Problema de los tres cuerpos

Problema de física relacionado con las leyes del movimiento y la gravedad.

Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos situados en los vértices de un triángulo escaleno y que tienen velocidades iniciales nulas. El centro de masas , de acuerdo con la ley de conservación del momento , permanece en su lugar.

En física , específicamente en mecánica clásica , el problema de los tres cuerpos consiste en tomar las posiciones y velocidades iniciales (o momentos ) de tres masas puntuales que orbitan entre sí en el espacio y calcular sus trayectorias subsiguientes utilizando las leyes de movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton . ^[1]

A diferencia del problema de los dos cuerpos , el problema de los tres cuerpos no tiene una solución general en forma cerrada , lo que significa que no hay una ecuación que siempre lo resuelva. ^[1] Cuando tres cuerpos orbitan entre sí, el sistema dinámico resultante es caótico para la mayoría de las condiciones iniciales . Debido a que no hay ecuaciones solucionables para la mayoría de los sistemas de tres cuerpos, la única forma de predecir los movimientos de los cuerpos es estimarlos utilizando métodos numéricos .

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de n cuerpos . Históricamente, el primer problema específico de tres cuerpos que recibió un estudio extenso fue el que involucraba a la Tierra , la Luna y el Sol . ^[2] En un sentido moderno extendido, un problema de tres cuerpos es cualquier problema en mecánica clásica o mecánica cuántica que modela el movimiento de tres partículas.

Descripción matemática

El enunciado matemático del problema de los tres cuerpos se puede dar en términos de las ecuaciones de movimiento newtonianas para posiciones vectoriales de tres cuerpos que interactúan gravitacionalmente con masas : ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle m_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$$donde es la constante gravitacional . Como describe el astrónomo Juhan Frank, "Estas tres ecuaciones diferenciales vectoriales de segundo orden son equivalentes a 18 ecuaciones diferenciales escalares de primer orden". ^{[3] [ se necesita una mejor fuente ]} Como señala June Barrow-Green con respecto a una presentación alternativa, si ${\displaystyle G}$

${\displaystyle P_{i}}$representar tres partículas con masas , distancias = y coordenadas (i,j = 1,2,3) en un sistema de coordenadas inerciales... el problema se describe mediante nueve ecuaciones diferenciales de segundo orden. ^{[4] : 8} ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle q_{ij}}$

El problema también puede plantearse de forma equivalente en el formalismo hamiltoniano , en cuyo caso se describe mediante un conjunto de 18 ecuaciones diferenciales de primer orden, una para cada componente de las posiciones y los momentos : ^{[ cita requerida ] [5]} ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$$

¿Dónde está el hamiltoniano ? ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$$

En este caso, es simplemente la energía total del sistema, la gravitacional más la cinética. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Problema restringido de tres cuerpos

El problema circular restringido de los tres cuerpos ^{[ aclaración necesaria ]} es una aproximación válida de las órbitas elípticas que se encuentran en el Sistema Solar , ^{[ cita necesaria ]} y esto puede visualizarse como una combinación de los potenciales debidos a la gravedad de los dos cuerpos primarios junto con el efecto centrífugo de su rotación ( los efectos de Coriolis son dinámicos y no se muestran). Los puntos de Lagrange pueden verse entonces como los cinco lugares donde el gradiente en la superficie resultante es cero, lo que indica que las fuerzas están en equilibrio allí. ^{[ cita necesaria ]}

En la formulación restringida del problema de los tres cuerpos , en la descripción de Barrow-Green, ^{[4] : 11–14}

dos... cuerpos giran alrededor de su centro de masas en órbitas circulares bajo la influencia de su mutua atracción gravitatoria, y... forman un sistema de dos cuerpos... [cuyo] movimiento es conocido. Un tercer cuerpo (conocido generalmente como planetoide), que se supone que no tiene masa con respecto a los otros dos, se mueve en el plano definido por los dos cuerpos giratorios y, aunque está bajo la influencia gravitatoria de ellos, no ejerce influencia propia. ^{[4] : 11}

Según Barrow-Green, "el problema consiste entonces en determinar el movimiento del tercer cuerpo". ^{[4] : 11}

