tensor de dos puntos

Los tensores de dos puntos , o vectores dobles , son cantidades tipo tensor que se transforman en vectores euclidianos con respecto a cada uno de sus índices. Se utilizan en mecánica continua para transformar entre coordenadas de referencia ("material") y presentes ("configuración"). ^[1] Los ejemplos incluyen el gradiente de deformación y el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff .

Como ocurre con muchas aplicaciones de tensores, la notación de suma de Einstein se utiliza con frecuencia. Para aclarar esta notación, a menudo se utilizan índices de capitales para indicar las coordenadas de referencia y minúsculas para las coordenadas actuales. Por tanto, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, A _jM .

Mecánica de Medios Continuos

Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas. Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro. Es decir, un tensor convencional,

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$,

transforma activamente un vector u en un vector v tal que

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la " e ").

Por el contrario, un tensor de dos puntos, G , se escribirá como

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

y transformará un vector, U , en el sistema E en un vector, v , en el sistema e como

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$.

La ley de transformación del tensor de dos puntos.

Supongamos que tenemos dos sistemas de coordenadas, uno preparado y otro no preparado, y los componentes de un vector se transforman entre ellos como

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$.

Para tensores supongamos que tenemos

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$.

Un tensor en el sistema . En otro sistema, sea el mismo tensor dado por ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$.

Podemos decir

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$.

Entonces

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

es la transformación tensorial de rutina. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

que se transforma como

${\displaystyle F'=QF}$.

Ejemplo sencillo

El ejemplo más mundano de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en la discusión anterior. Tenga en cuenta que

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$.

Ahora, escribiendo en su totalidad,

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

y también

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$.

Esto entonces requiere que Q sea de la forma

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$.

Por definición de producto tensorial ,

Entonces podemos escribir

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

De este modo

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

Incorporando ( 1 ), tenemos

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$.

Ver también

• tensor mixto
• Covarianza y contravarianza de vectores.

Referencias

1. Humphrey, Jay D. Mecánica de sólidos cardiovasculares: células, tejidos y órganos. Springer Verlag, 2002.

enlaces externos

• Fundamentos matemáticos de la elasticidad Por Jerrold E. Marsden, Thomas JR Hughes
• Tensores de dos puntos en iMechanica