Teoría de la deformación finita

Modelo matemático para describir la deformación del material bajo tensión.

En mecánica continua , la teoría de deformaciones finitas , también llamada teoría de deformaciones grandes o teoría de deformaciones grandes , se ocupa de deformaciones en las que las deformaciones y/o rotaciones son lo suficientemente grandes como para invalidar los supuestos inherentes a la teoría de deformaciones infinitesimales . En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del continuo son significativamente diferentes, lo que requiere una distinción clara entre ellas. Este es comúnmente el caso de los elastómeros , materiales que se deforman plásticamente y otros fluidos y tejidos blandos biológicos .

Campo de desplazamiento

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación.

• Un desplazamiento de un cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño.
• La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo puede describirse mediante un campo de desplazamiento . Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y sólo si se ha producido deformación. Si el desplazamiento ocurre sin deformación, entonces se trata de un desplazamiento de cuerpo rígido.

Tensor de gradiente de deformación

Figura 2. Deformación de un cuerpo continuo.

El tensor de gradiente de deformación está relacionado tanto con la configuración de referencia como con la actual, como lo ven los vectores unitarios y , por lo tanto, es un tensor de dos puntos . Se pueden definir dos tipos de tensor de gradiente de deformación. ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$

Debido al supuesto de continuidad de , tiene lo inverso , donde es el tensor de gradiente de deformación espacial . Entonces, según el teorema de la función implícita , ^[1] el determinante jacobiano debe ser no singular , es decir ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$

El tensor de gradiente de deformación del material es un tensor de segundo orden que representa el gradiente de la función cartográfica o relación funcional , que describe el movimiento de un continuo . El tensor de gradiente de deformación del material caracteriza la deformación local en un punto material con vector de posición , es decir, la deformación en puntos vecinos, transformando ( transformación lineal ) un elemento de línea de material que emana de ese punto desde la configuración de referencia a la configuración actual o deformada, asumiendo continuidad en la función de mapeo , es decir, función diferenciable de y tiempo , lo que implica que las grietas y huecos no se abren ni se cierran durante la deformación. Así tenemos, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle t\,\!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Vector de desplazamiento relativo

Considere una partícula o un punto material con un vector de posición en la configuración no deformada (Figura 2). Después de un desplazamiento del cuerpo, la nueva posición de la partícula indicada por en la nueva configuración viene dada por el vector posición . Los sistemas de coordenadas para la configuración deformada y no deformada se pueden superponer por conveniencia. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

Consideremos ahora un punto material vecino , con vector de posición . En la configuración deformada esta partícula tiene una nueva posición dada por el vector de posición . Suponiendo que los segmentos de línea que unen las partículas y en la configuración no deformada y deformada, respectivamente, son muy pequeños, entonces podemos expresarlos como y . Así, de la Figura 2 tenemos ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \Delta X}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}}$$

donde es el vector de desplazamiento relativo , que representa el desplazamiento relativo de con respecto a en la configuración deformada. ${\displaystyle \mathbf {du} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Aproximación de Taylor

Para un elemento infinitesimal , y suponiendo continuidad en el campo de desplazamiento, es posible utilizar una expansión en serie de Taylor alrededor del punto , despreciando términos de orden superior, para aproximar las componentes del vector de desplazamiento relativo de la partícula vecina como Así, la ecuación anterior Se puede escribir como ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Derivada temporal del gradiente de deformación.

Los cálculos que implican la deformación de un cuerpo dependiente del tiempo a menudo requieren que se calcule una derivada temporal del gradiente de deformación. Una definición geométricamente consistente de dicha derivada requiere una incursión en la geometría diferencial ^[2], pero evitamos esos problemas en este artículo.

La derivada del tiempo es donde está la velocidad (material). La derivada del lado derecho representa un gradiente de velocidad del material . Es común convertir eso en un gradiente espacial aplicando la regla de la cadena para derivadas, es decir, dónde está el gradiente de velocidad espacial y dónde está la velocidad espacial (euleriana) en . Si el gradiente de velocidad espacial es constante en el tiempo, la ecuación anterior se puede resolver exactamente para suponer en . Existen varios métodos para calcular el exponencial anterior. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$ ${\displaystyle t=0}$

Las cantidades relacionadas que se utilizan a menudo en la mecánica continua son el tensor de velocidad de deformación y el tensor de espín definidos, respectivamente, como: El tensor de velocidad de deformación da la velocidad de estiramiento de los elementos lineales, mientras que el tensor de espín indica la velocidad de rotación o vorticidad del movimiento. . $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$

La derivada del material en el tiempo de la inversa del gradiente de deformación (manteniendo fija la configuración de referencia) a menudo se requiere en análisis que involucran deformaciones finitas. Esta derivada es La relación anterior se puede verificar tomando la derivada material del tiempo y observando que . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

Descomposición polar del tensor de gradiente de deformación.