Es decir, se supone que este movimiento de dos cuerpos consiste en órbitas circulares alrededor del centro de masas , y se supone que el planetoide se mueve en el plano definido por las órbitas circulares. ^{[ aclaración necesaria ]} (Es decir, es útil considerar el potencial efectivo . ^{[ aclaración necesaria ] [ ¿según quién? ]} ) Con respecto a un marco de referencia giratorio , los dos cuerpos que coorbitan son estacionarios, y el tercero puede ser estacionario también en los puntos de Lagrange , o moverse alrededor de ellos, por ejemplo en una órbita de herradura . ^{[ cita requerida ]}

El problema restringido de los tres cuerpos es más fácil de analizar teóricamente que el problema completo. También tiene interés práctico, ya que describe con precisión muchos problemas del mundo real, siendo el ejemplo más importante el sistema Tierra-Luna-Sol. Por estas razones, ha desempeñado un papel importante en el desarrollo histórico del problema de los tres cuerpos. ^[6]

Matemáticamente, el problema se plantea de la siguiente manera. ^{[ cita requerida ]} Sean las masas de los dos cuerpos masivos, con coordenadas (planares) y , y sean las coordenadas del planetoide. Para simplificar, elija unidades tales que la distancia entre los dos cuerpos masivos, así como la constante gravitacional, sean ambas iguales a . Entonces, el movimiento del planetoide viene dado por: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle m_{1,2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$$

donde . ^{[ cita requerida ]} En esta forma las ecuaciones de movimiento tienen una dependencia temporal explícita a través de las coordenadas ; ^{[ cita requerida ]} sin embargo, esta dependencia temporal se puede eliminar mediante una transformación a un marco de referencia giratorio, lo que simplifica cualquier análisis posterior. ^{[ investigación original? ] [7]} ${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$

Soluciones

Solución general

Mientras que un sistema de 3 cuerpos que interactúan gravitacionalmente es caótico , un sistema de 3 cuerpos que interactúan elásticamente no lo es. ^{[ aclaración necesaria ]}

No existe una solución general y cerrada para el problema de los tres cuerpos. ^[1] En otras palabras, no tiene una solución general que pueda expresarse en términos de un número finito de operaciones matemáticas estándar. Además, el movimiento de tres cuerpos generalmente no se repite, excepto en casos especiales. ^[8]

Sin embargo, en 1912 el matemático finlandés Karl Fritiof Sundman demostró que existe una solución analítica al problema de los tres cuerpos en forma de una serie de Puiseux , específicamente una serie de potencias en términos de potencias de t ^1/3 . ^[9] Esta serie converge para todos los t reales , excepto para las condiciones iniciales correspondientes a momento angular cero . En la práctica, la última restricción es insignificante ya que las condiciones iniciales con momento angular cero son raras, teniendo la medida de Lebesgue cero.

Una cuestión importante para demostrar este resultado es el hecho de que el radio de convergencia de esta serie está determinado por la distancia a la singularidad más cercana. Por lo tanto, es necesario estudiar las posibles singularidades de los problemas de tres cuerpos. Como se analiza brevemente a continuación, las únicas singularidades en el problema de tres cuerpos son las colisiones binarias (colisiones entre dos partículas en un instante) y las colisiones triples (colisiones entre tres partículas en un instante).

Las colisiones de cualquier número son algo improbables, ya que se ha demostrado que corresponden a un conjunto de condiciones iniciales de medida cero. Pero no se conoce ningún criterio que se pueda aplicar al estado inicial para evitar colisiones en la solución correspondiente. Por lo tanto, la estrategia de Sundman consistió en los siguientes pasos:

1. Utilizando un cambio apropiado de variables para continuar analizando la solución más allá de la colisión binaria, en un proceso conocido como regularización .
2. Demostró que las colisiones triples solo ocurren cuando el momento angular L desaparece. Al restringir los datos iniciales a L ≠ 0 , eliminó todas las singularidades reales de las ecuaciones transformadas para el problema de los tres cuerpos.
3. Demostrando que si L ≠ 0 , entonces no solo no puede haber una triple colisión, sino que el sistema está estrictamente acotado para evitar una triple colisión. Esto implica, por el teorema de existencia de Cauchy para ecuaciones diferenciales, que no hay singularidades complejas en una franja (dependiendo del valor de L ) en el plano complejo centrado alrededor del eje real (relacionado con el teorema de Cauchy–Kovalevskaya ).
4. Encuentre una transformación conforme que mapee esta tira en el disco unitario. Por ejemplo, si s = t ^1/3 (la nueva variable después de la regularización) y si | ln s | ≤ β , ^{[ aclaración necesaria ]} entonces este mapeo está dado por $${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$$

Con esto finaliza la prueba del teorema de Sundman.

