En mecánica celeste , los puntos de Lagrange ( / l ə ˈ ɡ r ɑː n dʒ / ; también puntos de Lagrange o puntos de libración ) son puntos de equilibrio para objetos de pequeña masa bajo la influencia gravitacional de dos cuerpos masivos en órbita . Matemáticamente, esto implica la solución del problema restringido de los tres cuerpos . [1]
Normalmente, los dos cuerpos masivos ejercen una fuerza gravitacional desequilibrada en un punto, alterando la órbita de lo que sea que se encuentre en ese punto. En los puntos de Lagrange se equilibran las fuerzas gravitacionales de los dos grandes cuerpos y la fuerza centrífuga . [2] Esto puede hacer que los puntos de Lagrange sean una ubicación excelente para los satélites, ya que las correcciones de órbita y, por lo tanto, los requisitos de combustible necesarios para mantener la órbita deseada se mantienen al mínimo.
Para cualquier combinación de dos cuerpos orbitales, hay cinco puntos de Lagrange, L 1 a L 5 , todos en el plano orbital de los dos cuerpos grandes. Hay cinco puntos de Lagrange para el sistema Sol-Tierra y cinco puntos de Lagrange diferentes para el sistema Tierra-Luna. L 1 , L 2 y L 3 están en la línea que pasa por los centros de los dos cuerpos grandes, mientras que L 4 y L 5 actúan cada uno como el tercer vértice de un triángulo equilátero formado con los centros de los dos cuerpos grandes.
Cuando la relación de masa de los dos cuerpos es lo suficientemente grande, los puntos L 4 y L 5 son puntos estables, lo que significa que los objetos pueden orbitar alrededor de ellos y que tienen tendencia a atraer objetos hacia ellos. Varios planetas tienen asteroides troyanos cerca de sus puntos L 4 y L 5 con respecto al Sol; Júpiter tiene más de un millón de estos troyanos.
Algunos puntos de Lagrange se utilizan para la exploración espacial. Dos puntos de Lagrange importantes en el sistema Sol-Tierra son L 1 , entre el Sol y la Tierra, y L 2 , en la misma línea en el lado opuesto de la Tierra; ambos están muy fuera de la órbita de la Luna. Actualmente, un satélite artificial llamado Observatorio Climático del Espacio Profundo (DSCOVR) está ubicado en L 1 para estudiar el viento solar que viene hacia la Tierra desde el Sol y monitorear el clima de la Tierra, tomando imágenes y enviándolas de regreso. [3] El telescopio espacial James Webb , un potente observatorio espacial infrarrojo, está situado en L 2 . [4] Esto permite que el gran parasol del satélite proteja el telescopio de la luz y el calor del Sol, la Tierra y la Luna. Los puntos de Lagrange L 1 y L 2 se encuentran a unos 1.500.000 km (930.000 millas) de la Tierra.
El anterior telescopio Gaia de la Agencia Espacial Europea y su recién lanzado Euclid también ocupan órbitas alrededor de L 2 . Gaia mantiene una órbita de Lissajous más estrecha alrededor de L 2 , mientras que Euclid sigue una órbita de halo similar a JWST. Cada uno de los observatorios espaciales se beneficia de estar lo suficientemente lejos de la sombra de la Tierra como para utilizar paneles solares como fuente de energía, de no necesitar mucha energía o propulsor para mantenerse en posición, de no estar sujeto a los efectos magnetosféricos de la Tierra y de tener una línea de visión directa. vista a la Tierra para la transferencia de datos.
