En geometría , el mosaico hexagonal o teselado hexagonal es un mosaico regular del plano euclidiano , en el que exactamente tres hexágonos se encuentran en cada vértice. Tiene el símbolo de Schläfli de {6,3} o t {3,6} (como un mosaico triangular truncado ).
El matemático inglés John Conway lo llamó hextille .
El ángulo interno del hexágono es de 120 grados, por lo que tres hexágonos en un punto forman un total de 360 grados. Es uno de los tres mosaicos regulares del avión . Los otros dos son el mosaico triangular y el mosaico cuadrado .
El mosaico hexagonal es la forma más densa de organizar círculos en dos dimensiones. La conjetura del panal establece que el mosaico hexagonal es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área con el menor perímetro total. La estructura tridimensional óptima para hacer panal (o más bien, pompas de jabón) fue investigada por Lord Kelvin , quien creía que la estructura Kelvin (o red cúbica centrada en el cuerpo ) es óptima. Sin embargo, la estructura Weaire-Phelan, menos regular, es ligeramente mejor.
Esta estructura existe naturalmente en forma de grafito , donde cada lámina de grafeno se asemeja a una malla de gallinero, con fuertes enlaces de carbono covalentes. Se han sintetizado láminas tubulares de grafeno, conocidas como nanotubos de carbono . Tienen muchas aplicaciones potenciales debido a su alta resistencia a la tracción y propiedades eléctricas. El siliceno es similar.
La malla gallinera consiste en una red hexagonal (a menudo no regular) de alambres.
El mosaico hexagonal aparece en muchos cristales. En tres dimensiones, el empaque cerrado hexagonal y cúbico centrado en las caras son estructuras cristalinas comunes. Son los empaquetamientos de esferas más densos en tres dimensiones. Estructuralmente, comprenden capas paralelas de mosaicos hexagonales, similar a la estructura del grafito. Se diferencian en la forma en que las capas están escalonadas entre sí, siendo la cúbica centrada en las caras la más regular de las dos. El cobre puro forma, entre otros materiales, una red cúbica centrada en las caras.
Hay tres colores uniformes distintos de un mosaico hexagonal, todos generados a partir de la simetría reflectante de las construcciones de Wythoff . ( h , k ) representa la repetición periódica de una ficha de color, contando las distancias hexagonales como h primero y k segundo. El mismo conteo se usa en los poliedros de Goldberg , con una notación { p +,3} h , k , y se puede aplicar a mosaicos hiperbólicos para p > 6.
El mosaico de 3 colores es un mosaico generado por los permutoedros de orden 3 .
Un mosaico hexagonal biselado reemplaza los bordes con nuevos hexágonos y se transforma en otro mosaico hexagonal. En el límite, las caras originales desaparecen, y los nuevos hexágonos degeneran en rombos, y se convierte en un mosaico rómbico .
Los hexágonos se pueden dividir en conjuntos de 6 triángulos. Este proceso conduce a dos mosaicos de 2 uniformes y al mosaico triangular :
El mosaico hexagonal puede considerarse un mosaico rómbico alargado , donde cada vértice del mosaico rómbico se estira hasta formar un nuevo borde. Esto es similar a la relación del dodecaedro rómbico y los teselados del dodecaedro rombo-hexagonal en 3 dimensiones.
También es posible subdividir los prototiles de ciertos mosaicos hexagonales en dos, tres, cuatro o nueve pentágonos iguales:
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de mosaicos regulares con caras hexagonales , comenzando con el mosaico hexagonal, con el símbolo de Schläfli {6,n} y el diagrama de Coxeter. 
, progresando hasta el infinito.
Este mosaico está topológicamente relacionado con poliedros regulares con figura de vértice n 3 , como parte de una secuencia que continúa en el plano hiperbólico .
Está igualmente relacionado con los poliedros truncados uniformes con figura de vértice n .6.6.
Este mosaico también es parte de una secuencia de poliedros rómbicos truncados y mosaicos con simetría de grupo [n,3] de Coxeter . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados. Las formas truncadas tienen n-gonos regulares en los vértices truncados y caras hexagonales no regulares.
Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho mosaicos uniformes que pueden basarse en el mosaico hexagonal regular (o el mosaico triangular dual ).
Al dibujar los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 8 formas, 7 de las cuales son topológicamente distintas. (El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).
Hay 3 tipos de mosaicos hexagonales convexos monoédricos. [1] Son todos isoédricos . Cada uno tiene variaciones paramétricas dentro de una simetría fija. El tipo 2 contiene reflejos de deslizamiento y es 2-isoédrico que mantiene distintos los pares quirales.
Los mosaicos hexagonales se pueden hacer con la misma topología {6,3} que el mosaico normal (3 hexágonos alrededor de cada vértice). Con caras isoédricas, existen 13 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color. Los colores aquí representan las posiciones de la red. [2] Las celosías de un solo color (1 mosaico) son hexágonos paralelos .
Otros mosaicos hexagonales topológicos con mosaicos isoédricos se ven como cuadriláteros y pentágonos que no están de borde a borde, sino que se interpretan como bordes colineales adyacentes:
Los teselados de 2 y 3 uniformes tienen un grado de libertad de rotación que distorsiona 2/3 de los hexágonos, incluido un caso colineal que también puede verse como un mosaico de hexágonos y triángulos más grandes que no está de borde a borde. [3]
También se puede distorsionar en un patrón tejido tridireccional quiral de 4 colores, distorsionando algunos hexágonos en paralelogramos . El patrón tejido con 2 caras coloreadas tiene simetría rotacional 632 (p6) . Un patrón de chevron tiene simetría pmg (22*), que se reduce a p1 (°) con 3 o 4 mosaicos de colores.
El mosaico hexagonal se puede utilizar como embalaje circular , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. Cada círculo está en contacto con otros 3 círculos en el embalaje ( número de beso ). [4] El espacio dentro de cada hexágono permite un círculo, creando el embalaje más denso a partir del mosaico triangular , con cada círculo en contacto con un máximo de 6 círculos.
Hay 2 apeirogons complejos regulares , que comparten los vértices del mosaico hexagonal. Los apeirogons complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de vértices son r -gonales. [5]
El primero está formado por 2 aristas, tres alrededor de cada vértice, el segundo tiene aristas hexagonales, tres alrededor de cada vértice. Un tercer apeirogon complejo, que comparte los mismos vértices, es cuasiregular y alterna 2 y 6 aristas.
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