La serie correspondiente converge de forma extremadamente lenta. Es decir, para obtener un valor de precisión significativa se necesitan tantos términos que esta solución tiene poca utilidad práctica. De hecho, en 1930, David Beloriszky calculó que si se utilizara la serie de Sundman para observaciones astronómicas, los cálculos implicarían al menos 10^{8 000 000} de términos. ^[10]

Soluciones para casos especiales

En 1767, Leonhard Euler encontró tres familias de soluciones periódicas en las que las tres masas son colineales en cada instante.

En 1772, Lagrange encontró una familia de soluciones en las que las tres masas forman un triángulo equilátero en cada instante. Junto con las soluciones colineales de Euler, estas soluciones forman las configuraciones centrales para el problema de los tres cuerpos. Estas soluciones son válidas para cualquier razón de masas, y las masas se mueven en elipses keplerianas . Estas cuatro familias son las únicas soluciones conocidas para las que existen fórmulas analíticas explícitas. En el caso especial del problema circular restringido de los tres cuerpos , estas soluciones, vistas en un marco que gira con las primarias, se convierten en puntos llamados puntos lagrangianos y etiquetados como L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ y L ₅ , siendo L ₄ y L ₅ instancias simétricas de la solución de Lagrange.

En un trabajo resumido en 1892-1899, Henri Poincaré estableció la existencia de un número infinito de soluciones periódicas al problema restringido de los tres cuerpos, junto con técnicas para continuar estas soluciones en el problema general de los tres cuerpos.

En 1893, Meissel planteó lo que ahora se denomina el problema pitagórico de los tres cuerpos: tres masas en la proporción 3:4:5 se colocan en reposo en los vértices de un triángulo rectángulo 3:4:5 , con el cuerpo más pesado en el ángulo recto y el más ligero en el ángulo agudo más pequeño. Burrau ^[11] investigó más a fondo este problema en 1913. En 1967, Victor Szebehely y C. Frederick Peters establecieron el escape eventual del cuerpo más ligero para este problema utilizando la integración numérica, al mismo tiempo que encontraron una solución periódica cercana. ^[12]

Una animación de la solución en forma de 8 del problema de los tres cuerpos durante un único período T ≃ 6,3259 ^[13]

20 ejemplos de soluciones periódicas al problema de los tres cuerpos

En la década de 1970, Michel Hénon y Roger A. Broucke encontraron cada uno un conjunto de soluciones que forman parte de la misma familia de soluciones: la familia Broucke-Hénon-Hadjidemetriou. En esta familia, los tres objetos tienen la misma masa y pueden presentar formas tanto retrógradas como directas. En algunas de las soluciones de Broucke, dos de los cuerpos siguen la misma trayectoria. ^[14]

En 1993, el físico Cris Moore del Instituto Santa Fe encontró una solución de momento angular cero con tres masas iguales moviéndose alrededor de una figura en forma de ocho. ^[15] En 2000, los matemáticos Alain Chenciner y Richard Montgomery demostraron su existencia formal. ^{[16] [17]} Se ha demostrado numéricamente que la solución es estable para pequeñas perturbaciones de la masa y los parámetros orbitales, lo que hace posible que se observen tales órbitas en el universo físico. Pero se ha argumentado que esto es poco probable ya que el dominio de estabilidad es pequeño. Por ejemplo, se ha estimado que la probabilidad de un evento de dispersión binario-binario ^{[ aclaración necesaria ]} que resulte en una órbita en forma de ocho es una pequeña fracción de un porcentaje. ^[18]