Los tres puntos colineales de Lagrange (L 1 , L 2 , L 3 ) fueron descubiertos por el matemático suizo Leonhard Euler alrededor de 1750, una década antes de que Joseph-Louis Lagrange, nacido en Italia, descubriera los dos restantes. [5] [6]
En 1772, Lagrange publicó un "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos ". En el primer capítulo consideró el problema general de los tres cuerpos. A partir de eso, en el segundo capítulo, demostró dos soluciones especiales de patrón constante , la colineal y la equilátera, para tres masas cualesquiera, con órbitas circulares . [7]
Los cinco puntos de Lagrange están etiquetados y definidos de la siguiente manera:
El punto L 1 se encuentra en la línea definida entre las dos grandes masas M 1 y M 2 . Es el punto donde la atracción gravitacional de M 2 y la de M 1 se combinan para producir un equilibrio. Un objeto que orbita el Sol más cerca que la Tierra normalmente tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de la atracción gravitacional de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces la gravedad de la Tierra contrarresta parte de la atracción del Sol sobre el objeto, aumentando el período orbital del objeto. Cuanto más cerca de la Tierra esté el objeto, mayor será este efecto. En el punto L 1 , el período orbital del objeto se vuelve exactamente igual al período orbital de la Tierra. L 1 está a unos 1,5 millones de kilómetros, o 0,01 ua , de la Tierra en dirección al Sol. [1]
El punto L 2 se encuentra en la línea que pasa por las dos masas grandes más allá de la más pequeña de las dos. Aquí, las fuerzas gravitacionales combinadas de las dos grandes masas equilibran la fuerza centrífuga sobre un cuerpo en L 2 . En el lado opuesto de la Tierra al Sol, el período orbital de un objeto normalmente sería mayor que el de la Tierra. La atracción adicional de la gravedad de la Tierra disminuye el período orbital del objeto y, en el punto L 2 , ese período orbital se vuelve igual al de la Tierra. Al igual que L 1 , L 2 está a aproximadamente 1,5 millones de kilómetros o 0,01 au de la Tierra (lejos del sol). Un ejemplo de nave espacial en L 2 es el Telescopio Espacial James Webb , diseñado para operar cerca de la Tierra-Sol L 2 . [8] Los ejemplos anteriores incluyen la sonda de anisotropía de microondas Wilkinson y su sucesora, Planck .
El punto L 3 se encuentra en la línea definida por las dos masas grandes, más allá de la mayor de las dos. Dentro del sistema Sol-Tierra, el punto L 3 existe en el lado opuesto del Sol, un poco fuera de la órbita de la Tierra y un poco más lejos del centro del Sol que la Tierra. Esta ubicación se produce porque el Sol también se ve afectado por la gravedad de la Tierra y, por lo tanto, orbita alrededor del baricentro de los dos cuerpos , que se encuentra dentro del cuerpo del Sol. Un objeto a la distancia de la Tierra del Sol tendría un período orbital de un año si solo se considera la gravedad del Sol. Pero un objeto en el lado opuesto del Sol desde la Tierra y directamente en línea con ambos "siente" que la gravedad de la Tierra se suma ligeramente a la del Sol y, por lo tanto, debe orbitar un poco más lejos del baricentro de la Tierra y el Sol para tener la misma 1- período del año. Es en el punto L 3 donde la atracción combinada de la Tierra y el Sol hace que el objeto orbite con el mismo período que la Tierra, orbitando de hecho una masa Tierra+Sol con el baricentro Tierra-Sol en un foco de su órbita.
Los puntos L 4 y L 5 se encuentran en los terceros vértices de los dos triángulos equiláteros en el plano de órbita cuya base común es la línea entre los centros de las dos masas, de modo que el punto se encuentra 60° por delante de (L 4 ) o detrás (L 5 ) la masa más pequeña con respecto a su órbita alrededor de la masa más grande.
Los puntos triangulares (L 4 y L 5 ) son equilibrios estables, siempre que la relación dem 1/m2es mayor que 24,96. [nota 1] Este es el caso del sistema Sol-Tierra, el sistema Sol-Júpiter y, por un margen menor, el sistema Tierra-Luna. Cuando un cuerpo en estos puntos se perturba, se aleja del punto, pero el factor opuesto al que aumenta o disminuye por la perturbación (ya sea la gravedad o la velocidad inducida por el momento angular) también aumentará o disminuirá, desviando la trayectoria del objeto. en una órbita estable en forma de frijol alrededor del punto (como se ve en el marco de referencia en rotación). [9]
Los puntos L 1 , L 2 y L 3 son posiciones de equilibrio inestable . Cualquier objeto que orbite en L 1 , L 2 o L 3 tenderá a salirse de su órbita; por lo tanto, es raro encontrar objetos naturales allí, y las naves espaciales que habitan estas áreas deben emplear una cantidad pequeña pero crítica de mantenimiento de la posición para mantener su posición.
