Modelo de Jaynes-Cummings

Modelo en óptica cuántica.

Ilustración del modelo Jaynes-Cummings. Un átomo en una cavidad óptica se muestra como un punto rojo en la parte superior izquierda. Los niveles de energía del átomo que se acoplan al modo de campo dentro de la cavidad se muestran en el círculo de la parte inferior derecha. La transferencia entre los dos estados provoca la emisión (absorción) de fotones por parte del átomo dentro (fuera) del modo de cavidad.

El modelo de Jaynes-Cummings (a veces abreviado JCM ) es un modelo teórico en óptica cuántica . Describe el sistema de un átomo de dos niveles que interactúa con un modo cuantificado de una cavidad óptica (o un campo bosónico ), con o sin presencia de luz (en forma de un baño de radiación electromagnética que puede provocar emisión y absorción espontáneas). ). Fue desarrollado originalmente para estudiar la interacción de los átomos con el campo electromagnético cuantificado con el fin de investigar los fenómenos de emisión y absorción espontánea de fotones en una cavidad .

El modelo de Jaynes-Cummings es de gran interés para la física atómica , la óptica cuántica , la física del estado sólido y los circuitos de información cuántica , tanto experimental como teóricamente. ^[1] También tiene aplicaciones en control coherente y procesamiento de información cuántica .

Desarrollo historico

1963: Edwin Jaynes y Fred Cummings

El modelo fue desarrollado originalmente en un artículo de 1963 por Edwin Jaynes y Fred Cummings para dilucidar los efectos de dar un tratamiento completamente mecánico cuántico al comportamiento de los átomos que interactúan con un campo electromagnético . Para simplificar las matemáticas y permitir un cálculo manejable, Jaynes y Cummings limitaron su atención a la interacción de un átomo con un modo único de campo electromagnético cuántico. ^{[2] [3]} (Consulte a continuación para obtener más detalles matemáticos).

Este enfoque contrasta con el método semiclásico anterior, en el que sólo la dinámica del átomo se trata mecánicamente cuánticamente, mientras que se supone que el campo con el que interactúa se comporta de acuerdo con la teoría electromagnética clásica. El tratamiento mecánico cuántico del campo en el modelo de Jaynes-Cummings revela una serie de características novedosas, entre ellas:

• La existencia de oscilaciones de Rabi entre los estados de un sistema de dos niveles cuando interactúa con el campo cuántico. Originalmente se creía que esto era un efecto puramente mecánico cuántico, aunque más tarde se proporcionó una explicación semiclásica en términos de dispersión y absorción lineal ^[4].
• Una escalera de niveles de energía cuantificados, llamada escalera de Jaynes-Cummings, que escala en energía de forma no lineal como dónde está el número total de cuantos en el sistema acoplado. Esta cuantificación de energías y escalamiento no lineal es de naturaleza puramente mecánica cuántica. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n}$
• El colapso y posteriores resurgimientos de la probabilidad de detectar el sistema de dos niveles en un estado determinado cuando el campo se encuentra inicialmente en un estado coherente . Mientras que el colapso tiene una explicación clásica simple, los resurgimientos sólo pueden explicarse por la discreción del espectro de energía debido a la naturaleza cuántica del campo. ^{[5] [6]}

Para realizar la dinámica predicha por el modelo de Jaynes-Cummings experimentalmente se requiere un resonador mecánico cuántico con un factor de calidad muy alto para que las transiciones entre los estados en el sistema de dos niveles (típicamente dos subniveles de energía en un átomo) estén muy acoplados. fuertemente por la interacción del átomo con el modo de campo. Esto suprime simultáneamente cualquier acoplamiento entre otros subniveles del átomo y el acoplamiento a otros modos del campo y, por lo tanto, hace que las pérdidas sean lo suficientemente pequeñas como para observar la dinámica predicha por el modelo de Jaynes-Cummings. Debido a la dificultad de realizar un aparato de este tipo, el modelo siguió siendo una curiosidad matemática durante bastante tiempo. En 1985, varios grupos que utilizaron átomos de Rydberg junto con un máser en una cavidad de microondas demostraron las oscilaciones de Rabi predichas. ^{[7] [8]} Sin embargo, como se señaló anteriormente, más tarde se descubrió que este efecto tenía una explicación semiclásica. ^[4]

