En el campo de la geometría hiperbólica , el panal de abejas de teselación hexagonal es uno de los 11 panales de abejas paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene celdas compuestas por un número infinito de caras. Cada celda es una teselación hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horosfera , una superficie en el espacio hiperbólico que se aproxima a un único punto ideal en el infinito.
El símbolo de Schläfli del panal de teselación hexagonal es {6,3,3}. Como el del teselación hexagonal es {6,3}, este panal tiene tres teselación hexagonal que se encuentran en cada arista. Como el símbolo de Schläfli del tetraedro es {3,3}, la figura del vértice de este panal es un tetraedro. Por lo tanto, cuatro teselación hexagonal se encuentran en cada vértice de este panal, seis hexágonos se encuentran en cada vértice y cuatro aristas se encuentran en cada vértice. [1]
Vista en perspectiva fuera de un modelo de disco de Poincaré , la imagen de arriba muestra una celda de mosaico hexagonal dentro del panal y su horósfera de radio medio (la horósfera incidente con los puntos medios de las aristas). En esta proyección, los hexágonos se hacen infinitamente pequeños hacia el límite infinito, y se mueven asintóticamente hacia un único punto ideal. Puede verse como similar al mosaico apeirogonal de orden 3 , {∞,3} de H 2 , con horociclos que circunscriben los vértices de las caras apeirogonales .
Tiene un total de cinco construcciones reflexivas de cinco grupos de Coxeter relacionados, todos con cuatro espejos y siendo solo el primero regular:
[6,3,3],[3,6,3],[6,3,6],
[6,3 [3] ] y [3 [3,3] ]
, que tienen dominios fundamentales 1, 4, 6, 12 y 24 veces más grandes respectivamente . En los marcados de subgrupos de notación de Coxeter , se relacionan como: [6,(3,3) * ] (eliminar 3 espejos, índice 24 subgrupo); [3,6,3 * ] o [3 * ,6,3] (eliminar 2 espejos, índice 6 subgrupo); [1 + ,6,3,6,1 + ] (eliminar dos espejos ortogonales, índice 4 subgrupo); todos estos son isomorfos a [3 [3,3] ]. Los diagramas de Coxeter en anillo son
,,,
y, que representan diferentes tipos (colores) de mosaicos hexagonales en la construcción de Wythoff .
El panal de abejas con teselas hexagonales es un panal hiperbólico regular en el espacio tridimensional y uno de los 11 que son paracompactos.
Es uno de los 15 panales paracompactos uniformes del grupo Coxeter [6,3,3], junto con su dual, el panal tetraédrico de orden 6 .
Es parte de una secuencia de policoros regulares , que incluyen el teseracto de 5 celdas {3,3,3 }, y el teseracto de 120 celdas {5,3,3} del 4-espacio euclidiano, junto con otros panales hiperbólicos que contienen figuras de vértices tetraédricos .
También forma parte de una secuencia de panales regulares de la forma {6,3,p}, cada uno de los cuales está compuesto por celdas de teselación hexagonal :
El panal de abejas de teselación hexagonal rectificada , t 1 {6,3,3},tiene facetas de teselación tetraédricas y trihexagonales , con una figura de vértice de prisma triangular .La construcción de semisimetría alterna dos tipos de tetraedros.
El panal de abeja de teselación hexagonal truncada , t 0,1 {6,3,3},tiene facetas de teselaciones tetraédricas y hexagonales truncadas , con figura de vértice de pirámide triangular .
Es similar al teselado apeirogonal de orden 3 truncado hiperbólico 2D , t{∞,3} con caras apeirogonales y triangulares:
El panal de abejas de teselación hexagonal bitruncado o panal de abejas tetraédrico de orden 6 bitruncado , t 1,2 {6,3,3},tiene celdas en teselaciones hexagonales y tetraedro truncado , con figura de vértice dienoide digonal .
El panal de abeja con teselación hexagonal cantelada , t 0,2 {6,3,3},tiene celdas octaédricas , rombitrihexagonales y prismáticas triangulares , con una figura de vértice en cuña .
El panal de abeja de teselación hexagonal truncada , t 0,1,2 {6,3,3},tiene un tetraedro truncado , un mosaico trihexagonal truncado y celdas prismáticas triangulares , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal de abejas de teselación hexagonal ranurada , t 0,3 {6,3,3},tiene celdas de tetraedro , teselación hexagonal , prisma hexagonal y prisma triangular , con una figura de vértice de antiprisma triangular irregular .
El panal de abejas de teselación hexagonal truncada , t 0,1,3 {6,3,3},tiene celdas de teselación cuboctaedro , prisma triangular , prisma dodecagonal y hexagonales truncados , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
El panal de abejas de teselación hexagonal runcicantelada o panal de abejas tetraédrico runcitruncado de orden 6 , t 0,2,3 {6,3,3},tiene celdas de teselación tetraédrica truncada , prisma hexagonal y rombitrihexagonal , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
El panal de abejas de teselación hexagonal omnitruncado o panal de abejas tetraédrico omnitruncado de orden 6 , t 0,1,2,3 {6,3,3},tiene celdas de teselación de octaedro truncado , prisma hexagonal , prisma dodecagonal y trihexagonales truncados , con una figura de vértice de tetraedro irregular .
