Rayo externo

Un rayo externo es una curva que va desde el infinito hacia un conjunto de Julia o de Mandelbrot . ^[1] Aunque esta curva rara vez es una semirrecta (rayo), se denomina rayo porque es una imagen de un rayo.

Los rayos externos se utilizan en el análisis complejo , particularmente en la dinámica compleja y la teoría de funciones geométricas .

Historia

Los rayos externos se introdujeron en el estudio del conjunto de Mandelbrot de Douady y Hubbard .

Tipos

Criterios de clasificación:

• plano : parámetro o dinámico
• mapa
• bifurcación de rayos dinámicos
• Extensión
• aterrizaje ^[2]

avión

Los rayos externos de los conjuntos de Julia (conectados) en el plano dinámico a menudo se denominan rayos dinámicos .

Los rayos externos del conjunto de Mandelbrot (y lugares de conectividad unidimensional similares ) en el plano de parámetros se denominan rayos de parámetros .

bifurcación

El rayo dinámico puede ser:

• bifurcado = ramificado ^[3] = roto ^[4]
• suave = sin ramificaciones = sin interrupciones

Cuando el conjunto de Julia lleno es conexo, no hay rayos externos que se ramifiquen. Cuando el conjunto de Julia no es conexo, entonces se ramifican algunos rayos externos. ^[5]

extensión

Los rayos de estiramiento fueron introducidos por Branner y Hubbard: ^{[6] [7]}

"La noción de rayos extensibles es una generalización de la de rayos externos para el conjunto de Mandelbrot a polinomios de grado superior". ^[8]

aterrizaje

Cada rayo de parámetro racional del conjunto de Mandelbrot cae en un único parámetro. ^{[9] [10]}

Mapas

Polinomios

Plano dinámico = plano z

Los rayos externos están asociados a un subconjunto compacto , completo y conexo del plano complejo como: ${\displaystyle K\,}$

• las imágenes de rayos radiales bajo el mapa de Riemann del complemento de ${\displaystyle K\,}$
• las líneas de gradiente de la función de Green de ${\displaystyle K\,}$
• Líneas de campo del potencial Douady-Hubbard ^[11]
• una curva integral del campo vectorial gradiente de la función de Green en la vecindad del infinito ^[12]

Los rayos externos junto con las líneas equipotenciales del potencial Douady-Hubbard (conjuntos de niveles) forman un nuevo sistema de coordenadas polares para el exterior ( complemento ) de . ${\displaystyle K\,}$

En otras palabras, los rayos externos definen la foliación vertical que es ortogonal a la foliación horizontal definida por los conjuntos de niveles de potencial. ^[13]

Uniformización

Sea el isomorfismo conforme del complemento (exterior) del disco unitario cerrado al complemento del conjunto de Julia lleno . ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \ K_{c}}$

${\displaystyle \Psi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$

donde denota el plano complejo extendido . Sea α la función de Boettcher . ^[14] es una función uniformizadora de la cuenca de atracción del infinito, porque se conjuga en el complemento del conjunto de Julia lleno con en el complemento del disco unitario: ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,}$ ${\displaystyle \Phi _{c}\,}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle K_{c}}$ ${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim _{n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \Phi _{c}\circ f_{c}\circ \Phi _{c}^{-1}=f_{0}}$

Un valor se llama coordenada de Boettcher para un punto . ${\displaystyle w=\Phi _{c}(z)}$ ${\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$

Definición formal de rayo dinámico

Sistema de coordenadas polares y para ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c=-2}$

El rayo externo del ángulo se denomina : ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}}$

• La imagen debajo de líneas rectas ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• Conjunto de puntos del exterior del conjunto de Julia rellenado con el mismo ángulo externo ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}}$

Propiedades

El rayo externo para un ángulo periódico satisface: ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle f({\mathcal {R}}_{\theta }^{K})={\mathcal {R}}_{2\theta }^{K}}$

y su punto de aterrizaje ^[15] satisface: ${\displaystyle \gamma _{f}(\theta )}$

${\displaystyle f(\gamma _{f}(\theta ))=\gamma _{f}(2\theta )}$

Plano de parámetros = plano c

"Los rayos de parámetros son simplemente las curvas que corren perpendiculares a las curvas equipotenciales del conjunto M". ^[16]

Uniformización

Límite del conjunto de Mandelbrot como imagen del círculo unitario bajo ${\displaystyle \Psi _{M}\,}$

