Restricción de primera clase

En física , una restricción de primera clase es una cantidad dinámica en un sistema hamiltoniano restringido cuyo corchete de Poisson con todas las demás restricciones se desvanece en la superficie de restricción en el espacio de fases (la superficie definida implícitamente por la desaparición simultánea de todas las restricciones). Para calcular la restricción de primera clase, se supone que no hay restricciones de segunda clase , o que se han calculado previamente y se han generado sus corchetes de Dirac . ^[1]

Las restricciones de primera y segunda clase fueron introducidas por Dirac  (1950, p. 136, 1964, p. 17) como una forma de cuantificar sistemas mecánicos como las teorías de calibre donde la forma simpléctica es degenerada. ^{[2] [3]}

La terminología de las restricciones de primera y segunda clase es confusamente similar a la de las restricciones primarias y secundarias , lo que refleja la manera en que se generan. Estas divisiones son independientes: tanto las restricciones de primera como las de segunda clase pueden ser primarias o secundarias, por lo que esto da en total cuatro clases diferentes de restricciones.

Corchetes de Poisson

Consideremos una variedad de Poisson M con un hamiltoniano suave sobre ella (para teorías de campo, M sería de dimensión infinita).

Supongamos que tenemos algunas restricciones

${\displaystyle f_{i}(x)=0,}$

para n funciones suaves

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}}$

Estos solo se definirán en forma de gráfico en general. Supongamos que en todas partes del conjunto restringido, las n derivadas de las n funciones son todas linealmente independientes y también que los corchetes de Poisson

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}}$

y

${\displaystyle \{f_{i},H\}}$

todos desaparecen en el subespacio restringido.

Esto significa que podemos escribir

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}}$

Para algunas funciones suaves , existe un teorema que lo demuestra; y ${\displaystyle c_{ij}^{k}}$

${\displaystyle \{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}}$

para algunas funciones suaves . ${\displaystyle v_{i}^{j}}$

Esto se puede hacer de manera global, utilizando una partición de la unidad . Entonces, decimos que tenemos una restricción de primera clase irreducible ( irreducible aquí tiene un sentido diferente al que se utiliza en la teoría de la representación ).

Teoría geométrica

Para una forma más elegante, supongamos que se da un fibrado vectorial sobre , con fibra de dimensión . Equipemos este fibrado vectorial con una conexión . Supongamos también que tenemos una sección lisa f de este fibrado. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

Entonces, la derivada covariante de f con respecto a la conexión es una función lineal suave desde el fibrado tangente hasta , que conserva el punto base . Supongamos que esta función lineal es invertible por la derecha (es decir, existe una función lineal tal que es la función identidad ) para todas las fibras en los ceros de f . Entonces, de acuerdo con el teorema de la función implícita , el subespacio de ceros de f es una subvariedad . ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (\Delta f)g}$

El corchete de Poisson ordinario sólo se define sobre , el espacio de funciones suaves sobre M . Sin embargo, utilizando la conexión, podemos extenderlo al espacio de secciones suaves de f si trabajamos con el fibrado algebraico con el álgebra graduada de V -tensores como fibras. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Supongamos también que bajo este corchete de Poisson (nótese que ya no es cierto que en general para este "corchete de Poisson extendido") y en la subvariedad de ceros de f (si estos corchetes también resultan ser cero en todas partes, entonces decimos que las restricciones cierran la capa ). Resulta que la condición de invertibilidad correcta y la conmutatividad de las condiciones de flujo son independientes de la elección de la conexión. Por lo tanto, podemos descartar la conexión siempre que estemos trabajando únicamente con el subespacio restringido. ${\displaystyle \{f,f\}=0}$ ${\displaystyle \{g,g\}=0}$ ${\displaystyle \{f,H\}=0}$

Significado intuitivo

¿Qué significa todo esto intuitivamente? Significa que los flujos hamiltonianos y de restricción conmutan entre sí en el subespacio restringido; o, alternativamente, que si comenzamos en un punto en el subespacio restringido, entonces los flujos hamiltonianos y de restricción llevan el punto a otro punto en el subespacio restringido.

Puesto que deseamos restringirnos únicamente al subespacio restringido, esto sugiere que el hamiltoniano, o cualquier otro observable físico , solo debería definirse en ese subespacio. De manera equivalente, podemos observar la clase de equivalencia de funciones suaves sobre la variedad simpléctica, que concuerdan en el subespacio restringido (el álgebra del cociente por el ideal generado por las f , en otras palabras).

