Ley de Snell

Fórmula para los ángulos de refracción

Refracción de la luz en la interfase entre dos medios de diferente índice de refracción , con n ₂ > n ₁ . Como la velocidad es menor en el segundo medio (v ₂ < v ₁ ), el ángulo de refracción θ ₂ es menor que el ángulo de incidencia θ ₁ ; es decir, el rayo en el medio de mayor índice está más cerca de la normal.

La ley de Snell (también conocida como ley de Snell-Descartes , ley de Ibn-Sahl ^[1] y ley de refracción ) es una fórmula utilizada para describir la relación entre los ángulos de incidencia y refracción , cuando se hace referencia a la luz u otras ondas que pasan a través de un límite entre dos medios isotrópicos diferentes , como el agua, el vidrio o el aire. En óptica, la ley se utiliza en el trazado de rayos para calcular los ángulos de incidencia o refracción, y en óptica experimental para encontrar el índice de refracción de un material. La ley también se cumple en metamateriales , que permiten que la luz se desvíe "hacia atrás" en un ángulo de refracción negativo con un índice de refracción negativo .

La ley establece que, para un par dado de medios, la relación de los senos del ángulo de incidencia ( ) y del ángulo de refracción ( ) es igual al índice de refracción del segundo medio con respecto al primero ( ), que es igual a la relación de los índices de refracción ( ) de los dos medios, o equivalentemente, a la relación de las velocidades de fase ( ) en los dos medios. ^[2] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle n_{21}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{21}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$

La ley se desprende del principio de tiempo mínimo de Fermat , que a su vez se desprende de la propagación de la luz en forma de ondas.

Historia

Reproducción de una página del manuscrito de Ibn Sahl que muestra su descubrimiento de la ley de refracción.

Ptolomeo , en Alejandría , Egipto, ^[3] había encontrado una relación con respecto a los ángulos de refracción, pero era inexacta para ángulos que no eran pequeños. Ptolomeo estaba seguro de haber encontrado una ley empírica precisa, en parte como resultado de alterar ligeramente sus datos para que se ajustaran a la teoría (ver: sesgo de confirmación ). ^[4]

Una visión de 1837 de la historia de la "Ley de los Senos" ^[5]

La ley recibió finalmente el nombre de Snell , aunque fue descubierta por primera vez por el científico persa Ibn Sahl , en la corte de Bagdad en 984. ^{[6] [7] [8]} En el manuscrito Sobre la quema de espejos y lentes , Sahl utilizó la ley para derivar formas de lentes que enfocan la luz sin aberración geométrica . ^[9]

Alhazen , en su Libro de Óptica (1021), estuvo cerca de redescubrir la ley de refracción, pero no dio ese paso. ^[10]

La ley fue redescubierta por Thomas Harriot en 1602, ^[11] quien, sin embargo, no publicó sus resultados a pesar de haber mantenido correspondencia con Kepler sobre este mismo tema. En 1621, el astrónomo holandés Willebrord Snellius (1580-1626) —Snell— derivó una forma matemáticamente equivalente, que permaneció inédita durante su vida. René Descartes derivó independientemente la ley utilizando argumentos heurísticos de conservación del momento en términos de senos en su ensayo de 1637 Dioptrique , y la utilizó para resolver una serie de problemas ópticos. Rechazando la solución de Descartes, Pierre de Fermat llegó a la misma solución basándose únicamente en su principio del tiempo mínimo . Descartes asumió que la velocidad de la luz era infinita, pero en su derivación de la ley de Snell también asumió que cuanto más denso es el medio, mayor es la velocidad de la luz. Fermat apoyó las suposiciones opuestas, es decir, la velocidad de la luz es finita, y su derivación dependía de que la velocidad de la luz fuera más lenta en un medio más denso. ^{[12] [13]} La derivación de Fermat también utilizó su invención de la adecuación , un procedimiento matemático equivalente al cálculo diferencial, para encontrar máximos, mínimos y tangentes. ^{[14] [15]}