1987: Rempe, Walther y Klein

No fue hasta 1987 que Rempe , Walther y Klein finalmente pudieron utilizar un máser de un solo átomo para demostrar los resurgimientos de las probabilidades predichas por el modelo. ^[9] Antes de ese momento, los grupos de investigación no podían construir configuraciones experimentales capaces de mejorar el acoplamiento de un átomo con un modo de campo único, suprimiendo simultáneamente otros modos. Experimentalmente, el factor de calidad de la cavidad debe ser lo suficientemente alto como para considerar la dinámica del sistema como equivalente a la dinámica de un campo monomodo. Esta demostración exitosa de una dinámica que solo podría explicarse mediante un modelo mecánico cuántico del campo impulsó un mayor desarrollo de cavidades de alta calidad para su uso en esta investigación.

Con la llegada de los máseres de un átomo fue posible estudiar la interacción de un solo átomo (generalmente un átomo de Rydberg ) con un solo modo resonante del campo electromagnético en una cavidad desde un punto de vista experimental, ^{[10] [11]} y estudiar diferentes aspectos del modelo Jaynes-Cummings.

Se descubrió que se podría utilizar una geometría de reloj de arena para maximizar el volumen ocupado por el modo, manteniendo simultáneamente un factor de calidad alto para maximizar la fuerza de acoplamiento y así aproximar mejor los parámetros del modelo. ^[12] Para observar un fuerte acoplamiento átomo-campo en frecuencias de luz visible, los modos ópticos de tipo reloj de arena pueden ser útiles debido a su gran volumen de modo que eventualmente coincide con un campo fuerte dentro de la cavidad. ^[12] Un punto cuántico dentro de una nanocavidad de cristal fotónico también es un sistema prometedor para observar el colapso y la reactivación de los ciclos de Rabi en las frecuencias de la luz visible. ^[13]

Nuevos desarrollos

Muchos experimentos recientes se han centrado en la aplicación del modelo a sistemas con aplicaciones potenciales en el procesamiento de información cuántica y el control coherente. Varios experimentos han demostrado la dinámica del modelo de Jaynes-Cummings en el acoplamiento de un punto cuántico a los modos de una microcavidad, permitiendo potencialmente su aplicación en un sistema físico de tamaño mucho menor. ^{[14] [15] [16] [17]} Otros experimentos se han centrado en demostrar la naturaleza no lineal de la escalera de niveles de energía de Jaynes-Cummings mediante observación espectroscópica directa. Estos experimentos han encontrado evidencia directa del comportamiento no lineal predicho a partir de la naturaleza cuántica del campo tanto en circuitos superconductores que contienen un " átomo artificial " acoplado a un oscilador de muy alta calidad en forma de un circuito RLC superconductor , como en una colección de átomos de Rydberg acoplados mediante sus espines . ^{[18] [19]} En el último caso, la presencia o ausencia de una excitación colectiva de Rydberg en el conjunto desempeña el papel del sistema de dos niveles, mientras que el papel del modo de campo bosónico lo desempeña el número total de cambios de espín que tener lugar. ^[19]

El trabajo teórico ha ampliado el modelo original para incluir los efectos de la disipación y la amortiguación, generalmente mediante un enfoque fenomenológico. ^{[20] [21] [22]} Las extensiones propuestas también han incorporado la inclusión de múltiples modos del campo cuántico, lo que permite el acoplamiento a niveles de energía adicionales dentro del átomo, o la presencia de múltiples átomos interactuando con el mismo campo. También se ha intentado ir más allá de la llamada aproximación de onda giratoria que se emplea habitualmente (consulte la derivación matemática a continuación). ^{[23] [24] [25]} El acoplamiento de un único modo de campo cuántico con múltiples ( ) subsistemas de dos estados (equivalentes a espines superiores a 1/2) se conoce como modelo de Dicke o modelo de Tavis-Cummings . Por ejemplo, se aplica a una cavidad resonante de alta calidad que contiene múltiples átomos idénticos con transiciones cercanas a la resonancia de la cavidad, o a un resonador acoplado a múltiples puntos cuánticos en un circuito superconductor. Se reduce al modelo de Jaynes-Cummings para el caso . ${\displaystyle N>1}$ ${\displaystyle N=1}$