El problema es que los flujos hamiltonianos en el subespacio restringido dependen del gradiente del hamiltoniano allí, no de su valor. Pero hay una manera fácil de salir de esto.

Observe las órbitas del subespacio restringido bajo la acción de los flujos simplécticos generados por las f . Esto da una foliación local del subespacio porque satisface las condiciones de integrabilidad ( teorema de Frobenius ). Resulta que si comenzamos con dos puntos diferentes en una misma órbita en el subespacio restringido y evolucionamos ambos bajo dos hamiltonianos diferentes, respectivamente, que coinciden en el subespacio restringido, entonces la evolución temporal de ambos puntos bajo sus respectivos flujos hamiltonianos siempre estará en la misma órbita en tiempos iguales. También resulta que si tenemos dos funciones suaves A ₁ y B ₁ , que son constantes sobre órbitas al menos en el subespacio restringido (es decir, observables físicos) (es decir, {A ₁ ,f}={B ₁ ,f}=0 sobre el subespacio restringido) y otras dos A ₂ y B ₂ , que también son constantes sobre órbitas tales que A ₁ y B ₁ concuerdan con A ₂ y B ₂ respectivamente sobre el subespacio restringido, entonces sus corchetes de Poisson {A ₁ , B ₁ } y {A ₂ , B ₂ } también son constantes sobre órbitas y concuerdan sobre el subespacio restringido.

En general, no se pueden descartar flujos " ergódicos " (que básicamente significan que una órbita es densa en algún conjunto abierto), o flujos "subergódicos" (que hacen que una órbita sea densa en alguna subvariedad de dimensión mayor que la dimensión de la órbita). No podemos tener órbitas que se intersecten entre sí.

Para la mayoría de las aplicaciones "prácticas" de las restricciones de primera clase, no vemos tales complicaciones: el espacio cociente del subespacio restringido por los f-flujos (en otras palabras, el espacio de órbitas) se comporta lo suficientemente bien como para actuar como una variedad diferenciable , que puede convertirse en una variedad simpléctica proyectando la forma simpléctica de M sobre ella (se puede demostrar que está bien definida ). A la luz de la observación sobre los observables físicos mencionada anteriormente, podemos trabajar con esta variedad simpléctica más pequeña "física", pero con 2n dimensiones menos.

En general, el espacio cociente es un poco difícil de trabajar cuando se hacen cálculos concretos (sin mencionar que es no local cuando se trabaja con restricciones de difeomorfismo ), por lo que lo que se suele hacer en su lugar es algo similar. Nótese que la subvariedad restringida es un fibrado (pero no un fibrado en general) sobre la variedad cociente. Por lo tanto, en lugar de trabajar con la variedad cociente, podemos trabajar con una sección del fibrado. Esto se llama fijación de calibre .

El problema principal es que este conjunto podría no tener una sección global en general. Aquí es donde entra en juego el "problema" de las anomalías globales , por ejemplo. Una anomalía global es diferente de la ambigüedad de Gribov , que es cuando una corrección de calibre no funciona para corregir un calibre de forma única; en una anomalía global, no hay una definición consistente del campo de calibre. Una anomalía global es una barrera para definir una teoría de calibre cuántica descubierta por Witten en 1980.

Lo que se ha descrito son restricciones irreducibles de primera clase. Otra complicación es que Δf podría no ser invertible por la derecha en subespacios de la subvariedad restringida de codimensión 1 o mayor (lo que viola la suposición más fuerte establecida anteriormente en este artículo). Esto sucede, por ejemplo, en la formulación de cotétrada de la relatividad general , en el subespacio de configuraciones donde el campo de cotétrada y la forma de conexión resultan ser cero sobre algún subconjunto abierto del espacio. Aquí, las restricciones son las restricciones de difeomorfismo.

Una forma de evitar esto es la siguiente: para restricciones reducibles, relajamos la condición sobre la invertibilidad derecha de Δ f en esta: cualquier función suave que se desvanece en los ceros de f es la contracción de f a lo largo de las fibras con una sección suave (no única) de un fibrado vectorial donde es el espacio vectorial dual al espacio vectorial de restricción V. Esto se llama condición de regularidad . ${\displaystyle {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$

Dinámica hamiltoniana restringida a partir de una teoría de calibre lagrangiana

En primer lugar, supondremos que la acción es la integral de un lagrangiano local que sólo depende hasta la primera derivada de los campos. El análisis de casos más generales, aunque posible, es más complicado. Al pasar al formalismo hamiltoniano, encontramos que hay restricciones. Recordemos que en el formalismo de la acción, hay configuraciones en la capa y fuera de la capa . Las restricciones que se cumplen fuera de la capa se denominan restricciones primarias, mientras que las que sólo se cumplen en la capa se denominan restricciones secundarias.

