Aproximación de onda giratoria

Model used in atom optics and magnetic resonance

La aproximación de onda giratoria es una aproximación utilizada en óptica atómica y resonancia magnética . En esta aproximación, los términos de un hamiltoniano que oscilan rápidamente se desprecian. Esta es una aproximación válida cuando la radiación electromagnética aplicada está cerca de la resonancia con una transición atómica y la intensidad es baja. ^[1] Explícitamente, los términos en los hamiltonianos que oscilan con frecuencias se desprecian, mientras que se mantienen los términos que oscilan con frecuencias, donde es la frecuencia de la luz y es una frecuencia de transición. ${\displaystyle \omega _{L}+\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

El nombre de la aproximación proviene de la forma del hamiltoniano en la imagen de interacción , como se muestra a continuación. Al cambiar a esta imagen, la evolución de un átomo debido al hamiltoniano atómico correspondiente se absorbe en el sistema ket , dejando a considerar sólo la evolución debida a la interacción del átomo con el campo de luz. Es en este cuadro donde pueden despreciarse los términos de rápida oscilación mencionados anteriormente. Dado que en cierto sentido se puede considerar que la imagen de interacción gira con el sistema ket, sólo se mantiene la parte de la onda electromagnética que aproximadamente co-gira; el componente contrarrotativo se descarta.

La aproximación de onda giratoria está estrechamente relacionada con la aproximación secular , pero es diferente de ella . ^[2]

formulación matemática

Para simplificar, considere un sistema atómico de dos niveles con estados fundamental y excitado y , respectivamente (usando la notación entre corchetes de Dirac ). Sea la diferencia de energía entre los estados tal que sea la frecuencia de transición del sistema. Entonces el hamiltoniano imperturbado del átomo se puede escribir como ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$.

Supongamos que el átomo experimenta un campo eléctrico clásico externo de frecuencia , dado por ; por ejemplo, una onda plana que se propaga en el espacio. Entonces, bajo la aproximación dipolar, la interacción hamiltoniana entre el átomo y el campo eléctrico se puede expresar como ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$,

¿Dónde está el operador del momento dipolar del átomo? El hamiltoniano total para el sistema átomo-luz es, por lo tanto, El átomo no tiene un momento dipolar cuando está en un estado propio de energía , por lo que esto significa que la definición permite escribir el operador dipolar como ${\displaystyle {\vec {d}}}$ ${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$ ${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$ ${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

( denotando el conjugado complejo ). Entonces se puede demostrar que la interacción hamiltoniana es ${\displaystyle ^{*}}$

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

donde es la frecuencia de Rabi y es la frecuencia de contrarrotación. Para ver por qué los términos se llaman contrarrotativos, considere una transformación unitaria de la interacción o imagen de Dirac donde el hamiltoniano transformado está dado por ${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

¿Dónde está la desafinación entre el campo luminoso y el átomo? ${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$

Haciendo la aproximación

Sistema de dos niveles en resonancia con un campo conductor con (azul) y sin (verde) aplicando la aproximación de onda giratoria.

Este es el punto en el que se realiza la aproximación de la onda giratoria. Se ha asumido la aproximación dipolar y, para que ésta siga siendo válida, el campo eléctrico debe estar cerca de la resonancia con la transición atómica. Esto significa que y se puede considerar que las exponenciales complejas se multiplican y oscilan rápidamente. Por lo tanto, en cualquier escala de tiempo apreciable, las oscilaciones promediarán rápidamente 0. La aproximación de la onda giratoria es, por lo tanto, la afirmación de que estos términos pueden despreciarse y, por lo tanto, el hamiltoniano puede escribirse en la imagen de interacción como ${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Finalmente, volviendo a la imagen de Schrödinger , el hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Otro criterio para la aproximación de la onda giratoria es la condición de acoplamiento débil, es decir, la frecuencia de Rabi debe ser mucho menor que la frecuencia de transición. ^[1]

En este punto se completa la aproximación de la onda giratoria. Un primer paso común más allá de esto es eliminar la dependencia temporal restante en el hamiltoniano mediante otra transformación unitaria.

Derivación

Dadas las definiciones anteriores, la interacción hamiltoniana es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

Como se indica. El siguiente paso es encontrar el hamiltoniano en la imagen de interacción . La transformación unitaria requerida es ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$,

donde el tercer paso se puede demostrar usando una expansión en serie de Taylor y usando la ortogonalidad de los estados y . Tenga en cuenta que una multiplicación por una fase general de en un operador unitario no afecta la física subyacente, por lo que en usos posteriores de la ignoraremos. Aplicar da: ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$ ${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

Ahora aplicamos el RWA eliminando los términos contrarrotantes como se explica en el apartado anterior:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

Finalmente, transformamos el hamiltoniano aproximado a la imagen de Schrödinger: ${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

El hamiltoniano atómico no se vio afectado por la aproximación, por lo que el hamiltoniano total en la imagen de Schrödinger bajo la aproximación de onda giratoria es

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Referencias

1. Wu, Ying; Yang, Xiaoxue (2007). "Teoría del acoplamiento fuerte de sistemas de dos niveles accionados periódicamente". Cartas de revisión física . 98 (1): 013601. Código bibliográfico : 2007PhRvL..98a3601W. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.013601. ISSN  0031-9007. PMID  17358474.
2. Mäkelä, H.; Möttönen, M. (13 de noviembre de 2013). "Efectos de la onda giratoria y aproximaciones seculares sobre la no Markovianidad". Revisión física A. 88 (5): 052111. arXiv : 1306.6301 . doi : 10.1103/PhysRevA.88.052111.