Sistema sobredeterminado

Más ecuaciones que incógnitas (matemáticas)

En matemáticas , un sistema de ecuaciones se considera sobredeterminado si existen más ecuaciones que incógnitas. ^{[1] [ cita necesaria ]} Un sistema sobredeterminado casi siempre es inconsistente (no tiene solución) cuando se construye con coeficientes aleatorios. Sin embargo, un sistema sobredeterminado tendrá soluciones en algunos casos, por ejemplo, si alguna ecuación ocurre varias veces en el sistema, o si algunas ecuaciones son combinaciones lineales de otras.

La terminología se puede describir en términos del concepto de recuento de restricciones . Cada incógnita puede verse como un grado de libertad disponible. Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que restringe un grado de libertad . Por tanto, el caso crítico se produce cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que da un grado de libertad, existe una restricción correspondiente. El caso sobredeterminado ocurre cuando el sistema ha sido demasiado restringido, es decir, cuando las ecuaciones superan en número a las incógnitas. En contraste, el caso subdeterminado ocurre cuando el sistema ha sido subrrestringido, es decir, cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas. Estos sistemas suelen tener un número infinito de soluciones.

Sistemas lineales de ecuaciones sobredeterminados.

Un ejemplo en dos dimensiones

#1 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres rectas, sin soluciones

#2 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres rectas (dos paralelas ), sin soluciones

#3 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres rectas (todas paralelas), sin soluciones

#4 Un sistema de tres ecuaciones (una ecuación linealmente dependiente de las demás), tres rectas (dos coincidentes), una solución

#5 Un sistema de tres ecuaciones (una ecuación linealmente dependiente de las demás), tres líneas, una solución

#6 Un sistema de tres ecuaciones (dos ecuaciones cada una dependiente linealmente de la tercera), tres líneas coincidentes, una infinidad de soluciones

Considere el sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas ( X e Y ), que está sobredeterminado porque 3 > 2, y que corresponde al Diagrama #1:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=-2X-1\\Y&=3X-2\\Y&=X+1.\end{aligned}}}$$

Hay una solución para cada par de ecuaciones lineales: para la primera y segunda ecuaciones (0.2, −1.4), para la primera y tercera (−2/3, 1/3), y para la segunda y tercera (1.5, 2.5 ). Sin embargo, no existe una solución que satisfaga los tres simultáneamente. Los diagramas 2 y 3 muestran otras configuraciones que son inconsistentes porque no hay ningún punto en todas las líneas. Los sistemas de esta variedad se consideran inconsistentes .

Los únicos casos en los que el sistema sobredeterminado de hecho tiene una solución se demuestran en los Diagramas 4, 5 y 6. Estas excepciones pueden ocurrir sólo cuando el sistema sobredeterminado contiene suficientes ecuaciones linealmente dependientes como para que el número de ecuaciones independientes no exceda el número de incógnitas. La dependencia lineal significa que algunas ecuaciones se pueden obtener combinando linealmente otras ecuaciones. Por ejemplo, Y  =  X  + 1 y 2 Y  = 2 X  + 2 son ecuaciones linealmente dependientes porque la segunda se puede obtener tomando el doble de la primera.

forma matricial

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación matricial . El sistema de ecuaciones anterior (en el Diagrama #1) se puede escribir de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\-3&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-2\\1\end{bmatrix}}}$$

matriz de coeficientesrangovariables dependientes^[2]si y solo simatriz aumentadanulidadespacio nulobase

En álgebra lineal, los conceptos de espacio de filas , espacio de columnas y espacio nulo son importantes para determinar las propiedades de las matrices. La discusión informal sobre restricciones y grados de libertad anterior se relaciona directamente con estos conceptos más formales.

Caso homogéneo

El caso homogéneo (en el que todos los términos constantes son cero) es siempre consistente (porque hay una solución trivial, todo cero). Hay dos casos, dependiendo del número de ecuaciones linealmente dependientes: o existe solo la solución trivial o existe la solución trivial más un conjunto infinito de otras soluciones.

Considere el sistema de ecuaciones lineales: L _i = 0 para 1 ≤ i ≤ M , y las variables X ₁ , X ₂ , ..., X _N , donde cada _Li es una suma ponderada de las X _i s. Entonces X ₁ = X ₂ = ⋯ = X _N = 0 es siempre una solución. Cuando M < N el sistema está indeterminado y siempre hay una infinidad de soluciones adicionales. De hecho, la dimensión del espacio de soluciones es siempre al menos N − M .

Para M ≥ N , puede que no haya otra solución que la de que todos los valores sean 0. Habrá una infinidad de otras soluciones sólo cuando el sistema de ecuaciones tenga suficientes dependencias (ecuaciones linealmente dependientes) como para que el número de ecuaciones independientes sea como máximo N − 1. Pero con M ≥ N el número de ecuaciones independientes podría ser tan alto como N , en cuyo caso la solución trivial es la única.

Caso no homogéneo

En sistemas de ecuaciones lineales, L _i = c _i para 1 ≤ i ≤ M , en las variables X ₁ , X ₂ , ..., X _N las ecuaciones son a veces linealmente dependientes; de hecho, el número de ecuaciones linealmente independientes no puede exceder N +1. Tenemos los siguientes casos posibles para un sistema sobredeterminado con N incógnitas y M ecuaciones ( M > N ).

