casquete esférico

Sección de una esfera

Un ejemplo de casquete esférico en azul (y otro en rojo)

En geometría , un casquete esférico o cúpula esférica es una porción de una esfera o de una bola cortada por un plano . También es un segmento esférico de una base, es decir, delimitado por un único plano. Si el plano pasa por el centro de la esfera (formando un círculo máximo ), de modo que la altura del casquete es igual al radio de la esfera, el casquete esférico se llama hemisferio .

Volumen y superficie

El volumen del casquete esférico y el área de la superficie curva se pueden calcular utilizando combinaciones de

• El radio de la esfera. ${\displaystyle r}$
• El radio de la base de la tapa. ${\displaystyle a}$
• La altura de la gorra. ${\displaystyle h}$
• El ángulo polar entre los rayos desde el centro de la esfera hasta el vértice del casquete (el polo) y el borde del disco que forma la base del casquete. ${\displaystyle \theta }$

Si denota la latitud en coordenadas geográficas , entonces , y . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =\sin \phi }$

La relación entre y es relevante siempre que . Por ejemplo, la sección roja de la ilustración es también un casquete esférico para el cual . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq h\leq 2r}$ ${\displaystyle h>r}$

Las fórmulas que usan y se pueden reescribir para usar el radio de la base del casquete en lugar de , usando el teorema de Pitágoras : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,}$

de modo que

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.}$

Sustituyendo esto en las fórmulas se obtiene:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,}$

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.}$

Derivar el área de superficie intuitivamente a partir del volumen del sector esférico

Tenga en cuenta que, aparte del argumento basado en el cálculo que aparece a continuación, el área del casquete esférico puede derivarse del volumen del sector esférico ${\displaystyle V_{sec}}$ , mediante un argumento intuitivo, ^[2] como

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

El argumento intuitivo se basa en la suma del volumen total del sector del de las pirámides triangulares infinitesimales . Utilizando la fórmula del volumen de la pirámide (o cono) de , donde es el área infinitesimal de cada base piramidal (ubicada en la superficie de la esfera) y es la altura de cada pirámide desde su base hasta su vértice (en el centro de la esfera) . Como cada , en el límite, es constante y equivalente al radio de la esfera, la suma de las bases piramidales infinitesimales sería igual al área del sector esférico, y: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

Deducir el volumen y el área de superficie mediante cálculo

Al girar el área verde se crea un casquete esférico con altura y radio de esfera . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$

Las fórmulas de volumen y área se pueden derivar examinando la rotación de la función.

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

para , usando las fórmulas la superficie de rotación para el área y el sólido de revolución para el volumen. El área es ${\displaystyle x\in [0,h]}$

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

La derivada de es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

Por lo tanto, la fórmula para el área es

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

El volumen es

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

Aplicaciones

Volúmenes de unión e intersección de dos esferas que se cruzan.

El volumen de la unión de dos esferas de radios que se cruzan y es ^[3] ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

dónde

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

es la suma de los volúmenes de las dos esferas aisladas, y

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

la suma de los volúmenes de los dos casquetes esféricos que forman su intersección. Si es la distancia entre los dos centros de la esfera, la eliminación de las variables conduce a ^{[4] [5]} ${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

Volumen de un casquete esférico con base curva.

El volumen de un casquete esférico con base curva se puede calcular considerando dos esferas con radios y , separadas por cierta distancia , y cuyas superficies se cortan en . Es decir, la curvatura de la base proviene de la esfera 2. El volumen es, por tanto, la diferencia entre la tapa de la esfera 2 (con altura ) y la tapa de la esfera 1 (con altura ), ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x=h}$ ${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

Esta fórmula es válida sólo para configuraciones que satisfacen y . Si la esfera 2 es muy grande de modo que , por lo tanto y , que es el caso de un casquete esférico con una base que tiene una curvatura insignificante, la ecuación anterior es igual al volumen de un casquete esférico con una base plana, como se esperaba. ${\displaystyle 0<d<r_{2}}$ ${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$ ${\displaystyle d\gg h}$ ${\displaystyle r_{2}\approx d}$

Áreas de esferas que se cruzan

Considere dos esferas de radios y que se cruzan , con sus centros separados por una distancia . Se cruzan si ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

Según la ley de los cosenos, el ángulo polar del casquete esférico sobre la esfera de radio es ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

Usando esto, el área de superficie del casquete esférico en la esfera de radio es ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

Área de superficie delimitada por discos paralelos

El área de superficie curva del segmento esférico delimitado por dos discos paralelos es la diferencia de áreas de superficie de sus respectivos casquetes esféricos. Para una esfera de radio y tapas con alturas y , el área es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

o, utilizando coordenadas geográficas con latitudes y , ^[6] ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

Por ejemplo, suponiendo que la Tierra es una esfera de radio 6371 km, el área de superficie del Ártico (al norte del Círculo Polar Ártico, en la latitud 66,56° en agosto de 2016 ^[7] ) es 2 π ·6371 ² |sin 90° − pecado 66.56°| = 21,04 millones de km ² , o 0,5·|sin 90° − sin 66,56°| = 4,125% de la superficie total de la Tierra.

Esta fórmula también puede utilizarse para demostrar que la mitad de la superficie de la Tierra se encuentra entre las latitudes 30° Sur y 30° Norte en una zona esférica que abarca todos los trópicos .

