En geometría , la estructura de Weaire-Phelan es una estructura tridimensional que representa una espuma idealizada de burbujas de igual tamaño, con dos formas diferentes. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan descubrieron que esta estructura era una mejor solución del problema de Kelvin de embaldosar el espacio mediante celdas de igual volumen con un área de superficie mínima que la solución anterior más conocida, la estructura de Kelvin. [1]
En dos dimensiones, la subdivisión del plano en celdas de igual área con perímetro medio mínimo viene dada por el teselado hexagonal , pero aunque el primer registro de esta conjetura del panal se remonta al antiguo erudito romano Marco Terencio Varro (116-27 a. C.), no se demostró hasta el trabajo de Thomas C. Hales en 1999. [2] En 1887, Lord Kelvin planteó la pregunta correspondiente para el espacio tridimensional: ¿cómo se puede dividir el espacio en celdas de igual volumen con la menor área de superficie entre ellas? O, en resumen, ¿cuál era la espuma de burbujas de jabón más eficiente ? [3] Desde entonces, este problema se ha denominado el problema de Kelvin.
Kelvin propuso una espuma llamada estructura de Kelvin . Su espuma se basa en el panal cúbico bitruncado , un panal convexo uniforme formado por el octaedro truncado , un poliedro convexo que llena el espacio con 6 caras cuadradas y 8 caras hexagonales. Sin embargo, este panal no satisface las leyes de Plateau , formuladas por Joseph Plateau en el siglo XIX, según las cuales las superficies mínimas de espuma se encuentran en ángulos en sus bordes, y estos bordes se encuentran entre sí en grupos de cuatro con ángulos de . Los ángulos de la estructura poliédrica son diferentes; por ejemplo, sus bordes se encuentran en ángulos de en caras cuadradas o en caras hexagonales. Por lo tanto, la estructura propuesta por Kelvin utiliza bordes curvilíneos y superficies mínimas ligeramente deformadas para sus caras, obedeciendo las leyes de Plateau y reduciendo el área de la estructura en un 0,2% en comparación con la estructura poliédrica correspondiente. [1] [3]
Aunque Kelvin no lo planteó explícitamente como una conjetura, [4] la idea de que la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficiente, y resuelve el problema de Kelvin, se conoció como la conjetura de Kelvin . Fue ampliamente creída, y no se conoció ningún contraejemplo durante más de 100 años. Finalmente, en 1993, el físico del Trinity College de Dublín Denis Weaire y su estudiante Robert Phelan descubrieron la estructura Weaire-Phelan a través de simulaciones por computadora de espuma, y demostraron que era más eficiente, refutando la conjetura de Kelvin. [1]
Desde el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, se han encontrado otros contraejemplos de la conjetura de Kelvin, pero la estructura de Weaire-Phelan sigue teniendo la menor área superficial conocida por celda de estos contraejemplos. [5] [6] [7] Aunque los experimentos numéricos sugieren que la estructura de Weaire-Phelan es óptima, esto sigue sin demostrarse. [8] En general, ha sido muy difícil demostrar la optimalidad de las estructuras que involucran superficies mínimas . La minimalidad de la esfera como superficie que encierra un solo volumen no se demostró hasta el siglo XIX, y el siguiente problema más simple de este tipo, la conjetura de la doble burbuja sobre la inclusión de dos volúmenes, permaneció abierta durante más de 100 años hasta que se demostró en 2002. [9]
La estructura de Weaire-Phelan se diferencia de la de Kelvin en que utiliza dos tipos de celdas, aunque tienen el mismo volumen. Al igual que las celdas de la estructura de Kelvin, estas celdas son combinatoriamente equivalentes a los poliedros convexos . Uno es un piritoedro , un dodecaedro irregular con caras pentagonales, que posee simetría tetraédrica ( T h ). El segundo es una forma de trapezoedro hexagonal truncado , una especie de tetracaidecaedro con dos caras hexagonales y doce pentagonales, que en este caso solo posee dos planos de simetría y una simetría de rotorreflexión . Al igual que los hexágonos en la estructura de Kelvin, los pentágonos en ambos tipos de celdas son ligeramente curvados. El área superficial de la estructura de Weaire-Phelan es un 0,3% menor que la de la estructura de Kelvin. [1]
Las células del tetracaidecaedro, unidas en cadenas de células enfrentadas a lo largo de sus caras hexagonales, forman cadenas en tres direcciones perpendiculares. Una estructura combinatoriamente equivalente a la estructura de Weaire-Phelan se puede hacer como un mosaico de espacio por cubos unitarios, alineados cara a cara en prismas cuadrados infinitos de la misma manera para formar una estructura de prismas entrelazados llamados tetrastix . Estos prismas rodean huecos cúbicos que forman una cuarta parte de las células del mosaico cúbico; las tres cuartas partes restantes de las células llenan los prismas, desplazados por media unidad de la cuadrícula entera alineada con las paredes del prisma. De manera similar, en la propia estructura de Weaire-Phelan, que tiene las mismas simetrías que la estructura tetrastix, 1/4 de las células son dodecaedros y 3/4 son tetracaidecaedros. [10]
El panal poliédrico asociado con la estructura Weaire-Phelan (obtenida al aplanar las caras y enderezar los bordes) también se conoce vagamente como estructura Weaire-Phelan. Se conocía mucho antes de que se descubriera la estructura Weaire-Phelan, pero se pasó por alto su aplicación al problema de Kelvin. [11]
Los experimentos han demostrado que, con condiciones de contorno favorables , las burbujas de igual volumen se autoensamblan espontáneamente en la estructura Weaire-Phelan. [12] [13]
El panal poliédrico asociado se encuentra en dos geometrías relacionadas de la estructura cristalina en química . Cuando los componentes del cristal se encuentran en los centros de los poliedros, se forma una de las fases de Frank-Kasper , la fase A15 . [14]
Cuando los componentes del cristal se encuentran en las esquinas de los poliedros, se conoce como " estructura de clatrato de tipo I ". Los hidratos de gas formados por metano, propano y dióxido de carbono a bajas temperaturas tienen una estructura en la que las moléculas de agua se encuentran en los nodos de la estructura de Weaire-Phelan y están unidas por enlaces de hidrógeno , y las moléculas de gas más grandes están atrapadas en las jaulas poliédricas. [11] Algunos hidruros de metales alcalinos, siliciuros y germanuros también forman esta estructura, con silicio o germanio en los nodos y metales alcalinos en las jaulas. [1] [15] [16]
La estructura Weaire-Phelan es la inspiración para el diseño de Tristram Carfrae del Centro Acuático Nacional de Pekín , el «Cubo de Agua», para los Juegos Olímpicos de Verano de 2008. [17]