Uniformización del complemento (exterior) del conjunto de Mandelbrot

Sea la aplicación del complemento (exterior) del disco unitario cerrado al complemento del conjunto de Mandelbrot . ^[17] ${\displaystyle \Psi _{M}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \ M}$

${\displaystyle \Psi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

y el mapa de Boettcher (función) , que es un mapa uniformizador ^[18] del complemento del conjunto de Mandelbrot, porque conjuga el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento (exterior) del disco unitario cerrado ${\displaystyle \Phi _{M}\,}$ ${\displaystyle \ M}$

${\displaystyle \Phi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

Se puede normalizar de modo que:

${\displaystyle {\frac {\Phi _{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,}$^[19]

dónde :

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$denota el plano complejo extendido

La función de Jungreis es la inversa del mapa uniformizante : ${\displaystyle \Psi _{M}\,}$

${\displaystyle \Psi _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,}$

En el caso de un polinomio cuadrático complejo, se puede calcular este mapa utilizando series de Laurent alrededor del infinito ^{[20] [21]}

${\displaystyle c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,}$

dónde

${\displaystyle c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

${\displaystyle w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

Definición formal del parámetro rayo

El rayo externo del ángulo es: ${\displaystyle \theta \,}$

• La imagen debajo de líneas rectas ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• Conjunto de puntos del exterior del conjunto de Mandelbrot con el mismo ángulo externo ^[22] ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\{c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}}$

Definición del mapa de Boettcher

Douady y Hubbard definen:

${\displaystyle \Phi _{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi _{c}(z=c)\,}$

Por lo tanto, el ángulo externo del punto del plano de parámetro es igual al ángulo externo del punto del plano dinámico. ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle z=c\,}$

Angulo externo

• 
  recogiendo pedacitos hacia afuera
• 
  Descomposición binaria del plano circular desenrollado
• 
  Descomposición binaria del plano dinámico para f(z) = z^2

El ángulo θ se denomina ángulo externo ( argumento ). ^[23]

Los valores principales de los ángulos externos se miden en vueltas módulo 1

1 vuelta = 360 grados = 2 × π radianes

Comparar diferentes tipos de ángulos:

• externo (punto del exterior del conjunto)
• interno (punto del interior del componente)
• simple ( argumento de un número complejo )

Cálculo del argumento externo

• argumento de la coordenada de Böttcher como argumento externo ^[24]
  • ${\displaystyle \arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))}$
  • ${\displaystyle \arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))}$
• secuencia de amasado como expansión binaria del argumento externo ^{[25] [26] [27]}

Mapas trascendentales

Para los mapas trascendentales (por ejemplo, exponenciales ), el infinito no es un punto fijo sino una singularidad esencial y no existe isomorfismo de Boettcher . ^{[28] [29]}

Aquí el rayo dinámico se define como una curva:

• conectando un punto en un conjunto que escapa y el infinito ^{[ aclaración necesaria ]}
• acostado en un escenario en fuga

Imágenes

Rayos dinámicos

• sin ramificar
• 
  Julia se prepara para aterrizar con 2 rayos externos en el punto fijo repelente alfa ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}-1}$
• 
  Conjunto de Julia y 3 rayos externos que inciden en un punto fijo ${\displaystyle \alpha _{c}\,}$
• 
  Rayos externos dinámicos que aterrizan en un ciclo de período de repulsión de 3 ciclos y 3 rayos internos que aterrizan en un punto fijo ${\displaystyle \alpha _{c}\,}$
• 
  Conjunto Julia con rayos externos aterrizando en órbita de periodo 3
• Rayos que inciden sobre un punto fijo parabólico durante períodos de 2 a 40

• ramificado
• 
  Rayo dinámico ramificado

Rayos de parámetros

Conjunto de Mandelbrot para polinomios cuadráticos complejos con rayos de parámetros de puntos raíz

• 
  Rayos externos para ángulos de la forma: n / ( 2 ¹ - 1) (0/1; 1/1) que aterrizan en el punto c = 1/4, que es la cúspide del cardioide principal (componente del período 1)
• 
  Rayos externos para ángulos de la forma: n / ( 2 ² - 1) (1/3, 2/3) que caen en el punto c = - 3/4, que es el punto raíz del componente del período 2
• 
  Rayos externos para ángulos de la forma: n / ( 2 ³ - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) que caen en el punto c = -1,75 = -7/4 (5/7,6/7) que caen en los puntos raíces de los componentes del período 3.
• 
  Rayos externos para ángulos de la forma: n / ( 2 ⁴ - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) que aterrizan en el punto raíz c = -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) que aterrizan en los puntos raíces de los componentes del período 4.
• 
  Rayos externos para ángulos de forma: n / (2 ⁵ - 1) que aterrizan en los puntos de raíz de los componentes del período 5