Ejemplos

Consideremos la dinámica de una partícula puntual de masa m sin grados de libertad internos que se mueve en una variedad de espacio-tiempo pseudo-riemanniana S con métrica g . Supongamos también que el parámetro τ que describe la trayectoria de la partícula es arbitrario (es decir, insistimos en la invariancia de reparametrización ). Entonces, su espacio simpléctico es el fibrado cotangente T*S con la forma simpléctica canónica ω .

Si coordinamos T * S por su posición x en la variedad base S y su posición dentro del espacio cotangente p , entonces tenemos una restricción

f = m ² − g ( x ) ⁻¹ ( p , p ) = 0.

El hamiltoniano H es, sorprendentemente, H = 0. A la luz de la observación de que el hamiltoniano solo se define hasta la clase de equivalencia de funciones suaves que coinciden en el subespacio restringido, podemos utilizar un nuevo hamiltoniano H '= f en su lugar. Entonces, tenemos el caso interesante en el que el hamiltoniano es lo mismo que una restricción. Consulte Restricción hamiltoniana para obtener más detalles.

Consideremos ahora el caso de una teoría de Yang-Mills para un álgebra de Lie simple real L (con una forma de Killing definida negativa η ) acoplada mínimamente a un campo escalar real σ , que se transforma como una representación ortogonal ρ con el espacio vectorial subyacente V bajo L en ( d − 1) + 1 espacio-tiempo de Minkowski . Para l en L , escribimos

ρ(l)[σ]

como

l[σ]

Para simplificar, sea A la forma de conexión de la teoría con valor L. Nótese que la A aquí difiere de la A utilizada por los físicos por un factor de i y g . Esto concuerda con la convención de los matemáticos.

La acción S viene dada por

${\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}$

donde g es la métrica de Minkowski, F es la forma de curvatura

${\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

(¡no i s ni g s!) donde el segundo término es una forma abreviada formal de pretender que el corchete de Lie es un conmutador, D es la derivada covariante

Dσ = dσ − A [σ]

y α es la forma ortogonal de ρ .

¿Cuál es la versión hamiltoniana de este modelo? Bueno, primero, tenemos que dividir A de manera no covariante en un componente temporal φ y una parte espacial A → . Luego, el espacio simpléctico resultante tiene las variables conjugadas σ , π _σ (que toman valores en el espacio vectorial subyacente de , la representación dual de ρ ), A → , π → _A , φ y π _φ . Para cada punto espacial, tenemos las restricciones π _φ = 0 y la restricción gaussiana ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0}$

donde dado que ρ es un entrelazador

${\displaystyle \rho :L\otimes V\rightarrow V}$,

ρ ' es el entrelazador dualizado

${\displaystyle \rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L}$

( L es autodual a través de η ). El hamiltoniano,

${\displaystyle H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).}$

Los dos últimos términos son una combinación lineal de las restricciones gaussianas y tenemos toda una familia de hamiltonianos (equivalentes a los de calibración) parametrizados por f . De hecho, dado que los tres últimos términos se anulan para los estados restringidos, podemos omitirlos.

Restricciones de segunda clase

En un sistema hamiltoniano restringido, una cantidad dinámica es de segunda clase si su corchete de Poisson con al menos una restricción no se anula. Una restricción que tiene un corchete de Poisson distinto de cero con al menos otra restricción, entonces, es una restricción de segunda clase .

Consulte los corchetes de Dirac para ver diversas ilustraciones.

Un ejemplo: una partícula confinada en una esfera

Antes de pasar a la teoría general, considere un ejemplo específico paso a paso para motivar el análisis general.

Comience con la acción que describe una partícula newtoniana de masa m restringida a una superficie esférica de radio R dentro de un campo gravitacional uniforme g . Cuando se trabaja en mecánica lagrangiana, hay varias formas de implementar una restricción: se puede cambiar a coordenadas generalizadas que resuelven manifiestamente la restricción, o se puede utilizar un multiplicador de Lagrange mientras se conservan las coordenadas redundantes así restringidas.

En este caso, la partícula está restringida a una esfera, por lo que la solución natural sería utilizar coordenadas angulares para describir la posición de la partícula en lugar de cartesianas y resolver (eliminar automáticamente) la restricción de esa manera (la primera opción). Por razones pedagógicas, en cambio, considere el problema en coordenadas cartesianas (redundantes), con un término multiplicador de Lagrange que refuerce la restricción.