Debido a la estabilidad natural de L 4 y L 5 , es común que se encuentren objetos naturales orbitando en esos puntos de Lagrange de los sistemas planetarios. Los objetos que habitan en esos puntos se denominan genéricamente ' troyanos ' o 'asteroides troyanos'. El nombre deriva de los nombres que se daban a los asteroides descubiertos orbitando en los puntos Sol- Júpiter L 4 y L 5 , que fueron tomados de personajes mitológicos que aparecen en la Ilíada de Homero , un poema épico ambientado durante la Guerra de Troya . Los asteroides en el punto L 4 , delante de Júpiter, reciben el nombre de personajes griegos de la Ilíada y se denominan " campo griego ". Los que se encuentran en el punto L 5 llevan el nombre de caracteres troyanos y se denominan " campo troyano ". Ambos campos se consideran tipos de cuerpos troyanos.
Como el Sol y Júpiter son los dos objetos más masivos del Sistema Solar, se conocen más troyanos Sol-Júpiter que cualquier otro par de cuerpos. Sin embargo, se conoce un número menor de objetos en los puntos de Lagrange de otros sistemas orbitales:
Los objetos que se encuentran en órbitas de herradura a veces se describen erróneamente como troyanos, pero no ocupan puntos de Lagrange. Los objetos conocidos en órbitas de herradura incluyen 3753 Cruithne con la Tierra y las lunas de Saturno Epimeteo y Jano .
Los puntos de Lagrange son las soluciones de patrón constante del problema restringido de los tres cuerpos . Por ejemplo, dados dos cuerpos masivos en órbitas alrededor de su baricentro común , hay cinco posiciones en el espacio donde se podría colocar un tercer cuerpo, de masa comparativamente insignificante , para mantener su posición relativa a los dos cuerpos masivos. Esto ocurre porque las fuerzas gravitacionales combinadas de los dos cuerpos masivos proporcionan la fuerza centrípeta exacta necesaria para mantener el movimiento circular que coincide con su movimiento orbital.
Alternativamente, cuando se ve en un sistema de referencia giratorio que coincide con la velocidad angular de los dos cuerpos en órbita coorbitante, en los puntos de Lagrange los campos gravitacionales combinados de dos cuerpos masivos equilibran la pseudofuerza centrífuga , permitiendo que el tercer cuerpo más pequeño permanezca estacionario ( en este cuadro) con respecto a los dos primeros.
La ubicación de L 1 es la solución a la siguiente ecuación, donde la gravitación proporciona la fuerza centrípeta:
También podemos escribir esto como:
Esta distancia se puede describir como tal que el período orbital , correspondiente a una órbita circular con esta distancia como radio alrededor de M 2 en ausencia de M 1 , es el de M 2 alrededor de M 1 , dividido por √ 3 ≈ 1,73:
La ubicación de L 2 es la solución de la siguiente ecuación, donde la gravitación proporciona la fuerza centrípeta:
Nuevamente, si la masa del objeto más pequeño ( M 2 ) es mucho más pequeña que la masa del objeto más grande ( M 1 ), entonces L 2 está aproximadamente en el radio de la esfera de Hill , dado por:
Se aplican las mismas observaciones sobre la influencia de las mareas y el tamaño aparente que para el punto L 1 . Por ejemplo, el radio angular del sol visto desde L 2 es arcsen(695,5 × 10 3/151,1 × 10 6) ≈ 0,264°, mientras que el de la Tierra es arcosen(6371/1,5 × 10 6) ≈ 0,242°. Mirando hacia el sol desde L 2 se ve un eclipse anular . Es necesario que una nave espacial, como Gaia , siga una órbita de Lissajous o una órbita de halo alrededor de L 2 para que sus paneles solares reciban pleno sol.
