En geometría , el dodecaedro rómbico es un poliedro convexo con 12 caras rómbicas congruentes . Tiene 24 aristas y 14 vértices de 2 tipos. Es un sólido catalán , y el poliedro dual del cuboctaedro .
El dodecaedro rómbico es un zonoedro . Su dual poliédrico es el cuboctaedro . La longitud de la diagonal de la cara larga es exactamente √ 2 veces la longitud de la diagonal de la cara corta; por lo tanto, los ángulos agudos en cada cara miden arccos(1/3), o aproximadamente 70,53°.
Al ser el dual de un poliedro de Arquímedes , el dodecaedro rómbico es transitivo de caras , es decir, el grupo de simetría del sólido actúa transitivamente sobre su conjunto de caras. En términos elementales, esto significa que para dos caras cualesquiera A y B, hay una rotación o reflexión del sólido que lo deja ocupando la misma región del espacio mientras mueve la cara A hacia la cara B.
El dodecaedro rómbico puede verse como la cáscara convexa de la unión de los vértices de un cubo y un octaedro. Los 6 vértices donde se encuentran 4 rombos corresponden a los vértices del octaedro , mientras que los 8 vértices donde se encuentran 3 rombos corresponden a los vértices del cubo .
El dodecaedro rómbico es uno de los nueve poliedros convexos de aristas transitivas , siendo los otros los cinco sólidos platónicos , el cuboctaedro , el icosidodecaedro y el triacontaedro rómbico .
El dodecaedro rómbico se puede utilizar para teselar espacios tridimensionales: se puede apilar para llenar un espacio, de forma muy parecida a como los hexágonos llenan un plano.
Este poliedro en una teselación que llena el espacio puede verse como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en las caras . Es la zona de Brillouin de cristales cúbicos centrados en el cuerpo (bcc). Algunos minerales como el granate forman un hábito cristalino dodecaédrico rómbico . Como señaló Johannes Kepler en su libro de 1611 sobre los copos de nieve ( Strena seu de Nive Sexangula ), las abejas melíferas utilizan la geometría de los dodecaedros rómbicos para formar panales a partir de un mosaico de células, cada una de las cuales es un prisma hexagonal coronado por medio dodecaedro rómbico. El dodecaedro rómbico también aparece en las celdas unitarias del diamante y los diamantoides . En estos casos, faltan cuatro vértices (tres vértices alternos), pero los enlaces químicos se encuentran en los bordes restantes. [1]
La gráfica del dodecaedro rómbico es no hamiltoniana .
Un dodecaedro rómbico se puede diseccionar en 4 trapezoedros trigonales obtusos alrededor de su centro. Estos romboedros son las células de un panal trapezoédrico trigonal . Analogía: un hexágono regular se puede diseccionar en 3 rombos alrededor de su centro. Estos rombos son las tejas de un rombo .
Las colecciones del Louvre incluyen un troquel en forma de dodecaedro rómbico que data del Egipto ptolemaico . Las caras están inscritas con letras griegas que representan los números del 1 al 12: Α Β Γ Δ Ε Ϛ Z Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Se desconoce la función del dado. [2]
Denotando por a la longitud del borde de un dodecaedro rómbico,
El área de superficie A y el volumen V del dodecaedro rómbico con longitud de arista a son:
El dodecaedro rómbico tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales a lo largo de sus ejes de simetría , centradas en una cara, una arista y los dos tipos de vértice, triple y cuádruple. Los dos últimos corresponden a los aviones B 2 y A 2 Coxeter .
Para una longitud de arista √3, los ocho vértices donde se encuentran tres caras en sus ángulos obtusos tienen coordenadas cartesianas :
Las coordenadas de los seis vértices donde se encuentran cuatro caras en sus ángulos agudos son:
El dodecaedro rómbico puede verse como un caso límite degenerado de un piritoedro , con permutación de coordenadas (±1, ±1, ±1) y (0, 1 + h , 1 − h 2 ) con parámetro h = 1.
Estas coordenadas ilustran que un dodecaedro rómbico puede verse como un cubo con una pirámide cuadrada unida a cada cara, y que las seis pirámides cuadradas podrían encajar juntas en un cubo del mismo tamaño, es decir, el dodecaedro rómbico tiene el doble de volumen que el dodecaedro inscrito. cubo con aristas iguales a las diagonales cortas de los rombos. [3]
El dodecaedro rómbico es un paraleloedro , un poliedro que llena espacios , dodecaedro , siendo el dual del tetroctaedro o medio panal cúbico , y descrito mediante dos diagramas de Coxeter :
y
. Con simetría D 3d , puede verse como un trapezoedro trigonal alargado .
Otras construcciones de simetría del dodecaedro rómbico también llenan el espacio y, como paralelotopos , son similares a variaciones de octaedros truncados que llenan el espacio . [4]
Por ejemplo, con 4 caras cuadradas y caras rómbicas de 60 grados, y simetría diédrica D 4h , orden 16. Puede verse como un cuboctaedro con pirámides cuadradas aumentadas en la parte superior e inferior.