Figura 3. Representación de la descomposición polar del gradiente de deformación.

El gradiente de deformación , como cualquier tensor invertible de segundo orden, se puede descomponer, utilizando el teorema de descomposición polar , en un producto de dos tensores de segundo orden (Truesdell y Noll, 1965): un tensor ortogonal y un tensor simétrico definido positivo, es decir , donde el tensor es un tensor ortogonal propio, es decir, y , que representa una rotación; el tensor es el tensor de estiramiento derecho ; y el tensor de estiramiento izquierdo . Los términos derecha e izquierda significan que están a la derecha e izquierda del tensor de rotación , respectivamente. y son ambos tensores definidos positivos , es decir, y para todos los distintos de cero , y simétricos , es decir, y , de segundo orden. ${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

Esta descomposición implica que la deformación de un elemento lineal en la configuración no deformada sobre la configuración deformada, es decir , puede obtenerse estirando primero el elemento en , es decir , seguido de una rotación , es decir ,; o de manera equivalente, aplicando primero una rotación rígida, es decir , seguida más tarde de un estiramiento , es decir, (Ver Figura 3). ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} }$

Debido a la ortogonalidad de so that y tienen los mismos valores propios o tramos principales , pero diferentes vectores propios o direcciones principales y , respectivamente. Las direcciones principales están relacionadas por ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

Esta descomposición polar, que es única por ser invertible con un determinante positivo, es un corolario de la descomposición en valores singulares . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Transformación de un elemento de superficie y volumen.

Para transformar cantidades que están definidas con respecto a áreas en una configuración deformada a aquellas relativas a áreas en una configuración de referencia, y viceversa, usamos la relación de Nanson , expresada como donde es un área de una región en la configuración deformada, es lo mismo área en la configuración de referencia, y es la normal exterior al elemento de área en la configuración actual, mientras que es la normal exterior en la configuración de referencia, es el gradiente de deformación y . $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$ ${\displaystyle da}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

La fórmula correspondiente para la transformación del elemento de volumen es $${\displaystyle dv=J~dV}$$

Derivación de la relación de Nanson (ver también ^[3] )

Para ver cómo se deriva esta fórmula, comenzamos con los elementos de área orientada en las configuraciones de referencia y actual: Los volúmenes de referencia y actual de un elemento están donde . $${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} }$$ ${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$

Por lo tanto, o, entonces, entonces obtenemos o, QED $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}}$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} }$$ $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$

Tensores de deformación fundamentales

La IUPAC define un tensor de deformación como: ^[4]

"Un tensor simétrico que resulta cuando un tensor de gradiente de deformación se factoriza en un tensor de rotación seguido o precedido por un tensor simétrico".

Dado que una rotación pura no debería inducir ninguna deformación en un cuerpo deformable, a menudo es conveniente utilizar medidas de deformación independientes de la rotación en mecánica continua . Como una rotación seguida de su rotación inversa no produce ningún cambio ( ), podemos excluir la rotación multiplicando el tensor del gradiente de deformación por su transpuesta . ${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

En mecánica se utilizan varios tensores de gradiente de deformación independientes de la rotación (o "tensores de deformación", para abreviar). En mecánica de sólidos, los más populares son los tensores de deformación de Cauchy-Green derecho e izquierdo.

Tensor de deformación de Cauchy (tensor de deformación de Cauchy-Green derecho)

En 1839, George Green introdujo un tensor de deformación conocido como tensor de deformación derecho de Cauchy-Green o tensor de deformación de Green (la IUPAC recomienda que este tensor se llame tensor de deformación de Cauchy ), ^[4] definido como:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

Físicamente, el tensor de Cauchy-Green nos da el cuadrado del cambio local en distancias debido a la deformación, es decir ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

Las invariantes de se utilizan a menudo en las expresiones de funciones de densidad de energía de deformación . Los invariantes más comúnmente utilizados son donde es el determinante del gradiente de deformación y son las relaciones de estiramiento para las fibras unitarias que inicialmente están orientadas a lo largo de las direcciones del vector propio del tensor de estiramiento derecho (de referencia) (estos generalmente no están alineados con los tres ejes del sistemas coordinados). ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

tensor de tensión de los dedos

La IUPAC recomienda ^[4] que el inverso del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho (llamado tensor de deformación de Cauchy en ese documento), es decir , se llame tensor de deformación de dedo . Sin embargo, esa nomenclatura no es universalmente aceptada en la mecánica aplicada. ${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