La ubicación de L 3 es la solución a la siguiente ecuación, donde la gravitación proporciona la fuerza centrípeta:
Así, la distancia de L 3 al objeto más grande es menor que la separación de los dos objetos (aunque la distancia entre L 3 y el baricentro es mayor que la distancia entre el objeto más pequeño y el baricentro).
La razón por la que estos puntos están en equilibrio es que en L 4 y L 5 las distancias a las dos masas son iguales. En consecuencia, las fuerzas gravitacionales de los dos cuerpos masivos están en la misma proporción que las masas de los dos cuerpos, por lo que la fuerza resultante actúa a través del baricentro del sistema; Además, la geometría del triángulo asegura que la aceleración resultante sea la distancia desde el baricentro en la misma proporción que para los dos cuerpos masivos. Siendo el baricentro al mismo tiempo el centro de masa y el centro de rotación del sistema de tres cuerpos, esta fuerza resultante es exactamente la requerida para mantener el cuerpo más pequeño en el punto de Lagrange en equilibrio orbital con los otros dos cuerpos más grandes del sistema (de hecho, el tercer cuerpo debe tener una masa insignificante). La configuración triangular general fue descubierta por Lagrange trabajando en el problema de los tres cuerpos .
La aceleración radial a de un objeto en órbita en un punto a lo largo de la línea que pasa por ambos cuerpos está dada por:
Aunque los puntos L 1 , L 2 y L 3 son nominalmente inestables, existen órbitas periódicas cuasi estables llamadas órbitas de halo alrededor de estos puntos en un sistema de tres cuerpos. Un sistema dinámico completo de n cuerpos , como el Sistema Solar, no contiene estas órbitas periódicas, pero sí contiene órbitas cuasi periódicas (es decir, limitadas pero que no se repiten con precisión) que siguen trayectorias de curvas de Lissajous . Estas órbitas de Lissajous cuasi periódicas son las que han utilizado hasta ahora la mayoría de las misiones espaciales de punto Lagrangiano. Aunque no son perfectamente estables, un modesto esfuerzo de mantenimiento de la posición mantiene una nave espacial en la órbita de Lissajous deseada durante mucho tiempo.
Para las misiones Sol-Tierra-L 1 , es preferible que la nave espacial esté en una órbita de Lissajous de gran amplitud (100 000-200 000 km o 62 000-124 000 millas) alrededor de L 1 que permanecer en L 1 , porque la línea entre el Sol y la Tierra ha aumentado la interferencia solar en las comunicaciones entre la Tierra y las naves espaciales. De manera similar, una órbita de Lissajous de gran amplitud alrededor de L 2 mantiene una sonda fuera de la sombra de la Tierra y, por lo tanto, asegura una iluminación continua de sus paneles solares.
Los puntos L4 y L5 son estables siempre que la masa del cuerpo primario (por ejemplo, la Tierra) sea al menos 25 [nota 1] veces la masa del cuerpo secundario (por ejemplo, la Luna), [21] [22] La Tierra es más de 81 veces la masa de la Luna (la Luna tiene el 1,23% de la masa de la Tierra [23] ). Aunque los puntos L 4 y L 5 se encuentran en la cima de una "colina", como en el gráfico de contorno de potencial efectivo anterior, son, no obstante, estables. La razón de la estabilidad es un efecto de segundo orden: cuando un cuerpo se aleja de la posición exacta de Lagrange, la aceleración de Coriolis (que depende de la velocidad de un objeto en órbita y no se puede modelar como un mapa de contorno) [22] curva la trayectoria. en un camino alrededor (en lugar de alejarse) del punto. [22] [24] Debido a que la fuente de estabilidad es la fuerza de Coriolis, las órbitas resultantes pueden ser estables, pero generalmente no son planas, sino "tridimensionales": se encuentran sobre una superficie deformada que cruza el plano de la eclíptica. Las órbitas en forma de riñón que normalmente se muestran anidadas alrededor de L 4 y L 5 son proyecciones de las órbitas en un plano (por ejemplo, la eclíptica) y no las órbitas tridimensionales completas.