En su influyente libro de matemáticas Geometría , Descartes resuelve un problema en el que habían trabajado Apolonio de Perge y Pappus de Alejandría . Dadas n líneas L y un punto P(L) en cada línea, encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tales que las longitudes de los segmentos de línea QP(L) satisfagan ciertas condiciones. Por ejemplo, cuando n = 4, dadas las líneas a, b, c y d y un punto A en a, B en b, etc., encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tales que el producto QA*QB sea igual al producto QC*QD. Cuando las líneas no son todas paralelas, Pappus demostró que los lugares geométricos son cónicos, pero cuando Descartes consideró n mayores, obtuvo curvas cúbicas y de mayor grado. Para demostrar que las curvas cúbicas eran interesantes, demostró que surgían naturalmente en óptica a partir de la ley de Snell. ^[16]

Según Dijksterhuis, ^[17] "En De natura lucis et proprietate (1662) Isaac Vossius dijo que Descartes había visto el artículo de Snell y había elaborado su propia prueba. Ahora sabemos que esta acusación es inmerecida, pero ha sido adoptada muchas veces desde entonces". Tanto Fermat como Huygens repitieron esta acusación de que Descartes había copiado a Snell. En francés , la Ley de Snell a veces se llama "la loi de Descartes" o más frecuentemente " loi de Snell-Descartes ".

La construcción de Christiaan Huygens

En su Tratado de la Luz de 1678 , Christiaan Huygens mostró cómo la ley de los senos de Snell podía explicarse o derivarse de la naturaleza ondulatoria de la luz, utilizando lo que hemos dado en llamar el principio de Huygens-Fresnel .

Con el desarrollo de la teoría óptica y electromagnética moderna, la antigua ley de Snell alcanzó una nueva etapa. En 1962, Nicolaas Bloembergen demostró que en el límite de un medio no lineal, la ley de Snell debería escribirse en forma general. ^[18] En 2008 y 2011, también se demostró que las metasuperficies plasmónicas modificaban las direcciones de reflexión y refracción del haz de luz. ^{[19] [20]}

Explicación

La ley de Snell en una pared de Leiden

La ley de Snell se utiliza para determinar la dirección de los rayos de luz a través de medios refractarios con índices de refracción variables. Los índices de refracción de los medios, denominados , etc., se utilizan para representar el factor por el cual la velocidad de un rayo de luz disminuye cuando viaja a través de un medio refractario, como el vidrio o el agua, en comparación con su velocidad en el vacío. ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

A medida que la luz pasa por la frontera entre los medios, dependiendo de los índices de refracción relativos de los dos medios, la luz se refractará en un ángulo menor o mayor. Estos ángulos se miden con respecto a la línea normal , representada perpendicularmente al límite. En el caso de la luz que viaja desde el aire al agua, la luz se refractaría hacia la línea normal, porque la luz se ralentiza en el agua; la luz que viaja desde el agua al aire se refractaría alejándose de la línea normal.

La refracción entre dos superficies también se denomina reversible porque si todas las condiciones fueran idénticas, los ángulos serían los mismos para la luz que se propaga en la dirección opuesta.

La ley de Snell es generalmente cierta sólo para medios isotrópicos o especulares (como el vidrio ). En medios anisotrópicos como algunos cristales , la birrefringencia puede dividir el rayo refractado en dos rayos, el rayo ordinario o o que sigue la ley de Snell, y el otro rayo extraordinario o e que puede no ser coplanar con el rayo incidente.

Cuando la luz u otra onda involucrada es monocromática, es decir, de una sola frecuencia, la ley de Snell también puede expresarse en términos de una relación de longitudes de onda en los dos medios, y : ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

Derivaciones y fórmulas

Frentes de onda de una fuente puntual en el contexto de la ley de Snell. La región situada debajo de la línea gris tiene un índice de refracción más alto y una velocidad de la luz proporcionalmente menor que la región situada encima de ella.

La ley de Snell se puede derivar de varias maneras.