Tensor de deformación verde (tensor de deformación Cauchy-Green izquierdo)

Invertir el orden de multiplicación en la fórmula del tensor de deformación de Green-Cauchy derecho conduce al tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo que se define como: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo a menudo se denomina tensor de deformación de Finger , en honor a Josef Finger (1894). ^[5]

La IUPAC recomienda que este tensor se llame tensor de deformación de Green . ^[4]

Las invariantes de también se utilizan en las expresiones de funciones de densidad de energía de deformación . Las invariantes convencionales se definen como dónde está el determinante del gradiente de deformación. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$

Para materiales comprimibles, se utiliza un conjunto de invariantes ligeramente diferente: $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

Tensor de deformación de Piola (tensor de deformación de Cauchy)

A principios de 1828, ^[6] Augustin-Louis Cauchy introdujo un tensor de deformación definido como el inverso del tensor de deformación izquierdo de Cauchy-Green, . Este tensor también ha sido llamado tensor de deformación de Piola por la IUPAC ^[4] y tensor de dedo ^[7] en la literatura de reología y dinámica de fluidos. ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

Representación espectral

Si hay tres tramos principales distintos , las descomposiciones espectrales de y vienen dadas por ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

Además,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

Observe que Por lo tanto, la unicidad de la descomposición espectral también implica que . El estiramiento izquierdo ( ) también se llama tensor de estiramiento espacial, mientras que el estiramiento derecho ( ) se llama tensor de estiramiento material . $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

El efecto de actuar sobre es estirar el vector y rotarlo a la nueva orientación , es decir, de manera similar, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

Ejemplos

Extensión uniaxial de un material incompresible.

Este es el caso donde una muestra se estira en 1 dirección con una relación de estiramiento de . Si el volumen permanece constante, la contracción en las otras dos direcciones es tal que o . Entonces: ${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

corte simple

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Rotación del cuerpo rígido

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

Derivados del estiramiento

Las derivadas del estiramiento con respecto al tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se utilizan para derivar las relaciones tensión-deformación de muchos sólidos, particularmente materiales hiperelásticos . Estas derivadas son y se derivan de las observaciones de que $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

Interpretación física de los tensores de deformación.

Sea un sistema de coordenadas cartesiano definido sobre el cuerpo no deformado y sea otro sistema definido sobre el cuerpo deformado. Sea parametrizada una curva en el cuerpo no deformado usando . Su imagen en el cuerpo deformado es . ${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

La longitud no deformada de la curva viene dada por Después de la deformación, la longitud se convierte en . Tenga en cuenta que el tensor de deformación derecho de Cauchy-Green se define como Por lo tanto, lo que indica que los cambios en la longitud se caracterizan por . $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Tensores de deformación finitos

El concepto de deformación se utiliza para evaluar en qué medida un desplazamiento dado difiere localmente de un desplazamiento de un cuerpo rígido. ^{[1] [8] [9]} Una de esas deformaciones para grandes deformaciones es el tensor de deformaciones finitas de Lagrangiano , también llamado tensor de deformaciones Green-Lagrangiano o tensor de deformaciones Green-St-Venant , definido como

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

o en función del tensor de gradiente de desplazamiento o $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$ $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

El tensor de deformación Green-Lagrangiano es una medida de cuánto difiere de . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

El tensor de deformación finita de Euler , o tensor de deformación finita de Euler-Almansi , referenciado a la configuración deformada (es decir, descripción euleriana) se define como

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

o en función de los gradientes de desplazamiento tenemos $${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Derivación de los tensores de deformación finita lagrangianos y eulerianos

Una medida de deformación es la diferencia entre los cuadrados del elemento de línea diferencial , en la configuración no deformada, y , en la configuración deformada (Figura 2). Se ha producido deformación si la diferencia es distinta de cero; de lo contrario, se ha producido un desplazamiento del cuerpo rígido. Así tenemos, ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}$$

En la descripción lagrangiana, utilizando las coordenadas del material como marco de referencia, la transformación lineal entre las líneas diferenciales es

$${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}$$

Entonces nosotros tenemos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}$$

¿ Dónde están los componentes del tensor de deformación derecho de Cauchy-Green ? Luego, reemplazando esta ecuación en la primera ecuación tenemos, ${\displaystyle C_{KL}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}}$$o donde , son los componentes de un tensor de segundo orden llamado tensor de deformación de Green-St-Venant o tensor de deformación finito lagrangiano , $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E_{KL}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