• 
  rayo interno del cardioide principal del ángulo 1/3: comienza en el centro del cardioide principal c=0, termina en el punto raíz del componente del período 3, que es el punto de aterrizaje de los rayos paramétricos (externos) de los ángulos 1/7 y 2/7
• 
  Rayo interno para el ángulo 1/3 del cardioide principal formado por un mapa conforme del círculo unitario

• 
  Mini conjunto de Mandelbrot con período 134 y 2 rayos externos
• 
• 
• 
• 
  Estelas cerca de la isla del periodo 3
• 
  Estelas a lo largo de la antena principal

Espacio de parámetros de la familia exponencial compleja f(z)=exp(z)+c . Se dibujan en negro ocho rayos de parámetros que inciden en este parámetro.

Programas que pueden dibujar rayos externos

• Mandel - programa de Wolf Jung escrito en C++ usando Qt con código fuente disponible bajo la Licencia Pública General de GNU
  • Applets de Java de Evgeny Demidov (el código de la función mndlbrot::turn de Wolf Jung se ha portado a Java) con código fuente gratuito
  • ezfract de Michael Sargent, utiliza el código de Wolf Jung
• OTIS de Tomoki KAWAHIRA: subprograma Java sin código fuente
• Programa Spider XView de Yuval Fisher
• YABMP por el profesor Eugene Zaustinsky Archivado el 15 de junio de 2006 en Wayback Machine para DOS sin código fuente
• DH_Drawer Archivado el 21 de octubre de 2008 en Wayback Machine por Arnaud Chéritat escrito para Windows 95 sin código fuente
• Programas de Linas Vepstas en C para consola Linux con código fuente
• Programa Julia de Curtis T. McMullen escrito en C y comandos de Linux para la consola C shell con código fuente
• Programa mjwinq de Matjaz Erat escrito en delphi/windows sin código fuente (para los rayos externos utiliza los métodos de quad.c en julia.tar de Curtis T McMullen)
• RatioField de Gert Buschmann, para Windows con código fuente Pascal para Dev-Pascal 1.9.2 (con compilador Free Pascal )
• Programa de Mandelbrot de Milan Va, escrito en Delphi con código fuente
• Poder MANDELZOOM de Robert Munafo
• Ruff de Claude Heiland-Allen

Véase también

• rayos externos del punto Misiurewicz
• Retrato en órbita
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas
• Constante Prouhet-Thue-Morse
• Teorema de Carathéodory
• Líneas de campo de los conjuntos de Julia