El modelo ofrece la posibilidad de realizar varias posibilidades teóricas exóticas en un entorno experimental. Por ejemplo, se descubrió que durante los períodos de oscilaciones de Rabi colapsadas, el sistema átomo-cavidad existe en un estado de superposición cuántica a escala macroscópica. Este estado a veces se denomina " gato de Schrödinger ", ya que permite la exploración de los efectos contrarios a la intuición de cómo se manifiesta el entrelazamiento cuántico en los sistemas macroscópicos. ^[26] También se puede utilizar para modelar cómo se transfiere la información cuántica en un campo cuántico. ^[27]

Formulación matemática 1

El hamiltoniano que describe el sistema completo,

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{field}}&=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}}$$

Aquí, por conveniencia, la energía del campo de vacío se establece en . ${\displaystyle 0}$

Para derivar la interacción JCM hamiltoniana, se considera que el campo de radiación cuantificado consta de un único modo bosónico con el operador de campo , donde los operadores y son los operadores bosónicos de creación y aniquilación y es la frecuencia angular del modo. Por otro lado, el átomo de dos niveles equivale a un semiespín cuyo estado puede describirse mediante un vector de Bloch tridimensional . (Debe entenderse que aquí el "átomo de dos niveles" no es un átomo real con espín, sino más bien un sistema cuántico genérico de dos niveles cuyo espacio de Hilbert es isomorfo a un semiespín.) El átomo está acoplado al campo a través de su operador de polarización . Los operadores y son los operadores de subida y bajada del átomo. El operador es el operador de inversión atómica y es la frecuencia de transición atómica. ${\displaystyle {\hat {E}}=E_{\text{ZPF}}\left({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$

Hamiltoniano de Jaynes-Cummings 1

Pasando de la imagen de Schrödinger a la imagen de interacción (también conocida como marco giratorio) definida por la elección , obtenemos ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).}$$

Este hamiltoniano contiene componentes que oscilan tanto rápida como lentamente . Para obtener un modelo que pueda resolverse, se ignoran los términos "contrarrotativos" que oscilan rápidamente . Esto se conoce como aproximación de la onda giratoria , y es válida ya que el término de oscilación rápida acopla estados de diferencia de energía comparativamente grande: cuando la diferencia de energía es mucho mayor que el acoplamiento, la mezcla de estos estados será pequeña, o dicho de otro modo. de otra manera, el acoplamiento es responsable de muy poca transferencia de población entre los estados. Volviendo a la imagen de Schrödinger, el hamiltoniano JCM se escribe como ${\displaystyle (\omega _{c}+\omega _{a})}$ ${\displaystyle (\omega _{c}-\omega _{a})}$ ${\displaystyle (\omega _{c}+\omega _{a})}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).}$$

Estados propios

Es posible, y a menudo muy útil, escribir el hamiltoniano del sistema completo como una suma de dos partes conmutantes:

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{\text{I}}+{\hat {H}}_{\text{II}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{I}}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{\text{II}}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}}$$

desafinación ${\displaystyle \delta =\omega _{a}-\omega _{c}}$

Los estados propios de , al ser en forma de producto tensorial, se resuelven fácilmente y se denotan por , donde denota el número de cuantos de radiación en la moda. ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ ${\displaystyle |n+1,g\rangle ,|n,e\rangle }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Como los estados y son degenerados con respecto a para todos , basta con diagonalizar en los subespacios . Los elementos de la matriz de en este subespacio, leen ${\displaystyle |\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}}$ ${\displaystyle {H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle ,}$

$${\displaystyle H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}}$$

Para un dado , los valores propios de energía de son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{(n)}}$

$${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),}$$

frecuencia Rabi ${\textstyle \Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}}$ ${\displaystyle |n,\pm \rangle }$

$${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$$

$${\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle -\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$$

${\displaystyle \alpha _{n}}$

$${\displaystyle \alpha _{n}:=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).}$$

Dinámica de la imagen de Schrödinger

Ahora es posible obtener la dinámica de un estado general expandiéndola a los estados propios señalados. Consideramos una superposición de estados numéricos como el estado inicial del campo, y asumimos que un átomo en el estado excitado se inyecta en el campo. El estado inicial del sistema es ${\textstyle |\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }}$

$${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n,e\rangle }=\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].}$$