La acción viene dada por

${\displaystyle S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]}$

donde el último término es el término multiplicador de Lagrange que impone la restricción.

Por supuesto, como se indica, podríamos haber utilizado coordenadas esféricas diferentes y no redundantes y escribirlo como

${\displaystyle S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]}$

En cambio, sin restricciones adicionales; pero estamos considerando la coordinación anterior para ilustrar las restricciones.

Los momentos conjugados están dados por

${\displaystyle p_{x}=m{\dot {x}}}$, , , . ${\displaystyle p_{y}=m{\dot {y}}}$ ${\displaystyle p_{z}=m{\dot {z}}}$ ${\displaystyle p_{\lambda }=0}$

Tenga en cuenta que no podemos determinar •la desde el momento.

El hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})}$.

No podemos eliminar •la En esta etapa todavía. Estamos aquí tratando •la como una abreviatura de una función del espacio simpléctico que aún tenemos que determinar y no como una variable independiente. Para coherencia de notación, defina u ₁ = •la De ahora en adelante. El hamiltoniano anterior con el término p _λ es el "hamiltoniano ingenuo". Nótese que, dado que, en el nivel, la restricción debe cumplirse, no se puede distinguir, en el nivel, entre el hamiltoniano ingenuo y el hamiltoniano anterior con el coeficiente indeterminado, •la = tu ₁ .

Tenemos la restricción principal

pλ = ₀ .

Por razones de coherencia, exigimos que el corchete de Poisson de todas las restricciones con el hamiltoniano se anule en el subespacio restringido. En otras palabras, las restricciones no deben evolucionar en el tiempo si van a ser idénticamente cero a lo largo de las ecuaciones de movimiento.

De esta condición de consistencia, obtenemos inmediatamente la restricción secundaria

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}}$

Esta restricción debe agregarse al hamiltoniano con un coeficiente indeterminado (no necesariamente constante) u _2, ampliando el hamiltoniano a

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.}$

De manera similar, a partir de esta restricción secundaria, encontramos la restricción terciaria

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}}$

Nuevamente, se debe agregar esta restricción al hamiltoniano, ya que, en el nivel de capas, nadie puede notar la diferencia. Por lo tanto, hasta ahora, el hamiltoniano se ve así:

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,}$

donde u ₁ , u ₂ y u ₃ todavía están completamente indeterminados.

Téngase en cuenta que, con frecuencia, todas las restricciones que se encuentran a partir de las condiciones de consistencia se denominan restricciones secundarias y no se distinguen las restricciones secundarias, terciarias, cuaternarias, etc.

Seguimos girando la manivela, exigiendo que esta nueva restricción tenga un soporte de Poisson que desaparece.

${\displaystyle 0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.}$

Podríamos desesperarnos y pensar que esto no tiene fin, pero debido a que ha aparecido uno de los nuevos multiplicadores de Lagrange, esto no es una nueva restricción, sino una condición que fija el multiplicador de Lagrange:

${\displaystyle u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).}$

Conectando esto a nuestro hamiltoniano obtenemos (después de un poco de álgebra)

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}$

Ahora que hay nuevos términos en el hamiltoniano, se debe volver atrás y verificar las condiciones de consistencia para las restricciones primarias y secundarias. La condición de consistencia de la restricción secundaria da

${\displaystyle {\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.}$

Nuevamente, esta no es una restricción nueva; solo determina que

${\displaystyle u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.}$

¡En este punto ya no hay más restricciones ni condiciones de consistencia que comprobar !

Poniéndolo todo junto,

${\displaystyle H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }}$.

Para hallar las ecuaciones de movimiento, se debe utilizar el hamiltoniano anterior y, siempre que se tenga cuidado de no utilizar nunca restricciones antes de tomar las derivadas en el corchete de Poisson, se obtienen las ecuaciones de movimiento correctas. Es decir, las ecuaciones de movimiento se dan por

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.}$

Antes de analizar el hamiltoniano, considere las tres restricciones,

${\displaystyle \varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.}$

Obsérvese la estructura de corchetes de Poisson no trivial de las restricciones. En particular,

${\displaystyle \{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.}$

El corchete de Poisson anterior no solo no desaparece fuera de la capa, lo que podría esperarse, sino que incluso dentro de la capa es distinto de cero . Por lo tanto, φ ₂ y φ ₃ son restricciones de segunda clase , mientras que φ ₁ es una restricción de primera clase. Nótese que estas restricciones satisfacen la condición de regularidad.