Referencias

1. J. Kiwi: Rayos racionales y retratos críticos de polinomios complejos. Tesis de doctorado SUNY en Stony Brook (1997); preimpresión IMS n.° 1997/15. Archivado el 5 de noviembre de 2004 en Wayback Machine.
2. Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2016). "Rayos de parámetros de no aterrizaje de los multicorns". Invenciones Mathematicae . 204 (3): 869–893. arXiv : 1406.3428 . Código Bib :2016InMat.204..869I. doi :10.1007/s00222-015-0627-3. S2CID  253746781.
3. Atela, Pau (1992). "Bifurcaciones de rayos dinámicos en polinomios complejos de grado dos". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 12 (3): 401–423. doi :10.1017/S0143385700006854. S2CID  123478692.
4. Petersen, Carsten L.; Zakeri, Saeed (2020). "Puntos periódicos y rayos suaves". arXiv : 2009.02788 [math.DS].
5. Dinámica holomorfa: sobre la acumulación de rayos extensibles, de Pia BN Willumsen, véase la página 12
6. La iteración de polinomios cúbicos Parte I: La topología global de parámetros por BODIL BRANNER y JOHN H. HUBBARD
7. Estiramiento de rayos para polinomios cúbicos por Pascale Roesch
8. Komori, Yohei; Nakane, Shizuo (2004). "Propiedad de aterrizaje de rayos de estiramiento para polinomios cúbicos reales" (PDF) . Geometría conforme y dinámica . 8 (4): 87–114. Bibcode :2004CGDAM...8...87K. doi :10.1090/s1088-4173-04-00102-x.
9. A. Douady, J. Hubbard: Etude dynamique des polynˆomes complexes. Publicaciones math´ematiques d'Orsay 84-02 (1984) (premi`ere partie) y 85-04 (1985) (deuxi`eme partie).
10. Schleicher, Dierk (1997). "Rayos de parámetros racionales del conjunto de Mandelbrot". arXiv : math/9711213 .
11. Vídeo: La belleza y complejidad del conjunto de Mandelbrot de John Hubbard (ver parte 3)
12. Yunping Jing: Conectividad local del conjunto de Mandelbrot en ciertos puntos infinitamente renormalizables. Dinámica compleja y temas relacionados, Nuevos estudios en matemáticas avanzadas, 2004, The International Press, 236-264.
13. CUENCAS POLINOMIALES DEL INFINITO LAURA DEMARCO Y KEVIN M. PILGRIM
14. Cómo dibujar rayos externos por Wolf Jung
15. Teselación y laminaciones de Lyubich-Minsky asociadas a mapas cuadráticos I: Semiconjugaciones de pinzamiento Tomoki Kawahira Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
16. Rayos paramétricos de Douady Hubbard por Linas Vepstas
17. John H. Ewing, Glenn Schober, El área del conjunto de Mandelbrot
18. Irwin Jungreis: La uniformización del complemento del conjunto de Mandelbrot. Duke Math. J. Volumen 52, Número 4 (1985), 935-938.
19. Adrien Douady, John Hubbard, Etudes dynamique des polynomes complexes I y II, Publ. Matemáticas. Orsay. (1984-85) (Las notas de Orsay)
20. Bielefeld, B.; Fisher, Y.; Vonhaeseler, F. (1993). "Cálculo de la serie de Laurent de la función Ψ: C − D → C − M". Avances en Matemáticas Aplicadas . 14 : 25–38. doi : 10.1006/aama.1993.1002 .
21. Weisstein, Eric W. "Conjunto de Mandelbrot". De MathWorld, un recurso web de Wolfram
22. Un algoritmo para dibujar rayos externos del conjunto de Mandelbrot de Tomoki Kawahira
23. http://www.mrob.com/pub/muency/externalangle.html Ángulo externo en Mu-ENCY (la enciclopedia del conjunto de Mandelbrot) por Robert Munafo
24. Cálculo del argumento externo de Wolf Jung
25. A. DOUADY, Algoritmos para calcular ángulos en el conjunto de Mandelbrot (Chaotic Dynamics and Fractals, ed. Barnsley y Demko, Acad. Press, 1986, págs. 155-168).
26. Adrien Douady, John H. Hubbard: Explorando el conjunto de Mandelbrot. Las notas de Orsay. página 58
27. Explotando el corazón oscuro del caos por Chris King del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Auckland
28. Dinámica topológica de funciones completas por Helena Mihaljevic-Brandt
29. Rayos dinámicos de funciones completas y su comportamiento de aterrizaje por Helena Mihaljevic-Brandt

• Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Dinámica compleja , Springer 1993
• Adrien Douady y John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
• John W. Milnor, Órbitas periódicas, rayos externos y el conjunto de Mandelbrot: una explicación expositiva ; Géométrie complexe et systèmes dynamiques (Orsay, 1995), Astérisque No. 261 (2000), 277–333. (Apareció por primera vez como preimpresión de Stony Brook IMS en 1999, disponible como arXiV:math.DS/9905169.)
• John Milnor , Dinámica en una variable compleja , Tercera edición, Princeton University Press, 2006, ISBN 0-691-12488-4 
• Wolf Jung: Homeomorfismos en las aristas del conjunto de Mandelbrot. Tesis doctoral de 2002

Enlaces externos

• Potencial de Hubbard Douady, Líneas de campo por Inigo Quilez ^{[ enlace muerto permanente ]}
• Rayos internos entrelazados en conjuntos de Julia de mapas racionales por Robert L. Devaney
• Extensión de rayos externos a lo largo de los conjuntos de Julia de mapas racionales por Robert L. Devaney con Figen Cilingir y Elizabeth D. Russell
• Presentación de John Hubbard, La belleza y complejidad del conjunto de Mandelbrot, parte 3.1 Archivado el 26 de febrero de 2008 en Wayback Machine.
• vídeos de ImpoliteFruit
• Milan Va. "Dibujo de conjunto de Mandelbrot" . Consultado el 15 de junio de 2009 .^{[ enlace muerto permanente ]}