En la descripción euleriana, utilizando las coordenadas espaciales como marco de referencia, la transformación lineal entre las líneas diferenciales es donde están los componentes del tensor de gradiente de deformación espacial . Así tenemos $${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}}$$donde el tensor de segundo orden se llama tensor de deformación de Cauchy ,. Entonces nosotros tenemos, ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}}$$o $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}$$

donde son los componentes de un tensor de segundo orden llamado tensor de deformación finita de Euleriano-Almansi , ${\displaystyle e_{rs}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

Tanto el tensor de deformación finita lagrangiano como el euleriano se pueden expresar convenientemente en términos del tensor de gradiente de desplazamiento . Para el tensor de deformación lagrangiano, primero diferenciamos el vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material para obtener el tensor de gradiente de desplazamiento del material . ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle X_{M}}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Reemplazando esta ecuación en la expresión del tensor de deformación finita lagrangiano tenemos o $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}$$

De manera similar, el tensor de deformación finita de Eulerian-Almansi se puede expresar como

$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Familia Seth-Hill de tensores de deformación generalizados

BR Seth del Instituto Indio de Tecnología Kharagpur fue el primero en demostrar que los tensores de deformación de Green y Almansi son casos especiales de una medida de deformación más general . ^{[10] [11]} Rodney Hill amplió aún más la idea en 1968. ^[12] La familia de medidas de deformación de Seth-Hill (también llamadas tensores de Doyle-Ericksen) ^[13] se puede expresar como

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}$$

Para diferentes valores de tenemos: ${\displaystyle m}$

• Tensor de deformación verde-lagrangiano $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )}$$
• tensor de deformación de biot $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I} }$$
• Deformación logarítmica, deformación natural, deformación verdadera o deformación Hencky $${\displaystyle \mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C} }$$
• cepa almansí $${\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]}$$

La aproximación de segundo orden de estos tensores es donde está el tensor de deformación infinitesimal. $${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Son admisibles muchas otras definiciones diferentes de tensores , siempre que todas cumplan las condiciones que: ^[14] ${\displaystyle \mathbf {E} }$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$desaparece para todos los movimientos de cuerpos rígidos
• la dependencia del tensor de gradiente de desplazamiento es continua, continuamente diferenciable y monótona ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$
• también se desea que se reduzca al tensor de deformación infinitesimal como norma ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |\to 0}$

Un ejemplo es el conjunto de tensores que no pertenecen a la clase de Seth-Hill, pero que tienen la misma aproximación de segundo orden que las medidas de Seth-Hill en para cualquier valor de . ^[15] $${\displaystyle \mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n}$$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n}$

Interpretación física del tensor de deformación finita.

Los componentes diagonales del tensor de deformación finita de Lagrangiano están relacionados con la deformación normal, por ejemplo ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}}$$

¿Dónde está la deformación normal o de ingeniería en la dirección ? ${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\,\!}$

Los componentes fuera de la diagonal del tensor de deformación finita lagrangiano están relacionados con la deformación cortante, por ejemplo ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}}$$

¿Dónde es el cambio en el ángulo entre dos elementos lineales que originalmente eran perpendiculares a las direcciones y , respectivamente? ${\displaystyle \phi _{12}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$

En determinadas circunstancias, es decir, desplazamientos pequeños y velocidades de desplazamiento pequeñas, las componentes del tensor de deformación finito de Lagrang pueden aproximarse mediante las componentes del tensor de deformación infinitesimal.

Derivación de la interpretación física de los tensores de deformación finita lagrangianos y eulerianos

La relación de estiramiento del elemento diferencial (Figura) en la dirección del vector unitario en el punto del material , en la configuración no deformada, se define como ${\displaystyle d\mathbf {X} =dX\mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle P\,\!}$

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}}$$

donde es la magnitud deformada del elemento diferencial . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$

De manera similar, la relación de estiramiento del elemento diferencial (Figura), en la dirección del vector unitario en el punto del material , en la configuración deformada, se define como ${\displaystyle d\mathbf {x} =dx\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle p\,\!}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}}$$

El cuadrado de la relación de estiramiento se define como $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}}$$

Sabiendo que tenemos donde y son vectores unitarios. $${\displaystyle (dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}}$$ $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}}$$ ${\displaystyle N_{K}}$ ${\displaystyle N_{L}}$