Esta tabla enumera valores de muestra de L 1 , L 2 y L 3 dentro del Sistema Solar. Los cálculos suponen que los dos cuerpos orbitan en un círculo perfecto con una separación igual al semieje mayor y que no hay otros cuerpos cerca. Las distancias se miden desde el centro de masa del cuerpo más grande (pero ver baricentro especialmente en el caso de la Luna y Júpiter) con L 3 mostrando una dirección negativa. Las columnas de porcentaje muestran la distancia desde la órbita en comparación con el semieje mayor. Por ejemplo, para la Luna, L 1 es326.400 km del centro de la Tierra, que es el 84,9% de la distancia Tierra-Luna o el 15,1% "frente" (hacia la Tierra desde) la Luna; L 2 se encuentra448.900 km del centro de la Tierra, que es el 116,8% de la distancia Tierra-Luna o el 16,8% más allá de la Luna; y L 3 se encuentra−381 700 km del centro de la Tierra, que es el 99,3% de la distancia Tierra-Luna o el 0,7084% dentro (hacia la Tierra) de la posición "negativa" de la Luna.
Sol-Tierra L 1 es adecuado para realizar observaciones del sistema Sol-Tierra. Los objetos aquí nunca están sombreados por la Tierra o la Luna y, si se observa la Tierra, siempre se ve el hemisferio iluminado por el sol. La primera misión de este tipo fue la misión International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) de 1978, utilizada como monitor interplanetario de alerta temprana de tormentas para perturbaciones solares. [25] Desde junio de 2015, DSCOVR ha orbitado el punto L 1 . Por el contrario, también es útil para los telescopios solares espaciales , porque proporciona una vista ininterrumpida del Sol y cualquier clima espacial (incluido el viento solar y las eyecciones de masa coronal ) alcanza L 1 hasta una hora antes que la Tierra. Las misiones solares y heliosféricas ubicadas actualmente alrededor de L 1 incluyen el Observatorio Solar y Heliosférico , la Misión Wind , Aditya-L1 y el Explorador de Composición Avanzada . Las misiones planificadas incluyen la Sonda de Aceleración y Cartografía Interestelar (IMAP) y el NEO Surveyor .
Sol-Tierra L 2 es un buen lugar para observatorios espaciales. Como un objeto alrededor de L 2 mantendrá la misma posición relativa con respecto al Sol y la Tierra, el blindaje y la calibración son mucho más sencillos. Sin embargo, está ligeramente más allá del alcance de la umbra de la Tierra , [26] por lo que la radiación solar no está completamente bloqueada en L 2 . Las naves espaciales generalmente orbitan alrededor de L 2 , evitando eclipses parciales de Sol para mantener una temperatura constante. Desde lugares cercanos a L 2 , el Sol, la Tierra y la Luna están relativamente juntos en el cielo; Esto significa que una gran sombrilla con el telescopio en el lado oscuro puede permitir que el telescopio se enfríe pasivamente a unos 50 K; esto es especialmente útil para la astronomía infrarroja y las observaciones del fondo cósmico de microondas . El telescopio espacial James Webb se colocó en una órbita de halo alrededor de L 2 el 24 de enero de 2022.
