Polémica sobre la teoría de Cantor

Sobre el infinito matemático

En lógica matemática , la teoría de conjuntos infinitos fue desarrollada por primera vez por Georg Cantor . Aunque este trabajo se ha convertido en un elemento básico de la teoría clásica de conjuntos , ha sido criticado en varias áreas por matemáticos y filósofos.

El teorema de Cantor implica que existen conjuntos que tienen una cardinalidad mayor que la cardinalidad infinita del conjunto de los números naturales . El argumento de Cantor para este teorema se presenta con un pequeño cambio. Este argumento se puede mejorar utilizando una definición que dio más adelante. El argumento resultante utiliza solo cinco axiomas de la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos de Cantor fue controvertida al principio, pero luego fue ampliamente aceptada. La mayoría de los libros de texto de matemáticas modernos utilizan implícitamente las ideas de Cantor sobre el infinito matemático . Por ejemplo, una línea se presenta generalmente como el conjunto infinito de sus puntos, y se enseña comúnmente que hay más números reales que racionales (véase cardinalidad del continuo ).

El argumento del cantor

La primera prueba de Cantor de que los conjuntos infinitos pueden tener cardinalidades diferentes se publicó en 1874. Esta prueba demuestra que el conjunto de números naturales y el conjunto de números reales tienen cardinalidades diferentes. Utiliza el teorema de que una secuencia creciente acotada de números reales tiene un límite , que se puede demostrar utilizando la construcción de los números irracionales de Cantor o de Richard Dedekind . Debido a que Leopold Kronecker no aceptaba estas construcciones, Cantor se sintió motivado a desarrollar una nueva prueba. ^[1]

En 1891, publicó "una prueba mucho más simple... que no depende de considerar los números irracionales". ^[2] Su nueva prueba usa su argumento diagonal para demostrar que existe un conjunto infinito con un número mayor de elementos (o mayor cardinalidad) que el conjunto de números naturales N  = {1, 2, 3, ...}. Este conjunto más grande consiste en los elementos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...), donde cada x _n es m o w . ^[3] Cada uno de estos elementos corresponde a un subconjunto de N —es decir, el elemento ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...) corresponde a { n  ∈  N :   x _n  =  w }. Entonces el argumento de Cantor implica que el conjunto de todos los subconjuntos de N tiene mayor cardinalidad que N . El conjunto de todos los subconjuntos de N se denota por P ( N ), el conjunto potencia de N .

Cantor generalizó su argumento a un conjunto arbitrario A y al conjunto que consiste en todas las funciones desde A hasta {0, 1}. ^[4] Cada una de estas funciones corresponde a un subconjunto de A , por lo que su argumento generalizado implica el teorema: El conjunto potencia P ( A ) tiene mayor cardinalidad que A . Esto se conoce como el teorema de Cantor .

El argumento que sigue es una versión moderna del argumento de Cantor que utiliza conjuntos de potencias (para su argumento original, véase el argumento diagonal de Cantor ). Al presentar un argumento moderno, es posible ver qué supuestos de la teoría axiomática de conjuntos se utilizan. La primera parte del argumento demuestra que N y P ( N ) tienen cardinalidades diferentes:

• Existe al menos un conjunto infinito. Esta suposición (no especificada formalmente por Cantor) se refleja en la teoría formal de conjuntos mediante el axioma de infinito . Este axioma implica que N , el conjunto de todos los números naturales, existe.
• P ( N ), el conjunto de todos los subconjuntos de N , existe. En la teoría formal de conjuntos, esto está implícito en el axioma del conjunto potencia , que dice que para cada conjunto existe un conjunto de todos sus subconjuntos.
• El concepto de "tener el mismo número" o "tener la misma cardinalidad" puede ser capturado por la idea de correspondencia uno a uno . Esta suposición (puramente definitoria) a veces se conoce como el principio de Hume . Como dijo Frege , "Si un camarero desea estar seguro de poner exactamente tantos cuchillos en una mesa como platos, no tiene necesidad de contar ninguno de ellos; todo lo que tiene que hacer es poner inmediatamente a la derecha de cada plato un cuchillo, teniendo cuidado de que cada cuchillo en la mesa se encuentre inmediatamente a la derecha de un plato. Los platos y los cuchillos están así correlacionados uno a uno". ^[5] Los conjuntos en tal correlación se llaman equinumerosos , y la correlación se llama correspondencia uno a uno.
• Un conjunto no puede ponerse en correspondencia biunívoca con su conjunto potencia. Esto implica que N y P ( N ) tienen cardinalidades diferentes. Depende de muy pocos supuestos de la teoría de conjuntos y, como dice John P. Mayberry , es un "argumento simple y hermoso" que está "preñado de consecuencias". ^[6] He aquí el argumento:

  Sea un conjunto y sea su conjunto potencia. Se demostrará el siguiente teorema: Si es una función de a entonces no es sobreyectiva . Este teorema implica que no hay correspondencia biunívoca entre y puesto que dicha correspondencia debe ser sobreyectiva. Demostración del teorema: Defina el subconjunto diagonal Puesto que demostrar que para todo implicará que no es sobreyectiva. Sea Entonces que implica Así que si entonces y si entonces Puesto que uno de estos conjuntos contiene y el otro no, Por lo tanto, no es en la imagen de , entonces no es sobreyectiva. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle D=\{x\in A:x\notin f(x)\}.}$ ${\displaystyle D\in P(A),}$ ${\displaystyle x\in A,\,D\neq f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle x\in D\Leftrightarrow x\notin f(x),}$ ${\displaystyle x\notin D\Leftrightarrow x\in f(x).}$ ${\displaystyle x\in D,}$ ${\displaystyle x\notin f(x);}$ ${\displaystyle x\notin D,}$ ${\displaystyle x\in f(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\neq f(x).}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

A continuación, Cantor demuestra que es equinumeroso con un subconjunto de . A partir de esto y del hecho de que y tienen diferentes cardinalidades, concluye que tiene mayor cardinalidad que . Esta conclusión utiliza su definición de 1878: Si A y B tienen diferentes cardinalidades, entonces B es equinumeroso con un subconjunto de A (en este caso, B tiene menor cardinalidad que A ) o A es equinumeroso con un subconjunto de B (en este caso, B tiene mayor cardinalidad que A ). ^[7] Esta definición deja fuera el caso en el que A y B son equinumerosos con un subconjunto del otro conjunto, es decir, A es equinumeroso con un subconjunto de B y B es equinumeroso con un subconjunto de A . Debido a que Cantor asumió implícitamente que las cardinalidades están ordenadas linealmente , este caso no puede ocurrir. ^[8] Después de utilizar su definición de 1878, Cantor afirmó que en un artículo de 1883 demostró que las cardinalidades están bien ordenadas , lo que implica que están ordenadas linealmente. ^[9] Esta prueba utilizó su principio de buen ordenamiento "todo conjunto puede estar bien ordenado", al que llamó "ley del pensamiento". ^[10] El principio de buen ordenamiento es equivalente al axioma de elección . ^[11] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

Alrededor de 1895, Cantor comenzó a considerar el principio de buen orden como un teorema e intentó demostrarlo. ^[12] En 1895, Cantor también dio una nueva definición de "mayor que" que define correctamente este concepto sin la ayuda de su principio de buen orden. ^[13] Al utilizar la nueva definición de Cantor, el argumento moderno de que P ( N ) tiene mayor cardinalidad que N se puede completar utilizando suposiciones más débiles que su argumento original:

• El concepto de "tener mayor cardinalidad" puede ser capturado por la definición de Cantor de 1895: B tiene mayor cardinalidad que A si (1) A es equinumeroso con un subconjunto de B , y (2) B no es equinumeroso con un subconjunto de A . ^[13] La cláusula (1) dice que B es al menos tan grande como A , lo cual es consistente con nuestra definición de "tener la misma cardinalidad". La cláusula (2) implica que el caso donde A y B son equinumerosos con un subconjunto del otro conjunto es falso. Dado que la cláusula (2) dice que A no es al menos tan grande como B , las dos cláusulas juntas dicen que B es más grande (tiene mayor cardinalidad) que A .
• El conjunto potencia tiene mayor cardinalidad que lo que implica que P ( N ) tiene mayor cardinalidad que N . Aquí está la prueba: ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A,}$
  1. Definir el subconjunto Definir cuál se asigna a Dado que implica es una correspondencia biunívoca de a Por lo tanto, es equinumeroso con un subconjunto de ${\displaystyle P_{1}=\{\,y\in P(A):\exists x\in A\,(y=\{x\})\,\}.}$ ${\displaystyle f(x)=\{x\},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}.}$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2},\,f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A).}$
  2. Usando la prueba por contradicción , suponga que un subconjunto de es equinumeroso con . Entonces hay una correspondencia biunívoca de a Defina de a si entonces si entonces Dado que las funciones sobre se asignan a contradicen el teorema anterior que establece que una función de a no es sobreyectiva. Por lo tanto, no es equinumeroso con un subconjunto de ${\displaystyle A_{1},}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle P(A).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle P(A).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A){\text{:}}}$ ${\displaystyle x\in A_{1},}$ ${\displaystyle h(x)=g(x);}$ ${\displaystyle x\in A\setminus A_{1},}$ ${\displaystyle h(x)=\{\,\}.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle P(A),\,h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A.}$

Además de los axiomas de infinito y de conjunto potencia, en la argumentación moderna se utilizaron los axiomas de separación , extensionalidad y emparejamiento . Por ejemplo, el axioma de separación se utilizó para definir el subconjunto diagonal, el axioma de extensionalidad se utilizó para demostrar y el axioma de emparejamiento se utilizó en la definición del subconjunto. ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle D\neq f(x),}$ ${\displaystyle P_{1}.}$

Recepción del argumento

Inicialmente, la teoría de Cantor fue controvertida entre los matemáticos y (más tarde) los filósofos. Como afirmó Leopold Kronecker : "No sé qué predomina en la teoría de Cantor, la filosofía o la teología, pero estoy seguro de que no hay matemáticas allí". ^{[ cita requerida ]} Muchos matemáticos estuvieron de acuerdo con Kronecker en que el infinito completo puede ser parte de la filosofía o la teología , pero que no tiene un lugar apropiado en las matemáticas. El lógico Wilfrid Hodges  (1998) ha comentado sobre la energía dedicada a refutar este "pequeño argumento inofensivo" (es decir, el argumento diagonal de Cantor ) preguntando, "¿qué le había hecho a alguien para que se enojara con él?" ^[14] El matemático Solomon Feferman se ha referido a las teorías de Cantor como "simplemente no relevantes para las matemáticas cotidianas". ^[15]

Antes de Cantor, la noción de infinito se tomaba a menudo como una abstracción útil que ayudaba a los matemáticos a razonar sobre el mundo finito; por ejemplo, el uso de casos límite infinitos en cálculo . Se consideraba que el infinito tenía como máximo una existencia potencial, en lugar de una existencia real. ^[16] "El infinito real no existe. Lo que llamamos infinito es solo la posibilidad infinita de crear nuevos objetos sin importar cuántos existan ya". ^{[17] Las opiniones de} Carl Friedrich Gauss sobre el tema pueden parafrasearse como: "El infinito no es más que una figura retórica que nos ayuda a hablar de límites. La noción de un infinito completo no pertenece a las matemáticas". ^[18] En otras palabras, el único acceso que tenemos al infinito es a través de la noción de límites y, por lo tanto, no debemos tratar los conjuntos infinitos como si tuvieran una existencia exactamente comparable a la existencia de los conjuntos finitos.

Las ideas de Cantor fueron finalmente aceptadas en gran medida, fuertemente apoyadas por David Hilbert , entre otros. Hilbert predijo: "Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros". ^[19] A lo que Wittgenstein respondió: "Si una persona puede verlo como un paraíso de matemáticos, ¿por qué otra no debería verlo como una broma?". ^[20] El rechazo de las ideas infinitarias de Cantor influyó en el desarrollo de escuelas de matemáticas como el constructivismo y el intuicionismo . ^{[ cita requerida ]}

Wittgenstein no se opuso al formalismo matemático en su conjunto, pero tenía una visión finitista de lo que significaba la prueba de Cantor. El filósofo sostenía que la creencia en los infinitos surge de confundir la naturaleza intensional de las leyes matemáticas con la naturaleza extensional de los conjuntos, secuencias, símbolos, etc. Una serie de símbolos es finita en su opinión: En palabras de Wittgenstein: "...Una curva no está compuesta de puntos, es una ley a la que obedecen los puntos, o, de nuevo, una ley según la cual se pueden construir puntos".

También calificó el argumento diagonal como un "abracadabra" que no prueba lo que pretende hacer.

Objeción al axioma de infinitud

Una objeción común a la teoría de los números infinitos de Cantor involucra el axioma de infinito (que es, de hecho, un axioma y no una verdad lógica ). Mayberry ha señalado que "... los axiomas de la teoría de conjuntos que sustentan las matemáticas modernas son evidentes en distintos grados. Uno de ellos -de hecho, el más importante de ellos, a saber, el Axioma de Cantor, el llamado Axioma de Infinito- apenas tiene ningún derecho a ser evidente en absoluto..." ^[21]

Otra objeción es que el uso de conjuntos infinitos no se justifica adecuadamente por analogía con los conjuntos finitos. Hermann Weyl escribió:

... la lógica clásica fue abstraída de las matemáticas de los conjuntos finitos y sus subconjuntos... Olvidando este origen limitado, uno confundió después esa lógica con algo por encima y anterior a todas las matemáticas, y finalmente la aplicó, sin justificación, a las matemáticas de los conjuntos infinitos. Esta es la caída y el pecado original de la teoría de conjuntos [de Cantor]... " ^[22]

La dificultad del finitismo es desarrollar fundamentos de las matemáticas utilizando supuestos finitistas, que incorporen lo que todos considerarían razonablemente como matemáticas (por ejemplo, que incluyan el análisis real ).

Véase también

• Preintuicionismo

Notas

1. Dauben 1979, págs. 67–68, 165.
2. Cantor 1891, pág. 75; traducción inglesa: Ewald pág. 920.
3. Dauben 1979, pág. 166.
4. Dauben 1979, págs. 166-167.
5. Frege 1884, trad. 1953, §70.
6. Mayberry 2000, pág. 136.
7. Cantor 1878, pág. 242. Cantor 1891, pág. 77; traducción al inglés: Ewald pág. 922.
8. Hallett 1984, pág. 59.
9. Cantor 1891, pág. 77; traducción inglesa: Ewald pág. 922.
10. Moore 1982, pág. 42.
11. Moore 1982, pág. 330.
12. Moore 1982, p. 51. En Absolute infinite, well-ordering theorem, and paradoxes (Infinito absoluto, teorema de buen orden y paradojas ) se incluye una discusión de la prueba de Cantor y la crítica de Zermelo a la misma en una nota de referencia.
13. Cantor 1895, págs. 483–484; traducción inglesa: Cantor 1954, págs. 89–90.
14. Hodges, Wilfrid (1998), "Un editor recuerda algunos artículos sin esperanza", The Bulletin of Symbolic Logic , vol. 4, núm. 1, Association for Symbolic Logic, pp. 1–16, CiteSeerX  10.1.1.27.6154 , doi :10.2307/421003, JSTOR  421003, S2CID  14897182
15. Wolchover, Natalie . «La disputa sobre el infinito divide a los matemáticos». Scientific American . Consultado el 2 de octubre de 2014 .
16. Zenkin, Alexander (2004), "Lógica del infinito actual y prueba diagonal de G. Cantor de la incontabilidad del continuo", The Review of Modern Logic , vol. 9, núm. 30, págs. 27–80
17. ( Poincaré citado de Kline 1982)
18. Dunham, William (1991). Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas . Penguin. pág. 254. ISBN 9780140147391.
19. (Hilbert, 1926)
20. (RFM, vol. 7)
21. Mayberry 2000, pág. 10.
22. Weyl, 1946

