Coordenadas ortogonales

Conjunto de coordenadas donde todas las hipersuperficies de coordenadas se encuentran en ángulos rectos

En matemáticas , las coordenadas ortogonales se definen como un conjunto de d coordenadas en el que las hipersuperficies de coordenadas se encuentran todas en ángulos rectos (nótese que los superíndices son índices , no exponentes ). Una superficie de coordenadas para una coordenada particular q ^k es la curva , superficie o hipersuperficie en la que q ^k es una constante. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas tridimensionales ( x , y , z ) son un sistema de coordenadas ortogonales, ya que sus superficies de coordenadas x = constante, y = constante y z = constante son planos que se encuentran en ángulos rectos entre sí, es decir, son perpendiculares. Las coordenadas ortogonales son un caso especial pero extremadamente común de coordenadas curvilíneas . ${\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})}$

Motivación

Una función conforme que actúa sobre una cuadrícula rectangular. Nótese que se conserva la ortogonalidad de la cuadrícula curva.

Si bien las operaciones vectoriales y las leyes físicas normalmente son más fáciles de derivar en coordenadas cartesianas , las coordenadas ortogonales no cartesianas se utilizan a menudo para la solución de diversos problemas, especialmente problemas de valores límite , como los que surgen en las teorías de campo de la mecánica cuántica , el flujo de fluidos , la electrodinámica , la física del plasma y la difusión de especies químicas o calor .

La principal ventaja de las coordenadas no cartesianas es que se pueden elegir para que coincidan con la simetría del problema. Por ejemplo, la onda de presión debida a una explosión lejos del suelo (u otras barreras) depende del espacio 3D en coordenadas cartesianas, sin embargo, la presión se aleja predominantemente del centro, de modo que en coordenadas esféricas el problema se vuelve casi unidimensional (ya que la onda de presión depende predominantemente solo del tiempo y la distancia desde el centro). Otro ejemplo es el fluido (lento) en una tubería circular recta: en coordenadas cartesianas, uno tiene que resolver un problema de valor límite bidimensional (difícil) que involucra una ecuación diferencial parcial, pero en coordenadas cilíndricas el problema se vuelve unidimensional con una ecuación diferencial ordinaria en lugar de una ecuación diferencial parcial .

La razón para preferir las coordenadas ortogonales en lugar de las coordenadas curvilíneas generales es la simplicidad: surgen muchas complicaciones cuando las coordenadas no son ortogonales. Por ejemplo, en coordenadas ortogonales muchos problemas pueden resolverse mediante la separación de variables . La separación de variables es una técnica matemática que convierte un problema complejo de dimensión d en problemas unidimensionales d que pueden resolverse en términos de funciones conocidas. Muchas ecuaciones pueden reducirse a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz . La ecuación de Laplace es separable en 13 sistemas de coordenadas ortogonales (los 14 enumerados en la tabla siguiente con la excepción del toroidal ), y la ecuación de Helmholtz es separable en 11 sistemas de coordenadas ortogonales. ^{[1] [2]}

Las coordenadas ortogonales nunca tienen términos fuera de la diagonal en su tensor métrico . En otras palabras, la distancia infinitesimal al cuadrado ds ² siempre se puede escribir como una suma escalada de los desplazamientos infinitesimales al cuadrado de las coordenadas.

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}$

donde d es la dimensión y las funciones de escala (o factores de escala)

${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}$

son iguales a las raíces cuadradas de los componentes diagonales del tensor métrico, o las longitudes de los vectores base locales descritos a continuación. Estas funciones de escala h _i se utilizan para calcular operadores diferenciales en las nuevas coordenadas, por ejemplo, el gradiente , el laplaciano , la divergencia y el rizo . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

Un método simple para generar sistemas de coordenadas ortogonales en dos dimensiones es mediante una aplicación conforme de una cuadrícula bidimensional estándar de coordenadas cartesianas ( x , y ) . Se puede formar un número complejo z = x + iy a partir de las coordenadas reales x e y , donde i representa la unidad imaginaria . Cualquier función holomorfa w = f ( z ) con derivada compleja distinta de cero producirá una aplicación conforme ; si el número complejo resultante se escribe w = u + iv , entonces las curvas de u y v constantes se intersecan en ángulos rectos, tal como lo hacían las líneas originales de x e y constantes .

Las coordenadas ortogonales en tres dimensiones y superiores se pueden generar a partir de un sistema de coordenadas ortogonal bidimensional, ya sea proyectándolo a una nueva dimensión ( coordenadas cilíndricas ) o rotando el sistema bidimensional sobre uno de sus ejes de simetría. Sin embargo, existen otros sistemas de coordenadas ortogonales en tres dimensiones que no se pueden obtener proyectando o rotando un sistema bidimensional, como las coordenadas elipsoidales . Se pueden obtener coordenadas ortogonales más generales comenzando con algunas superficies de coordenadas necesarias y considerando sus trayectorias ortogonales .