La deformación normal o deformación de ingeniería en cualquier dirección se puede expresar como una función de la relación de estiramiento, ${\displaystyle e_{\mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

$${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1}$$

Por lo tanto, la deformación normal en la dirección del punto del material se puede expresar en términos de la relación de estiramiento como ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}}$$

resolviendo para tenemos ${\displaystyle E_{11}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}}$$

La deformación cortante , o cambio de ángulo entre dos elementos lineales e inicialmente perpendiculares, y orientados en las direcciones principales y , respectivamente, también se puede expresar en función de la relación de estiramiento. Del producto escalar entre las líneas deformadas y tenemos ${\displaystyle d\mathbf {X} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}}$$

donde es el ángulo entre las líneas y en la configuración deformada. Definiendo como la deformación cortante o reducción en el ángulo entre dos elementos lineales que originalmente eran perpendiculares, tenemos ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{12}}$

$${\displaystyle \phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}}$$entonces ​ $${\displaystyle \cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}}$$

o

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}}$$

Condiciones de compatibilidad

El problema de la compatibilidad en la mecánica continua implica la determinación de campos continuos de un solo valor permisibles en los cuerpos. Estas condiciones permitidas dejan el cuerpo sin espacios ni superposiciones no físicas después de una deformación. La mayoría de estas condiciones se aplican a cuerpos simplemente conectados. Se requieren condiciones adicionales para los límites internos de cuerpos conectados múltiples.

Compatibilidad del gradiente de deformación.

Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un campo compatible sobre un cuerpo simplemente conexo son ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$

Compatibilidad del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho

Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un campo compatible sobre un cuerpo simplemente conexo son. Podemos demostrar que estas son las componentes mixtas del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel . Por lo tanto, las condiciones necesarias para la compatibilidad son que la curvatura de Riemann-Christoffel de la deformación sea cero. ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Compatibilidad del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo

Amit Acharya derivó las condiciones generales de suficiencia para el tensor de deformación izquierdo de Cauchy-Green en tres dimensiones. ^[16] Janet Blume encontró las condiciones de compatibilidad para campos bidimensionales . ^[17] ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Ver también

• Deformación infinitesimal
• Compatibilidad (mecánica)
• Coordenadas curvilíneas
• Tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensión para deformaciones finitas.
• Medidas de estrés
• partición de cepas

Referencias

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2. A. Yavari, JE Marsden y M. Ortiz, Sobre las leyes de equilibrio covariante espacial y material en elasticidad, Journal of Mathematical Physics, 47, 2006, 042903; págs. 1–53.
3. Eduardo de Souza Neto; Djordje Peric; Owens, David (2008). Métodos computacionales para la plasticidad: teoría y aplicaciones . Chichester, West Sussex, Reino Unido: Wiley. pag. 65.ISBN​ 978-0-470-69452-7.
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7. JN Reddy, David K. Gartling (2000) El método de los elementos finitos en transferencia de calor y dinámica de fluidos, p. 317, Prensa CRC ISBN 1-4200-8598-0 . 
8. Belytschko, Ted; Liu, ala Kam; Morán, Brian (2000). Elementos finitos no lineales para continua y estructuras (reimpresión con correcciones, ed. 2006). John Wiley & Sons Ltd. págs. 92–94. ISBN 978-0-471-98773-4.
9. Zeidi, Mahdi; Kim, Chun IL (2018). "Mecánica de un sólido elástico reforzado con fibra bidireccional en elastostática de plano finito: análisis completo". Mecánica del Continuo y Termodinámica . 30 (3): 573–592. Código Bib : 2018CMT....30..573Z. doi :10.1007/s00161-018-0623-0. ISSN  1432-0959. S2CID  253674037.
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Otras lecturas

• Eneldo, Ellis Harold (2006). Mecánica del Continuo: Elasticidad, Plasticidad, Viscoelasticidad. Alemania: Prensa CRC. ISBN 0-8493-9779-0.
• Dimitrienko, Yuriy (2011). Mecánica continua no lineal y grandes deformaciones inelásticas. Alemania: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Métodos continuos de modelado físico. Alemania: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Teoría de la elastoplasticidad. Prensa CRC. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Reología: principios, medición y aplicaciones . Editores VCH. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Mecánica de Medios Continuos. Profesional de McGraw-Hill. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Mecánica continua para ingenieros (Segunda ed.). Prensa CRC. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticidad: tratado sobre la deformación finita de materiales inelásticos heterogéneos. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-83979-3.
• Rees, David (2006). Plasticidad básica en ingeniería: una introducción a las aplicaciones de ingeniería y fabricación. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3.

enlaces externos

• Notas del profesor Amit Acharya sobre compatibilidad en iMechanica