En 2013, los físicos Milovan Šuvakov y Veljko Dmitrašinović del Instituto de Física de Belgrado descubrieron 13 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero. ^{[8] [14]}

En 2015, la física Ana Hudomal descubrió 14 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa y momento angular cero. ^[19]

En 2017, los investigadores Xiaoming Li y Shijun Liao descubrieron 669 nuevas órbitas periódicas del problema de tres cuerpos de masas iguales y momento angular cero. ^[20] A esto le siguieron en 2018 1223 nuevas soluciones adicionales para un sistema de momento angular cero de masas desiguales. ^[21]

En 2018, Li y Liao informaron 234 soluciones al problema de tres cuerpos en “caída libre” con masas desiguales. ^[22] La formulación de caída libre comienza con los tres cuerpos en reposo. Debido a esto, las masas en una configuración de caída libre no orbitan en un “bucle” cerrado, sino que viajan hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una “pista” abierta.

En 2023, Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović y Kiyotaka Tanikawa publicaron una búsqueda del problema de tres cuerpos de "órbitas de caída libre periódicas", limitado al caso de igual masa, y encontraron 12.409 soluciones distintas. ^[23]

Enfoques numéricos

Utilizando una computadora, el problema puede resolverse con una precisión arbitrariamente alta mediante integración numérica, aunque la alta precisión requiere una gran cantidad de tiempo de CPU . Ha habido intentos de crear programas de computadora que resuelvan numéricamente el problema de los tres cuerpos (y por extensión, el problema de los n cuerpos ) que involucran interacciones tanto electromagnéticas como gravitacionales, e incorporan teorías modernas de física como la relatividad especial . ^[24] Además, utilizando la teoría de los paseos aleatorios , se puede calcular una probabilidad aproximada de diferentes resultados. ^{[25] [26]}

Historia

El problema gravitacional de tres cuerpos en su sentido tradicional data en esencia de 1687, cuando Isaac Newton publicó su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , en el que Newton intentó averiguar si es posible alguna estabilidad a largo plazo especialmente para un sistema como el de nuestra Tierra , la Luna y el Sol. Guiado por los principales astrónomos del Renacimiento Nicolás Copérnico , Tycho Brahe y Johannes Kepler, presentó a las generaciones posteriores el comienzo del problema gravitacional de los tres cuerpos. ^[27] En la Proposición 66 del Libro 1 de los Principia , y sus 22 Corolarios, Newton dio los primeros pasos en la definición y estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos masivos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuamente perturbadoras. En las Proposiciones 25 a 35 del Libro 3, Newton también dio los primeros pasos en la aplicación de sus resultados de la Proposición 66 a la teoría lunar , el movimiento de la Luna bajo la influencia gravitatoria de la Tierra y el Sol. ^[28] Más tarde, este problema también se aplicó a las interacciones de otros planetas con la Tierra y el Sol. ^[27]

El problema físico fue abordado por primera vez por Amerigo Vespucci y posteriormente por Galileo Galilei , así como por Simon Stevin , pero no se dieron cuenta de lo que aportaron. Aunque Galileo determinó que la velocidad de caída de todos los cuerpos cambia uniformemente y de la misma manera, no lo aplicó a los movimientos planetarios. ^[27] Mientras que en 1499, Vespucci utilizó el conocimiento de la posición de la Luna para determinar su posición en Brasil. ^[29] Se volvió de importancia técnica en la década de 1720, ya que una solución precisa sería aplicable a la navegación, específicamente para la determinación de la longitud en el mar , resuelta en la práctica por la invención del cronómetro marino de John Harrison . Sin embargo, la precisión de la teoría lunar era baja, debido al efecto perturbador del Sol y los planetas en el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert y Alexis Clairaut , quienes desarrollaron una rivalidad de larga data, ambos intentaron analizar el problema con cierto grado de generalidad; presentaron sus primeros análisis en competencia a la Académie Royale des Sciences en 1747. ^[30] Fue en relación con su investigación, en París durante la década de 1740, que el nombre "problema de los tres cuerpos" ( en francés : Problème des trois Corps ) comenzó a usarse comúnmente. Un relato publicado en 1761 por Jean le Rond d'Alembert indica que el nombre se usó por primera vez en 1747. ^[31]