Vectores básicos

Base covariante

En las coordenadas cartesianas , los vectores base son fijos (constantes). En el contexto más general de las coordenadas curvilíneas , un punto en el espacio se especifica mediante las coordenadas, y en cada uno de esos puntos hay un conjunto de vectores base, que generalmente no son constantes: esta es la esencia de las coordenadas curvilíneas en general y es un concepto muy importante. Lo que distingue a las coordenadas ortogonales es que, aunque los vectores base varían, siempre son ortogonales entre sí. En otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}$

Estos vectores base son por definición los vectores tangentes de las curvas obtenidas al variar una coordenada, manteniendo fijas las demás:

Visualización de coordenadas ortogonales en 2D. Se muestran las curvas obtenidas manteniendo constantes todas las coordenadas menos una, junto con los vectores base. Tenga en cuenta que los vectores base no tienen la misma longitud: no es necesario que la tengan, solo que sean ortogonales.

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$

donde r es un punto y q ⁱ es la coordenada para la que se extrae el vector base. En otras palabras, se obtiene una curva fijando todas las coordenadas menos una; la coordenada no fija se varía como en una curva paramétrica , y la derivada de la curva con respecto al parámetro (la coordenada variable) es el vector base para esa coordenada.

Tenga en cuenta que los vectores no tienen necesariamente la misma longitud. Las funciones útiles conocidas como factores de escala de las coordenadas son simplemente las longitudes de los vectores base (consulte la tabla siguiente). Los factores de escala a veces se denominan coeficientes de Lamé , que no deben confundirse con los parámetros de Lamé (mecánica de sólidos) . ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}}$

Los vectores base normalizados se anotan con un sombrero y se obtienen dividiendo por la longitud:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}$

Un campo vectorial puede especificarse por sus componentes con respecto a los vectores base o a los vectores base normalizados, y se debe estar seguro de qué caso se refiere. Los componentes en la base normalizada son los más comunes en aplicaciones para mayor claridad de las cantidades (por ejemplo, se puede querer trabajar con velocidad tangencial en lugar de velocidad tangencial multiplicada por un factor de escala); en las derivaciones, la base normalizada es menos común ya que es más complicada.

Base contravariante

Los vectores base que se muestran arriba son vectores base covariantes (porque "covarían" con los vectores). En el caso de coordenadas ortogonales, los vectores base contravariantes son fáciles de encontrar, ya que estarán en la misma dirección que los vectores covariantes, pero con una longitud recíproca (por esta razón, se dice que los dos conjuntos de vectores base son recíprocos entre sí):

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}$

Esto se deduce del hecho de que, por definición, , utilizando el delta de Kronecker . Nótese que: ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$

Ahora nos enfrentamos a tres conjuntos de bases diferentes que se utilizan comúnmente para describir vectores en coordenadas ortogonales: la base covariante e _i , la base contravariante e ⁱ y la base normalizada ê ⁱ . Si bien un vector es una cantidad objetiva , lo que significa que su identidad es independiente de cualquier sistema de coordenadas, los componentes de un vector dependen de la base en la que se represente el vector.

Para evitar confusiones, los componentes del vector x con respecto a la base e _i se representan como x ⁱ , mientras que los componentes con respecto a la base e ⁱ se representan como x _i :

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

La posición de los índices representa cómo se calculan los componentes (los índices superiores no deben confundirse con la exponenciación ). Tenga en cuenta que los símbolos de suma Σ ( Sigma mayúscula ) y el rango de suma, que indica la suma sobre todos los vectores base ( i = 1, 2, ..., d ), a menudo se omiten . Los componentes están relacionados simplemente por:

${\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}$

No existe una notación distintiva generalizada en uso para los componentes vectoriales con respecto a la base normalizada; en este artículo utilizaremos subíndices para los componentes vectoriales y observaremos que los componentes se calculan en la base normalizada.

Álgebra vectorial

La suma y la negación de vectores se realizan por componentes, tal como en las coordenadas cartesianas, sin complicaciones. Es posible que se requieran consideraciones adicionales para otras operaciones con vectores.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que todas estas operaciones suponen que dos vectores de un campo vectorial están ligados al mismo punto (en otras palabras, las colas de los vectores coinciden). Dado que los vectores base generalmente varían en coordenadas ortogonales, si se suman dos vectores cuyos componentes se calculan en diferentes puntos del espacio, es necesario tener en cuenta los diferentes vectores base.

Producto escalar

El producto escalar en coordenadas cartesianas ( espacio euclidiano con una base ortonormal ) es simplemente la suma de los productos de los componentes. En coordenadas ortogonales, el producto escalar de dos vectores x e y adopta esta forma familiar cuando los componentes de los vectores se calculan en la base normalizada:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}$

Esta es una consecuencia inmediata del hecho de que la base normalizada en algún punto puede formar un sistema de coordenadas cartesianas: el conjunto base es ortonormal .

Para los componentes en las bases covariantes o contravariantes,

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}$

Esto se puede obtener fácilmente escribiendo los vectores en forma de componentes, normalizando los vectores base y tomando el producto escalar. Por ejemplo, en 2D:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}$

donde se ha utilizado el hecho de que las bases covariantes y contravariantes normalizadas son iguales.