Dado que son estados estacionarios del sistema campo-átomo, entonces el vector de estado para los tiempos viene dado por ${\displaystyle |n,\pm \rangle }$ ${\displaystyle t>0}$

$${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }+\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right].}$$

Las oscilaciones de Rabi se pueden ver fácilmente en las funciones sen y cos del vector de estado. Se producen diferentes períodos para diferentes estados numéricos de fotones. Lo que se observa en el experimento es la suma de muchas funciones periódicas que pueden oscilar muy ampliamente y sumar destructivamente cero en algún momento, pero que volverán a ser distintas de cero en momentos posteriores. La finitud de este momento resulta simplemente de la discreción de los argumentos de periodicidad. Si la amplitud del campo fuera continua, el resurgimiento nunca habría ocurrido en un tiempo finito.

Dinámica de la imagen de Heisenberg

Es posible en la notación de Heisenberg determinar directamente el operador de evolución unitaria a partir del hamiltoniano: ^[28]

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$

$${\displaystyle {\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4}$$

${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g={\frac {\Omega }{\hbar }}}$$

La unitaridad de está garantizada por las identidades. ${\displaystyle {\hat {U}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},\\\cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

Mediante el operador de evolución unitaria se puede calcular la evolución temporal del estado del sistema descrito por su matriz de densidad , y a partir de ahí el valor esperado de cualquier observable, dado el estado inicial: ${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)}$$

$${\displaystyle \langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]}$$

El estado inicial del sistema se denota por y es un operador que denota lo observable. ${\displaystyle {\hat {\rho }}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {\Theta }}}$

Formulación matemática 2

Para facilitar la ilustración, considere la interacción de dos subniveles de energía de un átomo con un campo electromagnético cuantificado. El comportamiento de cualquier otro sistema de dos estados acoplado a un campo bosónico será isomorfo a esta dinámica. En ese caso, el hamiltoniano para el sistema de campo atómico es: ^[29]

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}+{\hat {H}}_{AF}}$$

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{A}=E_{g}|g\rangle \langle g|+E_{e}|e\rangle \langle e|}$es el hamiltoniano del átomo, donde las letras se utilizan para indicar el estado excitado y fundamental respectivamente. Establecer el cero de energía en la energía del estado fundamental del átomo simplifica esto a donde está la frecuencia de resonancia de las transiciones entre los subniveles del átomo. ${\displaystyle e,g}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{A}=E_{e}|e\rangle \langle e|=\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle \omega _{eg}}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{F}=\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }\hbar \omega _{\mathbf {k} }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }+{\frac {1}{2}}\right)}$es el hamiltoniano del campo electromagnético cuantificado. Tenga en cuenta la suma infinita de todos los posibles vectores de onda y dos posibles estados de polarización ortogonal . Los operadores y son los operadores de creación y aniquilación de fotones para cada modo indexado del campo. La simplicidad del modelo de Jaynes-Cummings proviene de suprimir esta suma general al considerar solo un modo único del campo, lo que nos permite escribir donde el subíndice indica que estamos considerando solo el modo resonante de la cavidad. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }}$ ${\textstyle {\hat {H}}_{F}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=-{\hat {\mathbf {d} }}\cdot {\hat {\mathbf {E} }}(\mathbf {R} )}$es la interacción hamiltoniana dipolo átomo-campo (aquí está la posición del átomo). El operador de campo eléctrico de un campo electromagnético cuantificado viene dado por ${\displaystyle \mathbf {R} }$
  $${\displaystyle {\hat {\mathbf {E} }}(\mathbf {R} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{\mathbf {k} }}{V}}}\mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\right)}$$
  y el operador dipolo viene dado por . Establecer y hacer la definición. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}={\hat {\sigma }}_{+}\langle e|{\hat {\mathbf {d} }}|g\rangle +{\hat {\sigma }}_{-}\langle g|{\hat {\mathbf {d} }}|e\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {0} }$
  $${\displaystyle \hbar g_{\mathbf {k} ,\lambda }=i{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{\mathbf {k} }}{V}}}\langle e|{\hat {\mathbf {d} }}|g\rangle \cdot \mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda },}$$
  donde s son los modos de campo ortonormales, podemos escribir ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda }}$
  $${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=-\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }\hbar \left(g_{\mathbf {k} ,\lambda }{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }-g_{\mathbf {k} ,\lambda }^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }-g_{\mathbf {k} ,\lambda }{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }+g_{\mathbf {k} ,\lambda }^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }\right),}$$
  donde y son los operadores de subida y bajada que actúan en el subespacio del átomo. La aplicación del modelo Jaynes-Cummings permite suprimir esta suma y restringir la atención a un solo modo del campo. Así, el hamiltoniano del campo atómico se convierte en: . ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle \{|e\rangle ,|g\rangle \}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=\hbar \left[\left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)+\left(-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}\right)\right]}$