• M = N +1 y todas las M ecuaciones son linealmente independientes . Este caso no tiene solución. Ejemplo: x = 1, x = 2.
• M > N pero sólo K ecuaciones ( K < M y K ≤ N +1) son linealmente independientes. Existen tres posibles subcasos de esto:
  • K = norte +1. Este caso no arroja soluciones. Ejemplo: 2 x = 2, x = 1, x = 2.
  • K = norte . Este caso produce una solución única o ninguna solución; esto último ocurre cuando el vector de coeficientes de una ecuación puede replicarse mediante una suma ponderada de los vectores de coeficientes de las otras ecuaciones, pero esa suma ponderada aplicada a los términos constantes de las otras ecuaciones no no replicar el término constante de una ecuación. Ejemplo con una solución: 2 x = 2, x = 1. Ejemplo sin solución: 2 x + 2 y = 2, x + y = 1, x + y = 3.
  • K < norte . Este caso produce infinitas soluciones o ninguna solución; esto último ocurre como en el subcaso anterior. Ejemplo con infinitas soluciones: 3 x + 3 y = 3, 2 x + 2 y = 2, x + y = 1. Ejemplo sin solución: 3 x + 3 y + 3 z = 3, 2 x + 2 y + 2 z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4.

Estos resultados pueden ser más fáciles de entender si se coloca la matriz aumentada de los coeficientes del sistema en forma escalonada por filas mediante el uso de eliminación gaussiana . Esta forma escalonada por filas es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones que es equivalente al sistema dado (tiene exactamente las mismas soluciones). El número de ecuaciones independientes en el sistema original es el número de filas distintas de cero en la forma escalonada. El sistema es inconsistente (sin solución) si y solo si la última fila distinta de cero en forma escalonada tiene solo una entrada distinta de cero que está en la última columna (dando una ecuación 0 = c donde c es una constante distinta de cero) . De lo contrario, hay exactamente una solución cuando el número de filas distintas de cero en forma escalonada es igual al número de incógnitas, y hay infinitas soluciones cuando el número de filas distintas de cero es menor que el número de variables.

Dicho de otra manera, según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones (sobredeterminado o no) es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y sólo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango; por tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones.

Soluciones exactas

Se pueden obtener todas las soluciones exactas, o se puede demostrar que no existe ninguna, utilizando álgebra matricial . Ver Sistema de ecuaciones lineales#Solución matricial .

Soluciones aproximadas

El método de mínimos cuadrados ordinarios se puede utilizar para encontrar una solución aproximada a sistemas sobredeterminados. Para el sistema la fórmula de mínimos cuadrados se obtiene del problema ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,}$

$${\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\lVert A\mathbf {x} -\mathbf {b} \rVert ,}$$

ecuaciones normales^[3]

$${\displaystyle \mathbf {x} =\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$

transposición de matrizsiempre queA tenga el rango de columnafactorización QRA para resolver el problema de mínimos cuadrados. ^[4] ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$

Sistemas de ecuaciones no lineales sobredeterminados.

En espacios de dimensiones finitas, un sistema de ecuaciones se puede escribir o representar en forma de

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\end{array}}\right.}$

o en forma de con ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{array}}\right]\;\;\;{\mbox{and}}\;\;\;\mathbf {0} =\left[{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\end{array}}\right]}$

donde es un punto en o y son funciones reales o complejas. El sistema está sobredeterminado si . Por el contrario, el sistema es un sistema indeterminado si . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle m<n}$

Como método eficaz para resolver sistemas sobredeterminados, la iteración de Gauss-Newton converge localmente cuadráticamente a soluciones en las que las matrices jacobianas de son inyectivas. ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$

En uso general

El concepto también se puede aplicar a sistemas de ecuaciones más generales, como sistemas de ecuaciones polinómicas o ecuaciones diferenciales parciales . En el caso de los sistemas de ecuaciones polinomiales, puede ocurrir que un sistema sobredeterminado tenga solución, pero que ninguna ecuación sea consecuencia de las demás y que, al eliminar alguna ecuación, el nuevo sistema tenga más soluciones. Por ejemplo, tiene una solución única pero cada ecuación por sí sola tiene dos soluciones. ${\displaystyle (x-1)(x-2)=0,(x-1)(x-3)=0}$ ${\displaystyle x=1,}$

Ver también

• Sistema indeterminado
• Teorema de Rouché-Capelli (o Rouché-Frobenius)
• Condición de integrabilidad
• mínimos cuadrados
• prueba de coherencia
• Detección comprimida
• Pseudoinverso de Moore-Penrose

Referencias

1. Gentil, James E. (6 de diciembre de 2012). Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística. Saltador. ISBN 9781461206231.
2. Stevens, Scott A. "Análisis del sistema: rango y nulidad" (PDF) . Matemáticas 220 - Folletos de matrices . Universidad del Estado de Pensilvania . Consultado el 3 de abril de 2017 .
3. Antón, Howard; Rorres, Chris (2005). Álgebra lineal elemental (9ª ed.). John Wiley e hijos, Inc. ISBN 978-0-471-66959-3.
4. Trefethen, Lloyd; Bau, III, David (1997). Álgebra lineal numérica . ISBN 978-0898713619.
5. JM Ortega y WC Rheinboldt (1970). Solución iterativa de ecuaciones no lineales en varias variables . Prensa Académica y reproducción SIAM 2000.
6. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein y CW Wampler (2013). Resolución numérica de sistemas polinomiales con Bertini . SIAM.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )