Símbolo q-Pochhammer

Concepto en combinatoria (parte de las matemáticas)

En el campo matemático de la combinatoria , el símbolo q -Pochhammer , también llamado factorial q -desplazado , es el producto de Es un q -análogo del símbolo de Pochhammer , en el sentido de que El símbolo q -Pochhammer es un componente fundamental en la construcción de q -análogos; por ejemplo, en la teoría de series hipergeométricas básicas , desempeña el papel que desempeña el símbolo q-Pochhammer ordinario en la teoría de series hipergeométricas generalizadas . $${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$$ ${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$ ${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)}$ $${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.}$$

A diferencia del símbolo Pochhammer ordinario, el símbolo q -Pochhammer se puede extender a un producto infinito: Esta es una función analítica de q en el interior del disco unitario , y también se puede considerar como una serie de potencias formales en q . El caso especial se conoce como función de Euler y es importante en combinatoria , teoría de números y teoría de formas modulares . $${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$$ $${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$$

Identidades

El producto finito se puede expresar en términos del producto infinito: que extiende la definición a los enteros negativos n . Por lo tanto, para n no negativo , se tiene y Alternativamente, lo cual es útil para algunas de las funciones generadoras de funciones de partición. $${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$$ $${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$$ $${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$$ $${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$$

El símbolo q -Pochhammer es objeto de varias identidades de series q , en particular las expansiones de series infinitas , que son ambos casos especiales del teorema q -binomial : Fridrikh Karpelevich encontró la siguiente identidad (véase Olshanetsky y Rogov (1995) para la prueba): $${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$$ $${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{-n})}},\ |z|<1.}$$

Interpretación combinatoria

El símbolo q -Pochhammer está estrechamente relacionado con la combinatoria enumerativa de particiones. El coeficiente de in es el número de particiones de m en n partes como máximo . Puesto que, por conjugación de particiones, es el mismo que el número de particiones de m en partes de tamaño como máximo n , por identificación de series generadoras obtenemos la identidad como en la sección anterior. ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ $${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$$ $${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$$

También tenemos que el coeficiente de in es el número de particiones de m en n o n -1 partes distintas. ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ $${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$$

Al eliminar una partición triangular con n − 1 partes de dicha partición, nos queda una partición arbitraria con como máximo n partes. Esto da una biyección que preserva el peso entre el conjunto de particiones en n o n − 1 partes distintas y el conjunto de pares que consisten en una partición triangular que tiene n − 1 partes y una partición con como máximo n partes. Al identificar series generadoras, esto conduce a la identidad también descrita en la sección anterior. El recíproco de la función surge de manera similar como la función generadora para la función de partición , , que también se expande mediante las segundas dos expansiones de series q que se dan a continuación: ^[1] $${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$$ ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$ ${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$$

El teorema q -binomial en sí también puede manejarse mediante un argumento combinatorio ligeramente más complejo y de un estilo similar (ver también las expansiones dadas en la siguiente subsección).

Similarmente, $${\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$$

Convención de argumentos múltiples

Dado que las identidades que involucran símbolos q -Pochhammer frecuentemente involucran productos de muchos símbolos, la convención estándar es escribir un producto como un solo símbolo de múltiples argumentos: $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$$

q-serie

Una serie q es una serie en la que los coeficientes son funciones de q , típicamente expresiones de . ^[2] Los primeros resultados se deben a Euler , Gauss y Cauchy . El estudio sistemático comienza con Eduard Heine (1843). ^[3] ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

Relación con otrosq-funciones

El q -análogo de n , también conocido como el q -corchete o el q -número de n , se define como A partir de esto se puede definir el q -análogo del factorial , el q -factorial , como $${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}$$

Estos números son análogos en el sentido de que y por lo tanto también $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}$$ $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$$

El valor límite n ! cuenta las permutaciones de un conjunto de n elementos S . De manera equivalente, cuenta el número de secuencias de conjuntos anidados tales que contiene exactamente i elementos. ^[4] En comparación, cuando q es una potencia prima y V es un espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo con q elementos, el q -análogo es el número de banderas completas en V , es decir, es el número de secuencias de subespacios tales que tiene dimensión i . ^[4] Las consideraciones anteriores sugieren que uno puede considerar una secuencia de conjuntos anidados como una bandera sobre un campo conjetural con un elemento . ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle [n]!_{q}}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Un producto de q -corchetes enteros negativos se puede expresar en términos del q -factorial como $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$$

A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los q -coeficientes binomiales, también conocidos como coeficientes binomiales gaussianos , como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$$

donde es fácil ver que el triángulo de estos coeficientes es simétrico en el sentido de que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$

Para todos . Se puede comprobar que ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$$

También se puede ver a partir de las relaciones de recurrencia anteriores que las siguientes variantes del teorema binomial se desarrollan en términos de estos coeficientes de la siguiente manera: ^[5] ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$$

Se pueden definir además los coeficientes q -multinomiales donde los argumentos son números enteros no negativos que satisfacen . El coeficiente anterior cuenta la cantidad de indicadores de subespacios en un espacio vectorial n -dimensional sobre el campo con q elementos tales que . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$$ ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$ ${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$ ${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$

El límite da el coeficiente multinomial habitual , que cuenta palabras en n símbolos diferentes de modo que cada uno aparezca veces. ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$ ${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

También se obtiene un análogo q de la función gamma , llamada función q-gamma , y ​​definida como Esta converge a la función gamma habitual cuando q se acerca a 1 desde el interior del disco unitario. Nótese que para cualquier x y para valores enteros no negativos de n . Alternativamente, esto puede tomarse como una extensión de la función q -factorial al sistema de números reales. $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$ $${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}$$

Véase también

• Lista de análogos q
• Serie hipergeométrica básica
• Función gamma elíptica
• Función theta de Jacobi
• Serie Lambert
• Teorema del número pentagonal
• q -derivada
• función q -theta
• q- Identidad de Vandermonde
• Identidades de Rogers y Ramanujan
• Fracción continua de Rogers-Ramanujan

Referencias

1. Berndt, BC "¿Qué es una serie q?" (PDF) .
2. Bruce C. Berndt, ¿Qué es una serie q?, en Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series en memoria de K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 de junio de 2009, ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber y MJ Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, págs. 31–51.
3. Heine, E. "Untersuchungen über die Reihe".J. Reine Angew. Matemáticas. 34 (1847), 285–328.
4. Stanley, Richard P. (2011), Combinatoria enumerativa , vol. 1 (2.ª ed.), Cambridge University Press, Sección 1.10.2.
5. Olver y col. (2010). "Sección 17.2". Manual de funciones matemáticas del NIST. pág. 421.

• George Gasper y Mizan Rahman , Basic Hypergeometric Series, 2.ª edición , (2004), Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Roelof Koekoek y Rene F. Swarttouw, El esquema de Askey de polinomios ortogonales y sus q-análogos , sección 0.2.
• Exton, H. (1983), Funciones hipergeométricas q y aplicaciones , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• MA Olshanetsky y VBK Rogov (1995), Las funciones q-Bessel modificadas y las funciones q-Bessel-Macdonald, arXiv:q-alg/9509013.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Análogo q". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Corchete q". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "q-Factorial". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Serie q". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Coeficiente q-binomial". MathWorld .