Generalizaciones

Secciones de otros sólidos

La cúpula esferoidal se obtiene seccionando una porción de un esferoide de modo que la cúpula resultante sea circularmente simétrica (con un eje de rotación), y de la misma manera la cúpula elipsoidal se deriva del elipsoide .

casquete hiperesférico

Generalmente, el volumen -dimensional de un casquete hiperesférico de altura y radio en un espacio euclidiano -dimensional viene dado por: ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$$

función gamma ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

La fórmula para se puede expresar en términos del volumen de la unidad n-bola y la función hipergeométrica o la función beta incompleta regularizada como ${\displaystyle V}$ ${\textstyle C_{n}=\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

$${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

y la fórmula del área se puede expresar en términos del área de la unidad n-bola como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

${\displaystyle 0\leq h\leq r}$

Anteriormente en ^[9] (1986, URSS Academ. Press) se derivaron las siguientes fórmulas:

$${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q),}$$

$${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,}$$

$${\displaystyle G_{n}(q)=\int _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$$

Para extraño : ${\displaystyle n=2k+1}$

$${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$$

Asintóticas

Se muestra en ^[10] que, si y , entonces, ¿dónde está la integral de la distribución normal estándar ? ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}}$ ${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$ ${\displaystyle F()}$

Una cota más cuantitativa es . Para mayúsculas grandes (es decir, como ), el límite se simplifica a . ^[11] ${\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}$ ${\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Segmento circular : el objeto 2D análogo
• Ángulo sólido : contiene fórmula para límites de n esferas
• segmento esférico
• sector esférico
• cuña esférica

Referencias

1. Polianina, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006), Manual de matemáticas para ingenieros y científicos, CRC Press, p. 69, ISBN 9781584885023.
2. Shekhtman, Zor. "Unizor - Geometría3D - Sectores Esféricos". YouTube . Zor Shekhtman. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2021 . Consultado el 31 de diciembre de 2018 .
3. Connolly, Michael L. (1985). "Cálculo del volumen molecular". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 107 (5): 1118-1124. doi :10.1021/ja00291a006.
4. Pavani, R.; Ranghino, G. (1982). "Un método para calcular el volumen de una molécula". Computadoras y Química . 6 (3): 133-135. doi :10.1016/0097-8485(82)80006-5.
5. Bondi, A. (1964). "Volúmenes y radios de Van der Waals". El diario de la química física . 68 (3): 441–451. doi :10.1021/j100785a001.
6. Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel (2001). Desarrollo de software exitoso. ISBN 9780130868268. Consultado el 29 de agosto de 2016 .
7. "Oblicuidad de la eclíptica (media Eps)". Neoprogrammics.com . Consultado el 13 de mayo de 2014 .
8. Li, S. (2011). "Fórmulas breves para el área y el volumen de un casquete hiperesférico" (PDF) . Revista asiática de matemáticas y estadística : 66–70.
9. Chudnov, Alexander M. (1986). "Sobre algoritmos de generación y recepción de señales minimax (traducción inglesa)". Problemas de Transmisión de Información . 22 (4): 49–54.
10. Chudnov, Alexander M (1991). "Problemas de teoría de juegos de síntesis de algoritmos de generación y recepción de señales (traducción inglesa)". Problemas de Transmisión de Información . 27 (3): 57–65.
11. Anja Becker, Léo Ducas, Nicolas Gama y Thijs Laarhoven. 2016. Nuevas direcciones en la búsqueda de vecinos más cercanos con aplicaciones al tamizado en celosía. En Actas del vigésimo séptimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos (SODA '16), Robert Krauthgamer (Ed.). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia, PA, EE. UU., 10-24.

Otras lecturas

• Richmond, Timothy J. (1984). "Superficie accesible al disolvente y volumen excluido en proteínas: ecuación analítica para esferas superpuestas e implicaciones para el efecto hidrofóbico". Revista de biología molecular . 178 (1): 63–89. doi :10.1016/0022-2836(84)90231-6. PID  6548264.
• Lustig, Rolf (1986). "Geometría de cuatro esferas fusionadas en una configuración espacial arbitraria". Física Molecular . 59 (2): 195–207. Código Bib : 1986MolPh..59..195L. doi :10.1080/00268978600102011.
• Gibson, KD; Scheraga, Harold A. (1987). "Volumen de intersección de tres esferas de tamaño desigual: una fórmula simplificada". El diario de la química física . 91 (15): 4121–4122. doi :10.1021/j100299a035.
• Gibson, KD; Scheraga, Harold A. (1987). "Cálculo exacto del volumen y superficie de moléculas de esfera dura fusionadas con radios atómicos desiguales". Física Molecular . 62 (5): 1247-1265. Código bibliográfico : 1987MolPh..62.1247G. doi :10.1080/00268978700102951.
• Petitjean, Michel (1994). "Sobre el cálculo analítico de superficies y volúmenes de van der Waals: algunos aspectos numéricos". Revista de Química Computacional . 15 (5): 507–523. doi :10.1002/jcc.540150504.
• Grant, JA; Camioneta, BT (1995). "Una descripción gaussiana de la forma molecular". El diario de la química física . 99 (11): 3503–3510. doi :10.1021/j100011a016.
• Busa, enero; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: un paquete fortran para calcular el área de superficie accesible al disolvente y el volumen excluido de esferas superpuestas mediante ecuaciones analíticas". Comunicaciones de Física Informática . 165 (1): 59–96. Código Bib : 2005CoPhC.165...59B. doi :10.1016/j.cpc.2004.08.002.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Casquete esférico". MundoMatemático .Derivación y algunas fórmulas adicionales.
• Calculadora en línea para el volumen y el área de un casquete esférico.
• Resumen de fórmulas esféricas.