Desde finales del siglo XIX hasta principios del siglo XX, los científicos desarrollaron el enfoque para resolver el problema de los tres cuerpos con el uso de fuerzas atractivas de dos cuerpos de corto alcance, lo que ofreció a PF Bedaque, H.-W. Hammer y U. van Kolck una idea para renormalizar el problema de los tres cuerpos de corto alcance, proporcionando a los científicos un raro ejemplo de un ciclo límite del grupo de renormalización a principios del siglo XXI. ^[32] George William Hill trabajó en el problema restringido a finales del siglo XIX con una aplicación del movimiento de Venus y Mercurio . ^[33]

A principios del siglo XX, Karl Sundman abordó el problema de forma matemática y sistemática, proporcionando una prueba teórica funcional válida para todos los valores del tiempo. Fue la primera vez que los científicos resolvieron teóricamente el problema de los tres cuerpos. Sin embargo, debido a que no existía una solución lo suficientemente cualitativa de este sistema y era demasiado lento para que los científicos lo aplicaran en la práctica, esta solución aún dejaba algunas cuestiones sin resolver. ^{[34] En la década de 1970,} V. Efimov descubrió la implicación de fuerzas de dos cuerpos en tres cuerpos , lo que se denominó efecto Efimov . ^[35]

En 2017, Shijun Liao y Xiaoming Li aplicaron una nueva estrategia de simulación numérica para sistemas caóticos llamada simulación numérica limpia (CNS), con el uso de una supercomputadora nacional, para obtener con éxito 695 familias de soluciones periódicas del sistema de tres cuerpos con igual masa. ^[36]

En 2019, Breen et al. anunciaron un solucionador de redes neuronales rápido para el problema de los tres cuerpos, entrenado utilizando un integrador numérico. ^[37]

En septiembre de 2023, según los informes, se han encontrado varias posibles soluciones al problema. ^{[38] [39]}

Otros problemas que involucran tres cuerpos

El término "problema de los tres cuerpos" se utiliza a veces en el sentido más general para referirse a cualquier problema físico que implique la interacción de tres cuerpos.

Un análogo mecánico cuántico del problema gravitacional de los tres cuerpos en la mecánica clásica es el átomo de helio , en el que un núcleo de helio y dos electrones interactúan de acuerdo con la interacción de Coulomb del cuadrado inverso . Al igual que el problema gravitacional de los tres cuerpos, el átomo de helio no se puede resolver con exactitud. ^[40]

Sin embargo, tanto en la mecánica clásica como en la cuántica existen leyes de interacción no triviales además de la fuerza del inverso del cuadrado que sí conducen a soluciones analíticas exactas de tres cuerpos. Uno de estos modelos consiste en una combinación de atracción armónica y una fuerza repulsiva del inverso del cubo. ^[41] Este modelo se considera no trivial ya que está asociado con un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que contienen singularidades (en comparación con, por ejemplo, las interacciones armónicas solas, que conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de fácil solución). En estos dos aspectos es análogo a los modelos (insolubles) que tienen interacciones de Coulomb y, como resultado, se ha sugerido como una herramienta para comprender intuitivamente sistemas físicos como el átomo de helio. ^{[41] [42]}

Dentro del modelo de vórtice puntual , el movimiento de los vórtices en un fluido ideal bidimensional se describe mediante ecuaciones de movimiento que contienen solo derivadas temporales de primer orden. Es decir, en contraste con la mecánica newtoniana, es la velocidad y no la aceleración la que está determinada por sus posiciones relativas. Como consecuencia, el problema de los tres vórtices sigue siendo integrable , ^[43] mientras que se requieren al menos cuatro vórtices para obtener un comportamiento caótico. ^[44] Se pueden establecer paralelismos entre el movimiento de una partícula trazadora pasiva en el campo de velocidad de tres vórtices y el problema restringido de los tres cuerpos de la mecánica newtoniana. ^[45]