En 1960 Stanko Bilinski descubrió un segundo dodecaedro rómbico con 12 caras de rombos congruentes, el dodecaedro de Bilinski . Tiene la misma topología pero diferente geometría. Las caras rómbicas en esta forma tienen la proporción áurea . [5] [6]
Otra variación topológicamente equivalente, a veces llamada dodecaedro deltoidal , [7] es isoédrica con simetría tetraédrica de orden 24, distorsionando las caras rómbicas en cometas (deltoides). Tiene 8 vértices ajustados hacia adentro o hacia afuera en conjuntos alternos de 4, con el caso límite una envoltura tetraédrica. Las variaciones pueden parametrizarse mediante ( a , b ), donde by a dependen entre sí de modo que el tetraedro definido por los cuatro vértices de una cara tiene volumen cero, es decir, es una cara plana . (1,1) es la solución rómbica. Como enfoques1/2, b tiende al infinito. Siempre se sostiene que1/a+1/b= 2, con a , b >1/2.
When projected onto a sphere (see right), it can be seen that the edges make up the edges of two tetrahedra arranged in their dual positions (the stella octangula). This trend continues on with the deltoidal icositetrahedron and deltoidal hexecontahedron for the dual pairings of the other regular polyhedra (alongside the triangular bipyramid if improper tilings are to be considered), giving this shape the alternative systematic name of deltoidal dodecahedron.
This polyhedron is a part of a sequence of rhombic polyhedra and tilings with [n,3] Coxeter group symmetry. The cube can be seen as a rhombic hexahedron where the rhombi are squares.
De manera similar se relaciona con la serie infinita de mosaicos con las configuraciones de caras V3.2 n .3.2 n , la primera en el plano euclidiano y el resto en el plano hiperbólico.
Como muchos poliedros convexos, el dodecaedro rómbico puede estrellarse extendiendo las caras o aristas hasta que se juntan para formar un nuevo poliedro. Dorman Luke ha descrito varias de estas estelaciones. [8]
La primera estelación, a menudo llamada simplemente dodecaedro rómbico estrellado , es bien conocida. Puede verse como un dodecaedro rómbico con cada cara aumentada al unirle una pirámide de base rómbica, con una altura de pirámide tal que los lados se encuentran en los planos de las caras vecinas:
Lucas describe cuatro estelaciones más: la segunda y tercera estelaciones (que se expanden hacia afuera), una formada quitando la segunda de la tercera y otra agregando el dodecaedro rómbico original al anterior.
El dodecaedro rómbico forma el casco de la proyección del primer vértice de un teseracto en tres dimensiones. Hay exactamente dos formas de descomponer un dodecaedro rómbico en cuatro romboedros congruentes , dando ocho posibles romboedros como proyecciones de los teseractos de 8 celdas cúbicas. Un conjunto de vectores proyectivos son: u = (1,1,−1,−1), v = (−1,1,−1,1), w = (1,−1,−1,1).
El dodecaedro rómbico forma la sección transversal máxima de un 24 celdas y también forma el casco de su proyección paralela del primer vértice en tres dimensiones. El dodecaedro rómbico se puede descomponer en seis bipirámides cuadradas congruentes (pero no regulares) que se reúnen en un solo vértice en el centro; estos forman las imágenes de seis pares de células octaédricas de 24 células. Las 12 células octaédricas restantes se proyectan sobre las caras del dodecaedro rómbico. La falta de regularidad de estas imágenes se debe a una distorsión proyectiva; las facetas de las 24 celdas son octaedros regulares en 4 espacios.
Esta descomposición proporciona un método interesante para construir el dodecaedro rómbico: cortar un cubo en seis pirámides cuadradas congruentes y unirlas a las caras de un segundo cubo. Las caras triangulares de cada par de pirámides adyacentes se encuentran en el mismo plano y, por tanto, se fusionan formando rombos. Las 24 celdas también se pueden construir de forma análoga utilizando dos teseractos . [9]
El experto en arquitectura James D. Wenn ha identificado que los significados filosóficos y codificados en los edificios están relacionados con significados asociados con el dodecaedro rómbico por pensadores como Platón . [10]
Los edificios identificados que cumplen con este tipo de código incluyen: [11]
En el diseño de las ruedas de reacción de las naves espaciales , se suele utilizar una configuración tetraédrica de cuatro ruedas. Para ruedas que funcionan por igual (desde el punto de vista del par máximo y del momento angular máximo) en ambas direcciones de giro y en las cuatro ruedas, las envolventes de par máximo y momento máximo para el sistema de control de actitud de 3 ejes (considerando actuadores idealizados) se obtienen proyectando el teseracto que representa los límites del par o impulso de cada rueda en el espacio 3D a través de la matriz de 3 × 4 de ejes de rueda; el poliedro 3D resultante es un dodecaedro rómbico. [13] Tal disposición de ruedas de reacción no es la única configuración posible (una disposición más simple consiste en tres ruedas montadas para girar alrededor de ejes ortogonales), pero es ventajosa al proporcionar redundancia para mitigar el fallo de una de las cuatro ruedas (con rendimiento general degradado disponible en las tres ruedas activas restantes) y en proporcionar una envoltura más convexa que un cubo, lo que conduce a una menor dependencia de la agilidad en la dirección del eje (desde el punto de vista del actuador/planta). Las propiedades de masa de la nave espacial influyen en el impulso y la agilidad general del sistema, por lo que una menor variación en el límite de la envolvente no conduce necesariamente a una mayor uniformidad en los sesgos de los ejes preferidos (es decir, incluso con un límite de rendimiento perfectamente distribuido dentro del subsistema actuador, los ejes de rotación preferidos no son necesariamente arbitrarios). a nivel del sistema).
El poliedro es también la base de la cuadrícula HEALPix , utilizada en cosmología para almacenar y manipular mapas del fondo cósmico de microondas , y en gráficos por computadora para almacenar mapas ambientales .
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