Aquí, tenemos un espacio simpléctico donde el corchete de Poisson no tiene "propiedades agradables" en el subespacio restringido. Sin embargo, Dirac notó que podemos convertir la variedad diferencial subyacente del espacio simpléctico en una variedad de Poisson utilizando su corchete modificado homónimo, llamado corchete de Dirac , de modo que este corchete de Dirac de cualquier función (suave) con cualquiera de las restricciones de segunda clase siempre se anule .

En efecto, estos corchetes (ilustrados para esta superficie esférica en el artículo sobre corchetes de Dirac ) proyectan el sistema de nuevo sobre la superficie de restricciones. Si uno quisiera cuantificar canónicamente este sistema, entonces necesitaría promover los corchetes de Dirac canónicos, ^[4] no los corchetes de Poisson canónicos a relaciones de conmutación.

El examen del hamiltoniano anterior muestra que suceden varias cosas interesantes. Una cosa que hay que tener en cuenta es que, en el nivel de capas cuando se satisfacen las restricciones, el hamiltoniano extendido es idéntico al hamiltoniano ingenuo, como se requiere. Además, hay que tener en cuenta que λ se eliminó del hamiltoniano extendido. Dado que φ ₁ es una restricción primaria de primera clase, debe interpretarse como un generador de una transformación de calibre. La libertad de calibre es la libertad de elegir λ , que ha dejado de tener efecto alguno sobre la dinámica de la partícula. Por lo tanto, que λ se haya eliminado del hamiltoniano, que u ₁ sea indeterminado y que φ ₁ = p _λ sea de primera clase, están todos estrechamente relacionados.

Obsérvese que sería más natural no empezar con un lagrangiano con un multiplicador de Lagrange, sino tomar r ² − R ² como restricción primaria y proceder a través del formalismo: el resultado sería la eliminación de la cantidad dinámica extraña λ . Sin embargo, el ejemplo es más edificante en su forma actual.

Ejemplo: Acción Proca

Otro ejemplo que utilizaremos es la acción Proca . Los campos son y la acción es ${\displaystyle A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$

dónde

${\displaystyle {\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}}$

y

${\displaystyle B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}}$.

${\displaystyle ({\vec {A}},-{\vec {E}})}$y son variables canónicas . Las restricciones de segunda clase son ${\displaystyle (\phi ,\pi )}$

${\displaystyle \pi \approx 0}$

y

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0}$.

El hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$.

Véase también

• Soporte de Dirac
• Restricción holonómica
• Análisis de flujos

Referencias

1. Ingemar Bengtsson. "Sistemas hamiltonianos restringidos" (PDF) . Universidad de Estocolmo . Consultado el 29 de mayo de 2018 . Partimos de un lagrangiano , derivamos los momentos canónicos, postulamos los corchetes de Poisson ingenuos y calculamos el hamiltoniano. Para simplificar, se supone que no existen restricciones de segunda clase o, si existen, que ya se han tratado y que los corchetes ingenuos se han reemplazado por corchetes de Dirac. Queda un conjunto de restricciones [...] ${\displaystyle L(q,{\dot {q}}),}$
2. Dirac, Paul AM (1950), "Dinámica hamiltoniana generalizada", Revista canadiense de matemáticas , 2 : 129-148, doi : 10.4153/CJM-1950-012-1 , ISSN  0008-414X, MR  0043724, S2CID  119748805
3. Dirac, Paul AM (1964), Conferencias sobre mecánica cuántica, Serie de monografías de la Belfer Graduate School of Science, vol. 2, Belfer Graduate School of Science, Nueva York, ISBN 9780486417134, Sr.  2220894. Reimpresión íntegra del original, Dover Publications, Nueva York, NY, 2001.
4. Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). "Cargas no locales para el modelo σ supersimétrico". Physics Letters B . 88 (3–4): 273. Bibcode :1979PhLB...88..273C. doi :10.1016/0370-2693(79)90465-9.

Lectura adicional

• Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). "Cuantización por corchete de Dirac de un sistema no lineal restringido: el rotador rígido". Revista Europea de Física . 4 (1): 5–9. Bibcode :1983EJPh....4....5F. doi :10.1088/0143-0807/4/1/003. S2CID  250845310.
• Homma, T.; Inamoto, T.; Miyazaki, T. (1990). "Ecuación de Schrödinger para la partícula no relativista restringida en una hipersuperficie en un espacio curvo". Physical Review D . 42 (6): 2049–2056. Bibcode :1990PhRvD..42.2049H. doi :10.1103/PhysRevD.42.2049. PMID  10013054.