El problema gravitacional de los tres cuerpos también se ha estudiado utilizando la relatividad general . Físicamente, un tratamiento relativista se hace necesario en sistemas con campos gravitacionales muy fuertes, como cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro . Sin embargo, el problema relativista es considerablemente más difícil que en la mecánica newtoniana, y se requieren técnicas numéricas sofisticadas . Incluso el problema completo de los dos cuerpos (es decir, para una relación arbitraria de masas) no tiene una solución analítica rigurosa en la relatividad general. ^[46]

norte-problema corporal

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos , que describe cómo se mueven n objetos bajo una de las fuerzas físicas, como la gravedad . Estos problemas tienen una solución analítica global en forma de una serie de potencias convergentes, como lo demostraron Karl F. Sundman para n = 3 y Qiudong Wang para n > 3 (ver problema de los n cuerpos para más detalles). Sin embargo, las series de Sundman y Wang convergen tan lentamente que son inútiles para fines prácticos; ^[47] por lo tanto, actualmente es necesario aproximar soluciones mediante análisis numérico en forma de integración numérica o, para algunos casos, aproximaciones de series trigonométricas clásicas (ver simulación de n cuerpos ). Los sistemas atómicos, por ejemplo, átomos, iones y moléculas, se pueden tratar en términos del problema cuántico de los n cuerpos. Entre los sistemas físicos clásicos, el problema de los n cuerpos generalmente se refiere a una galaxia o a un cúmulo de galaxias ; Los sistemas planetarios , como las estrellas , los planetas y sus satélites , también pueden tratarse como sistemas de n cuerpos. Algunas aplicaciones se tratan convenientemente mediante la teoría de perturbaciones , en la que el sistema se considera como un problema de dos cuerpos más fuerzas adicionales que causan desviaciones de una trayectoria hipotética no perturbada de dos cuerpos.

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Sistemas de pocos cuerpos
• Formación y evolución de las galaxias
• Asistencia de gravedad
• Punto de Lagrange
• Transferencia de baja energía
• Michael Minovitch
• Simulación de n -cuerpos
• Integrador simpléctico
• Problema de Sitnikov
• Problema de dos cuerpos
• Marco de referencia sinódico
• Sistema estelar triple
• El problema de los tres cuerpos (novela)
• 3 Body Problem (serie de televisión)

