En geometría , el mosaico trihexagonal es uno de los 11 mosaicos uniformes del plano euclidiano formados por polígonos regulares . [1] Consta de triángulos equiláteros y hexágonos regulares , dispuestos de manera que cada hexágono esté rodeado por triángulos y viceversa. El nombre deriva del hecho de que combina un mosaico regular hexagonal y un mosaico regular triangular . Alrededor de cada vértice se alternan dos hexágonos y dos triángulos , y sus aristas forman una disposición infinita de líneas . Su dual es el mosaico de rombos . [2]
Este patrón, y su lugar en la clasificación de mosaicos uniformes, ya era conocido por Johannes Kepler en su libro Harmonices Mundi de 1619 . [3] El patrón se ha utilizado durante mucho tiempo en la cestería japonesa , donde se le llama kagome . El término japonés para este patrón ha sido adoptado en física, donde se le llama red kagome . También ocurre en las estructuras cristalinas de ciertos minerales. Conway lo llama hexadeltille , combinando elementos alternativos de un mosaico hexagonal (hextille) y un mosaico triangular (deltille). [4]
Kagome ( japonés :籠目) es un patrón de bambú tejido tradicional japonés; su nombre se compone de las palabras kago , que significa "cesta", y yo , que significa "ojo(s)", en referencia al patrón de agujeros en una canasta tejida.
El patrón kagome es común en el tejido de bambú en el este de Asia. En 2022, los arqueólogos encontraron restos de tejidos de bambú en las ruinas de Dongsunba en Chongqing, China, 200 a.C. Después de 2200 años, el patrón Kagome sigue siendo claro. [5] [6]
Es una disposición tejida de listones compuesta por triángulos entrelazados de modo que cada punto donde se cruzan dos listones tiene cuatro puntos vecinos, formando el patrón de un mosaico trihexagonal. El proceso de tejido le da a Kagome una simetría de grupo de papel tapiz quiral , p6 (632).
El término red kagome fue acuñado por el físico japonés Kôdi Husimi y apareció por primera vez en un artículo de 1951 escrito por su asistente Ichirō Shōji. [7] La red kagome en este sentido consiste en los vértices y bordes del mosaico trihexagonal. A pesar del nombre, estos puntos de cruce no forman una red matemática .
Una estructura tridimensional relacionada formada por los vértices y aristas del panal de un cuarto cúbico , que llena el espacio con tetraedros regulares y tetraedros truncados , se ha denominado red hiper-kagome . [8] Está representado por los vértices y aristas del panal de un cuarto cúbico , llenando el espacio mediante tetraedros regulares y tetraedros truncados . Contiene cuatro conjuntos de planos paralelos de puntos y líneas, siendo cada plano una red Kagome bidimensional. Una segunda expresión en tres dimensiones tiene capas paralelas de redes bidimensionales y se llama red ortorrómbica-kagome . [8] El panal prismático trihexagonal representa sus aristas y vértices.
Algunos minerales , a saber, jarositas y herbertsmithita , contienen capas bidimensionales o disposición tridimensional de átomos en red Kagome en su estructura cristalina . Estos minerales presentan propiedades físicas novedosas relacionadas con el magnetismo geométricamente frustrado . Por ejemplo, la disposición de espín de los iones magnéticos del Co 3 V 2 O 8 descansa en una red de kagome que muestra un comportamiento magnético fascinante a bajas temperaturas. [9] Se ha descubierto que los imanes cuánticos realizados en metales de Kagome exhiben muchos fenómenos electrónicos y magnéticos inesperados. [10] [11] [12] [13] También se propone que el comportamiento de SYK se pueda observar en una red kagome bidimensional con impurezas. [14]
El término se usa mucho hoy en día en la literatura científica, especialmente por los teóricos que estudian las propiedades magnéticas de una red kagome teórica.
Ver también: Crestas de Kagome .
El mosaico trihexagonal tiene el símbolo de Schläfli de r{6,3}, o diagrama de Coxeter ,
, simbolizando que se trata de un mosaico hexagonal rectificado , {6,3}. Sus simetrías pueden describirse mediante el grupo de papel tapiz p6mm, (*632), [15] y el mosaico puede derivarse como una construcción de Wythoff dentro de los dominios fundamentales reflexivos de este grupo . El mosaico trihexagonal es un mosaico cuasi regular , que alterna dos tipos de polígonos, con configuración de vértices (3.6) 2 . También es un mosaico uniforme , uno de los ocho derivados del mosaico hexagonal regular.
Hay dos colores uniformes distintos de un mosaico trihexagonal. Nombrar los colores mediante índices en las 4 caras alrededor de un vértice (3.6.3.6): 1212, 1232. [1] El segundo se llama mosaico hexagonal cántico , h 2 {6,3}, con dos colores de triángulos, existentes en p3m1 (*333) simetría.
El mosaico trihexagonal se puede utilizar como empaquetamiento circular , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. [16] Cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el embalaje ( número de beso ).
El mosaico trihexagonal se puede distorsionar geométricamente en mosaicos topológicamente equivalentes de menor simetría. [1] En estas variantes del mosaico, los bordes no necesariamente se alinean para formar líneas rectas.
El mosaico trihexagonal existe en una secuencia de simetrías de mosaicos cuasiregulares con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde mosaicos de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con simetría de notación orbifold de * n 32, todos estos mosaicos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio de simetría fundamental, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [17] [18]
Hay 2 apeirogons complejos regulares , que comparten los vértices del mosaico trihexagonal. Los apeirogons complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices dispuestos como un polígono regular y las figuras de los vértices son r -gonales. [19]
El primero está formado por aristas triangulares, dos alrededor de cada vértice, el segundo tiene aristas hexagonales, dos alrededor de cada vértice.
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