Marco giratorio y aproximación de onda giratoria.

A continuación, el análisis puede simplificarse realizando una transformación pasiva en el marco denominado "co-rotativo". Para ello utilizamos la imagen de interacción . Llevar . Entonces la interacción hamiltoniana se convierte en: ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar \left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)}$$

aproximación de la onda giratoria ${\displaystyle |\omega _{eg}-\omega _{c}|\ll \omega _{eg}+\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{eg}-\omega _{c}\simeq 0}$ ${\displaystyle \omega _{eg}+\omega _{c}\simeq 2\omega _{c}}$ ${\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{\Delta }},\Delta \equiv \omega _{eg}-\omega _{c}}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{2\omega _{c}}}\ll \tau }$ ${\displaystyle g_{c}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}(t)=-\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)}$$

Con esta aproximación en la mano (y absorbiendo el signo negativo en ), podemos volver a la imagen de Schrödinger: ${\displaystyle g_{c}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}(t)e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

Hamiltoniano de Jaynes-Cummings 2

Utilizando los resultados recopilados en las dos últimas secciones, ahora podemos escribir el hamiltoniano de Jaynes-Cummings completo: ^[29]

$${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

energía del punto cero ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{c}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

A continuación, defina el llamado operador numérico mediante:

$${\displaystyle {\hat {N}}=|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}}$$

conmutador

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}}_{AF},{\hat {N}}\right]&=\hbar g_{c}\left(\left[{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]\right)\\&=\hbar g_{c}\left({\hat {a}}_{c}\left[{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c},{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\left[{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger },{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=\hbar g_{c}\left(-{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}-{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=0\end{aligned}}}$$

Así, el operador numérico conmuta con el hamiltoniano del campo atómico. Los estados propios del operador numérico son la base de los estados del producto tensorial donde los estados del campo son aquellos con un número definido de fotones. El operador numérico cuenta el número total de cuantos en el sistema de campo atómico. ${\displaystyle \left\{|g,0\rangle ;|e,0\rangle ,|g,1\rangle ;\cdots ;|e,n-1\rangle ,|g,n\rangle \right\}}$ ${\displaystyle \left\{|n\rangle \right\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle n}$

En esta base de estados propios de (estados de números totales), el hamiltoniano adopta una estructura diagonal de bloques: ^[29] ${\displaystyle {\hat {N}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}={\begin{bmatrix}H_{0}&0&0&0&\cdots &\cdots &\cdots \\0&{\hat {H}}_{1}&0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&{\hat {H}}_{2}&0&\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&{\hat {H}}_{n}&0&\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{bmatrix}}}$$

Con excepción del escalar , cada uno de los diagonales es en sí mismo una matriz de la forma; ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{n}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}\hbar \omega _{c}(n-1)+\hbar \omega _{eg}&\langle e,n-1|{\hat {H}}_{JC}|g,n\rangle \\\langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle &n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}}$$

Ahora, usando la relación:

$${\displaystyle \langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle =\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}|e,n-1\rangle +\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}|e,n-1\rangle ={\sqrt {n}}\hbar g_{c}}$$

Obtenemos la porción del hamiltoniano que actúa en el n- ^ésimo subespacio como:

$${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}}$$

Al trasladar la energía de a con la cantidad de , podemos obtener ^[29] ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \Delta }$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}+{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \\\end{bmatrix}}=n\hbar \omega _{c}{\hat {I}}^{(n)}-{\frac {\hbar \Delta }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}\hbar \Omega {\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}}$$

donde la hemos identificado como la frecuencia Rabi del sistema, y ​​es la llamada "desintonización" entre las frecuencias de cavidad y transición atómica. También hemos definido los operadores: ${\displaystyle 2g_{c}=\Omega }$ ${\displaystyle \Delta =\omega _{c}-\omega _{eg}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {I}}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|-\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle g,n\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle e,n-1\right|.\\[-1ex]\,\end{aligned}}}$$

ser el operador de identidad y los operadores de Pauli x y z en el espacio de Hilbert del enésimo ^nivel de energía del sistema de campo atómico. Este hamiltoniano simple tiene la misma forma que el que se encontraría en el problema de Rabi . La diagonalización da que los valores propios y estados propios de la energía sean: ^{[29] [30]} ${\displaystyle 2\times 2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n,\pm }&=\left(n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}\\|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle \tan \theta _{n}=-{\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{\Delta }}}$

Oscilaciones de vacío Rabi

Considere un átomo que ingresa a la cavidad inicialmente en su estado excitado, mientras que la cavidad está inicialmente en el vacío . Además, se supone que la frecuencia angular del modo puede aproximarse a la frecuencia de transición atómica, involucrando . Entonces el estado del sistema átomo-campo en función del tiempo es: ${\displaystyle \Delta \approx 0}$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\cos \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|e,0\rangle -i\sin \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|g,1\rangle }$$

Entonces, las probabilidades de encontrar el sistema en el estado fundamental o excitado después de interactuar con la cavidad por un tiempo son: ^[31] ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,0|\psi (t)\rangle |^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\P_{g}(t)&=|\langle g,1|\psi (t)\rangle |^{2}=\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Por tanto, la amplitud de probabilidad de encontrar el átomo en cualquier estado oscila. Ésta es la explicación de la mecánica cuántica para el fenómeno de la oscilación de Rabi en el vacío . En este caso, sólo había un cuanto en el sistema de campo atómico, transportado por el átomo inicialmente excitado. En general, la oscilación de Rabi asociada con un sistema de cuantos de campo atómico tendrá una frecuencia . Como se explica a continuación, este espectro discreto de frecuencias es la razón subyacente de los colapsos y las probabilidades de reactivación posteriores en el modelo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega _{n}={\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{2}}}$

Escalera de Jaynes-Cummings

Como se mostró en la subsección anterior, si el estado inicial del sistema átomo-cavidad es o , como es el caso de un átomo inicialmente en un estado definido (tierra o excitado) que ingresa a una cavidad que contiene un número conocido de fotones, entonces el estado del sistema átomo-cavidad en momentos posteriores se convierte en una superposición de los nuevos estados propios del sistema átomo-cavidad: ${\displaystyle |e,n-1\rangle }$ ${\displaystyle |g,n\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}}$$

Este cambio en los estados propios debido a la alteración del hamiltoniano causada por la interacción átomo-campo a veces se denomina "revestir" el átomo, y los nuevos estados propios se denominan estados vestidos . ^[29] La diferencia de energía entre los estados vestidos es:

$${\displaystyle \delta E=E_{+}-E_{-}=\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}}$$

^[30] ${\displaystyle \omega _{eg}=\omega _{c}\implies \Delta =0}$

$${\displaystyle |n,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|g,n\rangle \mp |e,n-1\rangle \right)}$$

Con diferencia de energía . Así la interacción del átomo con el campo desdobla la degeneración de los estados y por . Esta jerarquía no lineal de escala de niveles de energía se conoce como escalera de Jaynes-Cummings. Este efecto de división no lineal es puramente mecánico cuántico y no puede explicarse mediante ningún modelo semiclásico. ^[19] ${\displaystyle \delta E={\sqrt {n}}\hbar \Omega }$ ${\displaystyle |e,n-1\rangle }$ ${\displaystyle |g,n\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\hbar \Omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Colapso y resurgimiento de las probabilidades.

