En el caso de deformaciones finitas , los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff (llamados así por Gabrio Piola y Gustav Kirchhoff ) expresan la tensión relativa a la configuración de referencia. Esto contrasta con el tensor de tensión de Cauchy , que expresa la tensión relativa a la configuración actual. Para deformaciones y rotaciones infinitesimales, los tensores de Cauchy y Piola-Kirchhoff son idénticos. Mientras que el tensor de tensión de Cauchy relaciona las tensiones en la configuración actual, los tensores de gradiente de deformación y deformación se describen relacionando el movimiento con la configuración de referencia; por lo tanto, no todos los tensores que describen el estado del material están en la configuración de referencia o en la actual. Describir la tensión, la deformación y la tensión en la configuración de referencia o actual facilitaría la definición de modelos constitutivos (por ejemplo, el tensor de tensión de Cauchy es variante de una rotación pura, mientras que el tensor de deformación por tensión es invariante; creando así problemas en la definición de un modelo constitutivo que relacione un tensor variable, en términos de uno invariante durante la rotación pura; ya que por definición los modelos constitutivos tienen que ser invariantes a las rotaciones puras). El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff es una posible solución a este problema. Define una familia de tensores, que describen la configuración del cuerpo en el estado actual o en el de referencia.
El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , , relaciona fuerzas en la configuración actual ("espacial") con áreas en la configuración de referencia ("material").
donde es el gradiente de deformación y es el determinante jacobiano . En términos de componentes con respecto a una base ortonormal , la primera tensión de Piola-Kirchhoff está dada por
Debido a que relaciona diferentes sistemas de coordenadas, la primera tensión de Piola-Kirchhoff es un tensor de dos puntos . En general, no es simétrico. La primera tensión de Piola-Kirchhoff es la generalización 3D del concepto 1D de tensión de ingeniería . Si el material gira sin un cambio en el estado de tensión (rotación rígida), los componentes del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff variarán con la orientación del material. La primera tensión de Piola-Kirchhoff es energía conjugada al gradiente de deformación. Relaciona fuerzas en la configuración actual con áreas en la configuración de referencia.
El segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , , relaciona las fuerzas en la configuración de referencia con las áreas en la configuración de referencia. La fuerza en la configuración de referencia se obtiene mediante una aplicación que preserva la relación relativa entre la dirección de la fuerza y el área normal en la configuración de referencia.
En notación de índice con respecto a una base ortonormal,
Este tensor, un tensor de un punto, es simétrico. Si el material gira sin un cambio en el estado de tensión (rotación rígida), los componentes del segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff permanecen constantes, independientemente de la orientación del material. El segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff es conjugado en energía con el tensor de deformación finita de Green-Lagrange .