Referencias

1. Barrow-Green, junio (2008). "El problema de los tres cuerpos". En Gowers, Timothy; Barrow-Green, junio; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. págs. 726–728.
2. "Notas históricas: Problema de los tres cuerpos" . Consultado el 19 de julio de 2017 .
3. Este informe explícito sobre la presentación vectorial parece extraído, a través de la generalización, de la expresión presentada por el astrónomo educado en Cambridge Juhan Frank de LSU , como se presentó en sus notas de clase para Física 7221 en 2006, ver Frank, Juhan (11 de octubre de 2006). "PHYS 7221 Special Lecture—The Three-Body Problem" (folleto de clase) . Baton Rouge, LA: Publicado por mí mismo y el Departamento de Física y Astronomía de LSU . [Citando] Al igual que en el problema de los dos cuerpos, es más conveniente trabajar en el sistema del centro de masas (CM) con denotando la posición de la masa . Las ecuaciones de movimiento newtonianas en este sistema son de la forma = ... ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {i} }}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {m_{i}} }$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {i} }}$. ^{[ Se necesita una mejor fuente ]}
4. Para una discusión más general de la presentación de estas ecuaciones en formatos no vectoriales no relacionados explícitamente con la presentación en texto, véase el prestigioso Barrow-Green, June (1997). Poincaré and the Three Body Problem . American Mathematical Society. pp. 8–12. Bibcode :1997ptbp.book.....B. ISBN 978-0-8218-0367-7.
5. Para una presentación relacionada del hamiltoniano, que elige unidades y presentación para simplificar las matemáticas, véase Barrow-Green, p. 8, op. cit.
6. Montgomery, Richard (agosto de 2019). «El problema de los tres cuerpos». Scientific American . Consultado el 7 de mayo de 2024 .
7. Nótese que la siguiente fuente no afirma que "la dependencia del tiempo se pueda eliminar mediante una transformación a un marco de referencia rotatorio". Para una presentación relacionada pero distinta del problema restringido de los tres cuerpos, que presenta la integral de Jacobi para la "energía en el marco co-rotante (no inercial) de los primarios", véase Krishnaswami, Govind S.; Senapati, Himalaya (2019). "Una introducción al problema clásico de los tres cuerpos: de soluciones periódicas a inestabilidades y caos". Resonancia . 24 . Springer: 87–114, esp. p. 94f. arXiv : 1901.07289 . doi :10.1007/s12045-019-0760-1. ${\displaystyle m_{3}}$
8. Cartwright, Jon (8 de marzo de 2013). "Los físicos descubren la friolera de 13 nuevas soluciones al problema de los tres cuerpos". Science Now . Consultado el 4 de abril de 2013 .
9. Barrow-Green, J. (2010). El dramático episodio de Sundman, Historia Mathematica 37, pp. 164–203.
10. Beloriszky, D. (1930). "Aplicación práctica de los métodos de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Boletín Astronómico . Serie 2. 6 : 417–434. Código bibliográfico : 1930BuAst...6..417B.
11. Burrau (1913). "Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems". Astronomische Nachrichten . 195 (6): 113-118. Código Bib : 1913AN....195..113B. doi :10.1002/asna.19131950602.
12. Victor Szebehely; C. Frederick Peters (1967). "Solución completa de un problema general de tres cuerpos". Astronomical Journal . 72 : 876. Bibcode :1967AJ.....72..876S. doi : 10.1086/110355 .
13. Aquí la constante gravitacional G se ha establecido en 1, y las condiciones iniciales son r ₁ (0) = - r ₃ (0) = (-0,97000436, 0,24308753); r ₂ (0) = (0,0); v ₁ (0) = v ₃ (0) = (0,4662036850, 0,4323657300); v ₂ (0) = (-0,93240737, -0,86473146). Los valores se obtuvieron de Chenciner y Montgomery (2000).
14. Šuvakov, M.; Dmitrašinović, V. "Galería de tres cuerpos" . Consultado el 12 de agosto de 2015 .
15. Moore, Cristopher (1993). "Trenzas en dinámica clásica" (PDF) . Physical Review Letters . 70 (24): 3675–3679. Bibcode :1993PhRvL..70.3675M. doi :10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID  10053934. Archivado desde el original (PDF) el 2018-10-08 . Consultado el 2016-01-01 .
16. Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (2000). "Una notable solución periódica del problema de los tres cuerpos en el caso de masas iguales". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 152 (3): 881–902. arXiv : math/0011268 . Bibcode :2000math.....11268C. doi :10.2307/2661357. JSTOR  2661357. S2CID  10024592.
17. Montgomery, Richard (2001). "Una nueva solución al problema de los tres cuerpos" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 48 : 471–481.
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    Clairaut: "Sobre el sistema del mundo, según los principios de la gravitación universal" (págs. 329-364); y

    d'Alembert: "Método general para determinar las órbitas y los movimientos de todos los planetas, teniendo en cuenta sus acciones mutuas" (en las págs. 365-390). La datación peculiar se explica por una nota impresa en la página 390 de la sección "Memorias": "Aunque las memorias precedentes, de los señores Clairaut y d'Alembert, sólo se leyeron durante el curso de 1747, se juzgó apropiado publicarlas en el volumen de este año" (es decir, el volumen dedicado a las actas de 1745, pero publicado en 1749).

31. Jean le Rond d'Alembert , en un artículo de 1761 que revisa la historia matemática del problema, menciona que Euler había dado un método para integrar una determinada ecuación diferencial "en 1740 (siete años antes de que se planteara el problema de los tres cuerpos). )": véase d'Alembert, "Opuscules Mathématiques", vol. 2, París 1761, Quatorzième Mémoire ("Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...") págs. 329-312, en sec. VI, pág. 245.
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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Chenciner, Alain (2007). "El problema de los tres cuerpos". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode :2007SchpJ...2.2111C. doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Los físicos descubren nada menos que 13 nuevas soluciones al problema de los tres cuerpos ( Ciencia )
• Simulador de 3 cuerpos Archivado el 17 de noviembre de 2022 en Wayback Machine : un ejemplo de un programa informático que resuelve numéricamente el problema de los tres cuerpos