Sol-Tierra L 1 y L 2 son puntos silla y exponencialmente inestables con una constante de tiempo de aproximadamente 23 días. Los satélites en estos puntos se alejarán en unos pocos meses a menos que se hagan correcciones en su rumbo. [9]
Sol-Tierra L 3 era un lugar popular para colocar una " Contra-Tierra " en la ciencia ficción pulp y en los cómics , a pesar de que la existencia de un cuerpo planetario en este lugar se había entendido como una imposibilidad debido a la mecánica orbital y las perturbaciones. La existencia de planetas en órbitas mutuas llegó a entenderse mucho antes de la era espacial; la influencia de un cuerpo del tamaño de la Tierra sobre otros planetas no habría pasado desapercibida, ni tampoco el hecho de que los focos de la elipse orbital de la Tierra no hubieran estado en sus lugares esperados, debido a la masa de la contra-Tierra. El Sol-Tierra L 3 , sin embargo, es un punto de silla débil y exponencialmente inestable con una constante de tiempo de aproximadamente 150 años. [9] Además, no podría contener un objeto natural, grande o pequeño, durante mucho tiempo porque las fuerzas gravitacionales de los otros planetas son más fuertes que las de la Tierra (por ejemplo, Venus se acerca a 0,3 AU de este L 3 cada 20 meses). ). [ cita necesaria ]
Una nave espacial que orbite cerca del Sol-Tierra L 3 podría monitorear de cerca la evolución de las regiones de manchas solares activas antes de que giren a una posición geoefectiva, de modo que el Centro de Predicción del Tiempo Espacial de la NOAA podría emitir una alerta temprana de siete días . Además, un satélite cerca del Sol-Tierra L 3 proporcionaría observaciones muy importantes no sólo para los pronósticos de la Tierra, sino también para el apoyo al espacio profundo (predicciones de Marte y para misiones tripuladas a asteroides cercanos a la Tierra ). En 2010, se estudiaron las trayectorias de transferencia de naves espaciales al Sol-Tierra L 3 y se consideraron varios diseños. [27]
Tierra-Luna L 1 permite un acceso comparativamente fácil a las órbitas lunar y terrestre con un cambio mínimo en la velocidad y esto tiene la ventaja de posicionar una estación espacial habitable destinada a ayudar a transportar carga y personal a la Luna y viceversa. La misión SMART-1 [28] pasó por el punto Lagrangiano L 1 el 11 de noviembre de 2004 y entró en la zona dominada por la influencia gravitacional de la Luna .
Earth-Moon L 2 se ha utilizado para un satélite de comunicaciones que cubre la cara oculta de la Luna, por ejemplo, Queqiao , lanzado en 2018, [29] y sería "un lugar ideal" para un depósito de propulsor como parte del proyecto basado en depósitos. Arquitectura del transporte espacial. [30]
Tierra-Luna L 4 y L 5 son las ubicaciones de las nubes de polvo de Kordylewski . [31] El nombre de la Sociedad L5 proviene de los puntos Lagrangianos L 4 y L 5 en el sistema Tierra-Luna propuestos como ubicaciones para sus enormes hábitats espaciales giratorios. Ambas posiciones también se proponen para los satélites de comunicaciones que cubren la Luna, del mismo modo que los satélites de comunicaciones en órbita geosincrónica cubren la Tierra. [32] [33]
Los científicos de la Fundación B612 estaban [34] planeando utilizar el punto L 3 de Venus para posicionar su planeado telescopio Sentinel , cuyo objetivo era mirar hacia la órbita de la Tierra y compilar un catálogo de asteroides cercanos a la Tierra . [35]
En 2017, en una conferencia de la NASA se discutió la idea de colocar un escudo dipolo magnético en el punto L 1 Sol-Marte para usarlo como magnetosfera artificial para Marte. [36] La idea es que esto protegería la atmósfera del planeta de la radiación del Sol y los vientos solares.
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se encuentra en el espacio profundo, lejos de cualquier superficie planetaria y, por lo tanto, los entornos térmicos, de micrometeoritos y de oxígeno atómico son muy superiores a los de LEO. La estasis termodinámica y una mayor vida útil del hardware son mucho más fáciles de obtener sin estas duras condiciones que se ven en LEO. L
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no es sólo una gran puerta de entrada: es un gran lugar para almacenar propulsores. ... L
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es un lugar ideal para almacenar propulsores y cargas: está cerca, tiene mucha energía y es frío. Más importante aún, permite el movimiento continuo de propulsores desde los depósitos LEO, suprimiendo así su tamaño y minimizando efectivamente las penalizaciones por ebullición cerca de la Tierra.
![{\displaystyle r\aprox R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103753e86bf0e1a58dc65ea590a37eee4c81921e)
