excitado no puede decaer al estado fundamental. Para explicar las transiciones espontáneas, la mecánica cuántica debe extenderse a una teoría cuántica de campos , en la que el campo electromagnético está cuantizado en cada punto del espacio. La teoría cuántica de campos de los electrones y los campos electromagnéticos se conoce como electrodinámica cuántica .

En la electrodinámica cuántica (o QED), el campo electromagnético tiene un estado fundamental , el vacío QED , que puede mezclarse con los estados estacionarios excitados del átomo. ^[5] Como resultado de esta interacción, el "estado estacionario" del átomo ya no es un verdadero estado propio del sistema combinado del átomo más el campo electromagnético. En particular, la transición del electrón del estado excitado al estado fundamental electrónico se mezcla con la transición del campo electromagnético del estado fundamental a un estado excitado, un estado de campo con un fotón en él. La emisión espontánea en el espacio libre depende de las fluctuaciones del vacío para comenzar. ^{[10] [11]}

Aunque sólo hay una transición electrónica del estado excitado al estado fundamental, hay muchas maneras en las que el campo electromagnético puede pasar del estado fundamental al estado monofotónico. Es decir, el campo electromagnético tiene infinitos más grados de libertad, correspondientes a las diferentes direcciones en las que se puede emitir el fotón. De manera equivalente, se podría decir que el espacio de fases que ofrece el campo electromagnético es infinitamente mayor que el que ofrece el átomo. Este infinito grado de libertad para la emisión del fotón da como resultado la aparente desintegración irreversible, es decir, la emisión espontánea.

En presencia de modos de vacío electromagnético, el sistema combinado átomo-vacío se explica por la superposición de las funciones de onda del átomo en estado excitado sin fotón y el átomo en estado fundamental con un solo fotón emitido:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a(t)e^{-i\omega _{0}t}|e;0\rangle +\sum _{k,s}b_{ks}(t)e^{-i\omega _{k}t}|g;1_{ks}\rangle }$

donde y son la función de onda del vacío electromagnético del estado excitado atómico y su amplitud de probabilidad, y son la función de onda del átomo del estado fundamental con un solo fotón (de modo ) y su amplitud de probabilidad, es la frecuencia de transición atómica, y es la frecuencia del fotón. La suma es sobre y , que son el número de onda y la polarización del fotón emitido, respectivamente. Como se mencionó anteriormente, el fotón emitido tiene la posibilidad de ser emitido con diferentes números de onda y polarizaciones, y la función de onda resultante es una superposición de estas posibilidades. Para calcular la probabilidad del átomo en el estado fundamental ( ), uno necesita resolver la evolución temporal de la función de onda con un hamiltoniano apropiado. ^[4] Para resolver la amplitud de transición, uno necesita promediar (integrar) sobre todos los modos de vacío, ya que uno debe considerar las probabilidades de que el fotón emitido ocupe varias partes del espacio de fase por igual. El fotón emitido "espontáneamente" tiene infinitos modos diferentes para propagarse, por lo que la probabilidad de que el átomo reabsorba el fotón y regrese al estado original es insignificante, lo que hace que la desintegración atómica sea prácticamente irreversible. Esta evolución temporal irreversible del sistema átomo-vacío es responsable de la aparente desintegración espontánea de un átomo excitado. Si uno hiciera un seguimiento de todos los modos de vacío, el sistema átomo-vacío combinado experimentaría una evolución temporal unitaria, lo que haría que el proceso de desintegración sea reversible. La electrodinámica cuántica de cavidades es uno de esos sistemas en los que los modos de vacío se modifican dando como resultado el proceso de desintegración reversible, véase también Renacimiento cuántico . La teoría de la emisión espontánea bajo el marco de la QED fue calculada por primera vez por Victor Weisskopf y Eugene Wigner en 1930 en un artículo histórico. ^{[12] [13] [14]} El cálculo de Weisskopf-Wigner sigue siendo el enfoque estándar para la emisión de radiación espontánea en física atómica y molecular. ^[15] Dirac también había desarrollado el mismo cálculo un par de años antes del artículo de Wigner y Weisskopf. ^[16] ${\displaystyle |e;0\rangle }$ ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle |g;1_{ks}\rangle }$ ${\displaystyle b_{ks}(t)}$ ${\displaystyle ks}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{k}=c|k|}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |b(t)|^{2}}$

Tasa de emisión espontánea

La tasa de emisión espontánea (es decir, la tasa radiativa) se puede describir mediante la regla de oro de Fermi . ^[17] La ​​tasa de emisión depende de dos factores: una "parte atómica", que describe la estructura interna de la fuente de luz y una "parte de campo", que describe la densidad de modos electromagnéticos del entorno. La parte atómica describe la fuerza de una transición entre dos estados en términos de momentos de transición. En un medio homogéneo, como el espacio libre , la tasa de emisión espontánea en la aproximación dipolar viene dada por:

${\displaystyle \Gamma _{\text{rad}}(\omega )={\frac {\omega ^{3}n|\mu _{12}|^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}={\frac {4\alpha \omega ^{3}n|\langle 1|\mathbf {r} |2\rangle |^{2}}{3c^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {|\mu _{12}|^{2}}{\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}=4\alpha |\langle 1|\mathbf {r} |2\rangle |^{2}}$

donde es la frecuencia de emisión, es el índice de refracción , es el momento dipolar de transición , es la permitividad del vacío , es la constante de Planck reducida , es la velocidad de la luz en el vacío y es la constante de estructura fina . La expresión representa la definición del momento dipolar de transición para el operador de momento dipolar , donde es la carga elemental y representa el operador de posición. (Esta aproximación falla en el caso de los electrones de la capa interna en átomos de alto Z). La ecuación anterior muestra claramente que la tasa de emisión espontánea en el espacio libre aumenta proporcionalmente a . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu _{12}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\langle 1|\mathbf {r} |2\rangle |}$ ${\displaystyle |\mu _{12}|=|\langle 1|\mathbf {d} |2\rangle |}$ ${\displaystyle \mathbf {d} =q\mathbf {r} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \omega ^{3}}$

A diferencia de los átomos, que tienen un espectro de emisión discreto, los puntos cuánticos pueden ajustarse continuamente modificando su tamaño. Esta propiedad se ha utilizado para comprobar la dependencia de la frecuencia de la tasa de emisión espontánea, tal como se describe en la regla de oro de Fermi. ^[18] ${\displaystyle \omega ^{3}}$

Desintegración radiativa y no radiativa: la eficiencia cuántica

En la ecuación de velocidad anterior, se supone que la disminución del número de estados excitados solo ocurre bajo la emisión de luz. En este caso, se habla de una disminución radiativa total y esto significa que la eficiencia cuántica es del 100%. Además de la disminución radiativa, que ocurre bajo la emisión de luz, existe un segundo mecanismo de disminución: la disminución no radiativa. Para determinar la tasa de disminución total , se deben sumar las tasas radiativa y no radiativa: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{tot}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{tot}}=\Gamma _{\text{rad}}+\Gamma _{\text{nrad}}}$

donde es la tasa de desintegración total, es la tasa de desintegración radiativa y es la tasa de desintegración no radiativa. La eficiencia cuántica (QE) se define como la fracción de procesos de emisión en los que interviene la emisión de luz: ${\displaystyle \Gamma _{\text{tot}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\text{nrad}}}$

${\displaystyle {\text{QE}}={\frac {\Gamma _{\text{rad}}}{\Gamma _{\text{nrad}}+\Gamma _{\text{rad}}}}.}$

En la relajación no radiactiva, la energía se libera como fonones , más comúnmente conocidos como calor . La relajación no radiactiva ocurre cuando la diferencia de energía entre los niveles es muy pequeña, y estos ocurren típicamente en una escala de tiempo mucho más rápida que las transiciones radiactivas. Para muchos materiales (por ejemplo, semiconductores ), los electrones se mueven rápidamente desde un nivel de alta energía a un nivel metaestable a través de pequeñas transiciones no radiactivas y luego hacen el movimiento final hacia abajo al nivel inferior a través de una transición óptica o radiactiva. Esta transición final es la transición sobre la banda prohibida en semiconductores. Las grandes transiciones no radiactivas no ocurren con frecuencia porque la estructura cristalina generalmente no puede soportar grandes vibraciones sin destruir enlaces (lo que generalmente no sucede para la relajación). Los estados metaestables forman una característica muy importante que se explota en la construcción de láseres . Específicamente, dado que los electrones se desintegran lentamente de ellos, se pueden apilar deliberadamente en este estado sin demasiada pérdida y luego se puede usar la emisión estimulada para aumentar una señal óptica.

Véase también

• Absorción (óptica)
• Emisión estimulada
• Espectro de emisión
• Línea espectral
• Línea espectral atómica
• Ciencia del láser
• Efecto Purcell
• Cristal fotónico
• Oscilación de vacío de Rabi
• Modelo de Jaynes-Cummings

Referencias

1. Tretkoff, Ernie (agosto de 2005). «Este mes en la historia de la física: Einstein predice la emisión estimulada». American Physical Society News . 14 (8) . Consultado el 1 de junio de 2022 .
2. Straumann, Norbert (23 de marzo de 2017). "Einstein en 1916: "Sobre la teoría cuántica de la radiación"". arXiv : 1703.08176 [física.hist-ph].
3. Stone, A. Douglas (6 de octubre de 2013). Einstein y lo cuántico: la búsqueda del valiente suabo (primera edición). Princeton University Press. ISBN 978-0691139685. Recuperado el 1 de junio de 2022 .
4. Dirac, Paul Adrien Maurice (1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación". Proc. R. Soc . A114 (767): 243–265. Bibcode :1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 .
5. Milonni, Peter W. (1984). "¿Por qué la emisión espontánea?" (PDF) . Am. J. Phys . 52 (4): 340. Bibcode :1984AmJPh..52..340M. doi :10.1119/1.13886.
6. Weisskopf, Viktor (1935). "Problema der neueren Quantentheorie des Elektrons". Naturwissenschaften . 23 (37): 631–637. Código Bib : 1935NW.....23..631W. doi :10.1007/BF01492012. S2CID  6780937.
7. Welton, Theodore Allen (1948). "Algunos efectos observables de las fluctuaciones mecánico-cuánticas del campo electromagnético". Phys. Rev . 74 (9): 1157. Bibcode :1948PhRv...74.1157W. doi :10.1103/PhysRev.74.1157.
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11. Marian O Scully y M. Suhail Zubairy (1997). Óptica cuántica. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pág. §1.5.2, págs. 22-23. ISBN 0-521-43595-1.
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Enlaces externos

• Cálculo detallado de la emisión espontánea: teoría de Weisskopf-Wigner Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Guía de Britney sobre la física de semiconductores