Derivación del principio de Fermat

La ley de Snell se puede derivar del principio de Fermat , que establece que la luz recorre el camino que toma el menor tiempo. Al tomar la derivada de la longitud del camino óptico , se encuentra el punto estacionario que da el camino tomado por la luz. (Hay situaciones en las que la luz viola el principio de Fermat al no tomar el camino de menor tiempo, como en la reflexión en un espejo (esférico)). En una analogía clásica, el área de índice de refracción más bajo se reemplaza por una playa, el área de índice de refracción más alto por el mar, y la forma más rápida para un rescatador en la playa de llegar a una persona que se está ahogando en el mar es correr por un camino que sigue la ley de Snell.

La luz del medio 1, punto Q, entra al medio 2, se produce la refracción y finalmente la luz llega al punto P.

Como se muestra en la figura de la derecha, supongamos que el índice de refracción del medio 1 y del medio 2 son y respectivamente. La luz entra al medio 2 desde el medio 1 a través del punto O. ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}}$es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción con respecto a la normal. ${\displaystyle \theta _{2}}$

Las velocidades de fase de la luz en el medio 1 y el medio 2 son

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$y

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$respectivamente.

${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Sea T el tiempo necesario para que la luz viaje desde el punto Q a través del punto O hasta el punto P.

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}$

donde a, b, l y x son como se indican en la figura de la derecha, siendo x el parámetro variable.

Para minimizarlo se puede diferenciar:

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$(punto estacionario)

Tenga en cuenta que ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

y ${\displaystyle {\frac {l-x}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$

Derivación del principio de Huygens

Como alternativa, la ley de Snell se puede derivar utilizando la interferencia de todos los caminos posibles de la onda de luz desde la fuente hasta el observador (resulta en interferencia destructiva en todas partes excepto en los extremos de fase [donde la interferencia es constructiva]), que se convierten en caminos reales.

Derivación de las ecuaciones de Maxwell

Otra forma de derivar la Ley de Snell implica una aplicación de las condiciones de contorno generales de las ecuaciones de Maxwell para la radiación electromagnética y la inducción .

Derivación de la conservación de la energía y el momento

Otra forma de derivar la ley de Snell se basa en consideraciones de simetría de traslación. ^[21] Por ejemplo, una superficie homogénea perpendicular a la dirección z no puede cambiar el momento transversal. Dado que el vector de propagación es proporcional al momento del fotón, la dirección de propagación transversal debe permanecer igual en ambas regiones. Supongamos sin pérdida de generalidad un plano de incidencia en el plano . Utilizando la conocida dependencia del número de onda del índice de refracción del medio, derivamos inmediatamente la ley de Snell. ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}$ ${\displaystyle z,x}$ ${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}}$

${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}\,}$

${\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}$

donde es el número de onda en el vacío. Aunque ninguna superficie es verdaderamente homogénea a escala atómica, la simetría traslacional completa es una aproximación excelente siempre que la región sea homogénea en la escala de la longitud de onda de la luz. ${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}$

Forma vectorial

Dado un vector de luz normalizado (que apunta desde la fuente de luz hacia la superficie) y un vector normal plano normalizado , se pueden calcular los rayos reflejados y refractados normalizados, a través de los cosenos del ángulo de incidencia y el ángulo de refracción , sin utilizar explícitamente los valores del seno ni ninguna función trigonométrica o ángulo: ^[22] ${\displaystyle {\vec {l}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}}$

Nota: debe ser positivo, lo cual será si es el vector normal que apunta desde la superficie hacia el lado de donde proviene la luz, la región con índice . Si es negativo, entonces apunta hacia el lado sin luz, por lo que se vuelve a empezar con reemplazado por su negativo. ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}$

Este vector de dirección reflejada apunta hacia el lado de la superficie de donde proviene la luz.

Ahora aplique la ley de Snell a la relación de senos para derivar la fórmula para el vector de dirección del rayo refractado:

${\displaystyle \sin \theta _{2}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\sin \theta _{1}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}}$

La fórmula puede parecer más simple en términos de valores simples renombrados y , evitando cualquier aparición de nombres de funciones trigonométricas o nombres de ángulos: ${\displaystyle r=n_{1}/n_{2}}$ ${\displaystyle c=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}$

${\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}$

Los valores del coseno se pueden guardar y utilizar en las ecuaciones de Fresnel para calcular la intensidad de los rayos resultantes.