Referencias

• Obispo, Errett ; Bridges, Douglas S. (1985), Análisis constructivo , Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer, ISBN 978-0-387-15066-6
• Cantor, Georg (1878), "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 84 : 242–248
• Cantor, Georg (1891), "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" (PDF) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 1 : 75–78
• Cantor, Georg (1895), "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)", Mathematische Annalen , 46 (4): 481–512, doi :10.1007/bf02124929, S2CID  177801164, archivado desde el original el 23 de abril de 2014
• Cantor, Georg; Philip Jourdain (trad.) (1954) [1915], Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos, Dover, ISBN 978-0-486-60045-1
• Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: sus matemáticas y filosofía del infinito , Harvard University Press, ISBN 0-674-34871-0
• Dunham, William (1991), Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas , Penguin Books, ISBN 978-0140147391
• Ewald, William B., ed. (1996), De Immanuel Kant a David Hilbert: un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas, volumen 2 , Oxford University Press, ISBN 0-19-850536-1
• Frege, Gottlob ; JL Austin (trad.) (1884), Los fundamentos de la aritmética (2.ª ed.), Northwestern University Press, ISBN 978-0-8101-0605-5
• Hallett, Michael (1984), Teoría de conjuntos cantoriana y limitación del tamaño , Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6
• Hilbert, David (1926), "Über das Unendliche", Mathematische Annalen , vol. 95, págs. 161–190, doi :10.1007/BF01206605, JFM  51.0044.02, S2CID  121888793

" Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. "

Traducido en Van Heijenoort, Jean , Sobre el infinito , Harvard University Press

• Kline, Morris (1982), Matemáticas: la pérdida de la certeza , Oxford, ISBN 0-19-503085-0{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Mayberry, JP (2000), Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 82, Cambridge University Press
• Moore, Gregory H. (1982), El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia , Springer, ISBN 978-1-4613-9480-8
• Poincaré, Henri (1908), El porvenir de las matemáticas (PDF) , Revue générale des Sciences pures et appliquees, vol. 23, archivado desde el original (PDF) el 29 de junio de 2003(Discurso en el IV Congreso Internacional de Matemáticos)
• Sainsbury, RM (1979), Russell , Londres{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Weyl, Hermann (1946), "Matemáticas y lógica: Un breve estudio que sirve como prefacio a una reseña de La filosofía de Bertrand Russell ", American Mathematical Monthly , vol. 53, págs. 2–13, doi :10.2307/2306078, JSTOR  2306078
• Wittgenstein, Ludwig ; AJP Kenny (trad.) (1974), Gramática filosófica , Oxford{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Wittgenstein; R. Hargreaves (trad.); R. White (trad.) (1964), Observaciones filosóficas , Oxford{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Wittgenstein (2001), Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.), Oxford{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )

Enlaces externos

• Opinión número 68 de Doron Zeilberger
• El argumento del filósofo Hartley Slater contra la idea de "número" que sustenta la teoría de conjuntos de Cantor
• Wolfgang Mueckenheim: Transfinity - Un libro de consulta
• Hodges "Un editor recuerda algunos artículos sin esperanza"