Producto vectorial

El producto vectorial en coordenadas cartesianas 3D es:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

La fórmula anterior sigue siendo válida en coordenadas ortogonales si los componentes se calculan en la base normalizada.

Para construir el producto vectorial en coordenadas ortogonales con bases covariantes o contravariantes nuevamente debemos simplemente normalizar los vectores base, por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$

que, escrito expandido,

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}$

La notación concisa para el producto vectorial, que simplifica la generalización a coordenadas no ortogonales y dimensiones superiores, es posible con el tensor de Levi-Civita , que tendrá componentes distintos de ceros y unos si los factores de escala no son todos iguales a uno.

Cálculo vectorial

Diferenciación

Observando un desplazamiento infinitesimal desde algún punto, es evidente que

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

Por definición , el gradiente de una función debe satisfacer (esta definición sigue siendo verdadera si ƒ es cualquier tensor )

${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

De ello se deduce entonces que el operador del debe ser:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

Y esto sigue siendo cierto en las coordenadas curvilíneas generales. Cantidades como el gradiente y el laplaciano se obtienen mediante la aplicación adecuada de este operador.

Fórmulas de vectores básicos

A partir de d r y los vectores base normalizados ê _i , se puede construir lo siguiente. ^{[3] [4]}

dónde

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}$

es el determinante jacobiano , que tiene la interpretación geométrica de la deformación en volumen desde el cubo infinitesimal d x d y d z hasta el volumen curvo infinitesimal en las coordenadas ortogonales.

Integración

Utilizando el elemento de línea que se muestra arriba, la integral de línea a lo largo de una trayectoria de un vector F es: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}$

Un elemento infinitesimal de área para una superficie descrita manteniendo constante una coordenada q _k es:

${\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}$

De manera similar, el elemento de volumen es:

${\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}$

donde el símbolo grande Π ( Pi mayúscula ) indica un producto de la misma manera que un Σ grande indica una suma. Nótese que el producto de todos los factores de escala es el determinante jacobiano .

A modo de ejemplo, la integral de superficie de una función vectorial F sobre una superficie q ¹ = constante en 3D es: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}$

Nótese que F ¹ / h ₁ es el componente de F normal a la superficie.

Operadores diferenciales en tres dimensiones

Dado que estas operaciones son comunes en la aplicación, todos los componentes vectoriales en esta sección se presentan con respecto a la base normalizada: . ${\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

Las expresiones anteriores se pueden escribir en una forma más compacta utilizando el símbolo de Levi-Civita y el determinante jacobiano , asumiendo la suma sobre índices repetidos: ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}$

Observe también que el gradiente de un campo escalar se puede expresar en términos de la matriz jacobiana J que contiene derivadas parciales canónicas:

${\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}$

en caso de cambio de base :

${\displaystyle \nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}}$

donde las matrices de rotación y escala son:

${\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}$

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}$

Tabla de coordenadas ortogonales bidimensionales

Ejemplos de coordenadas ortogonales bidimensionales (https://www.desmos.com/calculator/m5gmtg4n1d).

Tabla de coordenadas ortogonales tridimensionales

Además de las coordenadas cartesianas habituales, se tabulan a continuación otras 13. ^[5] La notación de intervalo se utiliza para compacidad en la columna de coordenadas curvilíneas, y las entradas se agrupan por sus firmas de intervalo, por ejemplo, COxCCxCO para coordenadas esféricas, con la x en cada firma indicando el producto cartesiano, con un límite teórico de 27 productos. A partir de la simetría, podemos concluir que este es un listado completo. Las entradas no están ordenadas por sus firmas de intervalo en orden alfabético, ni se incluyen las firmas. Después de la agrupación de las entradas por firma de intervalo, el orden de clasificación aquí es alfabético por el nombre del sistema de coordenadas curvilíneas.

Véase también

• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas geodésicas
• Tensor
• Campo vectorial
• Coordenadas oblicuas
• Sistema de numeración ternario equilibrado

Notas

1. Eric W. Weisstein . «Sistema de coordenadas ortogonales». MathWorld . Consultado el 10 de julio de 2008 .
2. Morse y Feshbach 1953, Volumen 1, págs. 494–523, 655–666.
3. Manual matemático de fórmulas y tablas (3.ª edición), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 . 
4. Análisis vectorial (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
5. Análisis vectorial (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 

Referencias

• Korn GA y Korn TM . (1961) Manual matemático para científicos e ingenieros , McGraw-Hill, págs. 164–182.
• Morse y Feshbach (1953). Métodos de física teórica, volumen 1. McGraw-Hill.
• Margenau H. y Murphy GM. (1956) Las matemáticas de la física y la química , 2.ª ed., Van Nostrand, págs. 172-192.
• Leonid P. Lebedev y Michael J. Cloud (2003) Análisis tensorial , págs. 81 – 88.