Considere un átomo inicialmente en el estado fundamental interactuando con un modo de campo inicialmente preparado en un estado coherente , por lo que el estado inicial del sistema átomo-campo es:

$${\displaystyle |\psi (0)\rangle =|g,\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|g,n\rangle }$$

Para simplificar, tome el caso resonante ( ), entonces el hamiltoniano para el subespacio de números n es ^: ${\displaystyle \Delta =0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\hat {I}}^{(n)}+{\frac {\hbar {\sqrt {n}}\Omega }{2}}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}}$$

Usando esto, la evolución temporal del sistema átomo-campo será:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi (t)\rangle &=e^{-i{\hat {H}}_{n}t/\hbar }|\psi (0)\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {I}}^{(n)}-i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}\right)|g,n\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|g,n\rangle -i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|e,n-1\rangle \right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{c}}{2}}{\hat {I}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)=\left|\langle e|\psi (t)\rangle \right|^{2}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-|\alpha |^{2}}}{n!}}|\alpha |^{2n}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}(\Omega _{n}t)\\{}\end{aligned}}}$$

poissonianas ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle \langle (\Delta n)^{2}\rangle /\langle n\rangle ^{2}\simeq 1/\langle n\rangle }$ ${\displaystyle \Omega _{n}}$ ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Omega _{n}\simeq {\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {\langle n\rangle }}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n-\langle n\rangle }{\langle n\rangle }}\right)}$$

$${\displaystyle P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {e^{-\langle n\rangle }}{4}}\cdot \left(e^{-i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left(-{\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]+e^{i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left({\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]\right)}$$

Un gráfico de la probabilidad de encontrar el sistema en el estado excitado en función del parámetro sin unidades para un sistema con un número medio de fotones . Obsérvese el colapso inicial en períodos cortos, seguido de una reactivación en períodos más largos. Este comportamiento es atribuible al espectro discreto de frecuencias causado por la cuantificación del campo. ${\displaystyle gt}$ ${\displaystyle \langle n\rangle =25}$

Para tiempos "pequeños" tales que , la exponencial interna dentro de la exponencial doble en el último término se puede expandir hasta el segundo orden para obtener: ${\displaystyle {\frac {\Omega t}{2}}\ll {\sqrt {\langle n\rangle }}}$

$${\displaystyle P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \cos \left[{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t\right]e^{-\Omega ^{2}t^{2}/8}}$$

Este resultado muestra que la probabilidad de ocupación del estado excitado oscila con la frecuencia efectiva . También muestra que debería decaer a lo largo del tiempo característico: ^{[5] [6] [30]} ${\textstyle \Omega _{\text{eff}}={\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega }$

$${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\sqrt {2}}{\Omega }}}$$

El colapso puede entenderse fácilmente como una consecuencia de la interferencia destructiva entre los diferentes componentes de frecuencia a medida que se desfasan y comienzan a interferir destructivamente con el tiempo. ^{[30] [31]} Sin embargo, el hecho de que las frecuencias tengan un espectro discreto conduce a otro resultado interesante en el régimen de tiempo más largo; en ese caso, la naturaleza periódica de la doble exponencial que varía lentamente predice que también debería haber un resurgimiento de la probabilidad en ese momento:

$${\displaystyle \tau _{r}={\frac {4\pi }{\Omega }}{\sqrt {\langle n\rangle }}.}$$

La reactivación de la probabilidad se debe al cambio de fase de las distintas frecuencias discretas. Si el campo fuera clásico, las frecuencias tendrían un espectro continuo y tal cambio de fase nunca podría ocurrir dentro de un tiempo finito. ^{[6] [30] [31]}

A la derecha se muestra un gráfico de la probabilidad de encontrar que un átomo inicialmente en el estado fundamental haya pasado al estado excitado después de interactuar con una cavidad preparada en un estado coherente versus el parámetro sin unidades . Nótese el colapso inicial seguido por un claro resurgimiento en momentos más prolongados. ${\displaystyle gt=\Omega t/2}$

Colapso y resurgimiento de las oscilaciones cuánticas.

Este gráfico de oscilaciones cuánticas de inversión atómica (para el parámetro de desafinación de escala cuadrática , donde está el parámetro de desafinación) se construyó sobre la base de fórmulas obtenidas por AA Karatsuba y EA Karatsuba. ^[32] ${\displaystyle a=(\delta /2g)^{2}=40}$ ${\displaystyle \delta }$

Ver también

• Modelo Caldeira-Leggett
• Modelo Jaynes-Cummings-Hubbard
• problema de rabi
• Emisión espontánea
• Oscilación de vacío Rabi

Referencias

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Otras lecturas

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