La reflexión interna total se indica mediante un radicando negativo en la ecuación para , lo que solo puede ocurrir para rayos que cruzan hacia un medio menos denso ( ). ${\displaystyle \cos \theta _{2}}$ ${\displaystyle n_{2}<n_{1}}$

Reflexión interna total y ángulo crítico

Demostración de que no hay refracción en ángulos mayores que el ángulo crítico

Cuando la luz viaja desde un medio con un índice de refracción más alto a uno con un índice de refracción más bajo, la ley de Snell parece requerir en algunos casos (siempre que el ángulo de incidencia sea lo suficientemente grande) que el seno del ángulo de refracción sea mayor que uno. Por supuesto, esto es imposible, y la luz en tales casos se refleja completamente por el límite, un fenómeno conocido como reflexión interna total . El mayor ángulo de incidencia posible que aún da como resultado un rayo refractado se llama ángulo crítico ; en este caso, el rayo refractado viaja a lo largo del límite entre los dos medios.

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios

Por ejemplo, considere un rayo de luz que se mueve del agua al aire con un ángulo de incidencia de 50°. Los índices de refracción del agua y el aire son aproximadamente 1,333 y 1, respectivamente, por lo que la ley de Snell nos da la relación

${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}$

que es imposible de satisfacer. El ángulo crítico θ _crit es el valor de θ ₁ para el cual θ ₂ es igual a 90°:

${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}$

Dispersión

En muchos medios de propagación de ondas, la velocidad de las mismas cambia con la frecuencia o la longitud de onda de las ondas; esto es cierto en el caso de la propagación de la luz en la mayoría de las sustancias transparentes, excepto en el vacío. Estos medios se denominan dispersivos. El resultado es que los ángulos determinados por la ley de Snell también dependen de la frecuencia o la longitud de onda, de modo que un rayo de longitudes de onda mixtas, como la luz blanca, se propagará o se dispersará. Esta dispersión de la luz en el vidrio o el agua es la base del origen de los arcoíris y otros fenómenos ópticos , en los que las diferentes longitudes de onda aparecen como colores diferentes.

En los instrumentos ópticos, la dispersión produce aberración cromática , una distorsión que depende del color y que a veces limita la resolución. Esto era especialmente cierto en los telescopios refractores , antes de la invención de los objetivos acromáticos .

Medios con pérdida, absorbentes o conductores

En un medio conductor, la permitividad y el índice de refracción tienen valores complejos. Por consiguiente, también lo tienen el ángulo de refracción y el vector de onda. Esto implica que, mientras que las superficies de fase real constante son planos cuyas normales forman un ángulo igual al ángulo de refracción con la normal de la interfase, las superficies de amplitud constante, en cambio, son planos paralelos a la propia interfase. Como estos dos planos no coinciden en general entre sí, se dice que la onda no es homogénea. ^[23] La onda refractada se atenúa exponencialmente, con un exponente proporcional al componente imaginario del índice de refracción. ^{[24] [25]}

Véase también

• Curva braquistócrona  : el descenso más rápido de una curva sin fricción para una demostración sencilla de Jacob Bernoulli
• Cálculo de variaciones  – Cálculo diferencial en espacios funcionales
• Cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera
• Onda evanescente  : Tipo de campo donde el flujo neto de energía electromagnética es cero.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Óptica hamiltoniana
• Lista de índices de refracción
• Ecuación interferométrica de N-rendijas
• Reflexión (física)  – “Rebote” de las ondas en una interfaz
• La ventana de Snell  : fenómeno submarino debido a la ley de Snell
• Índice de refracción vs longitud de onda de la luz  – Relación empírica entre índice de refracción y longitud de onda

Referencias

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Enlaces externos

• Ley de Ibn Sahl y Snell Archivado el 23 de octubre de 2016 en Wayback Machine.
• Descubrimiento de la ley de refracción
• Ley de refracción de Snell (frentes de onda) por Todd Rowland, Wolfram Demonstrations Project
• La ley de Snell en una pared del centro de Leiden Archivado el 27 de abril de 2018 en Wayback Machine.
• Efecto de línea de costa