En geometría , el punto medio es el punto medio de un segmento de línea . Es equidistante de ambos puntos finales y es el centroide tanto del segmento como de los puntos finales. Bisecta el segmento.
El punto medio de un segmento en un espacio de n dimensiones cuyos puntos finales están y están dados por
Es decir, la i- ésima coordenada del punto medio ( i = 1, 2, ..., n ) es
Dados dos puntos de interés, encontrar el punto medio del segmento de línea que determinan se puede lograr mediante una construcción con compás y regla . El punto medio de un segmento de línea, incrustado en un plano , se puede ubicar construyendo primero una lente usando arcos circulares de radios iguales (y lo suficientemente grandes) centrados en los dos puntos finales, luego conectando las cúspides de la lente (los dos puntos donde los arcos se cruzan). El punto donde la línea que conecta las cúspides cruza el segmento es entonces el punto medio del segmento. Es más difícil localizar el punto medio utilizando sólo un compás, pero aún es posible según el teorema de Mohr-Mascheroni . [1]
El punto medio de cualquier diámetro de un círculo es el centro del círculo.
Cualquier recta perpendicular a cualquier cuerda de un círculo y que pase por su punto medio también pasa por el centro del círculo.
El teorema de la mariposa establece que, si M es el punto medio de una cuerda PQ de un círculo, a través del cual se trazan otras dos cuerdas AB y CD , entonces AD y BC intersecan a la cuerda PQ en X e Y respectivamente, de modo que M es el punto medio de XY .
El punto medio de cualquier segmento que sea bisectriz de área o bisectriz de perímetro de una elipse es el centro de la elipse.
El centro de la elipse es también el punto medio de un segmento que conecta los dos focos de la elipse.
El punto medio de un segmento que conecta los vértices de una hipérbola es el centro de la hipérbola.
La mediatriz de un lado de un triángulo es la recta que es perpendicular a ese lado y pasa por su punto medio. Las tres bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo se cruzan en el circuncentro (el centro del círculo que pasa por los tres vértices).
La mediana del lado de un triángulo pasa tanto por el punto medio del lado como por el vértice opuesto del triángulo . Las tres medianas de un triángulo se cruzan en el centroide del triángulo (el punto sobre el cual el triángulo se equilibraría si estuviera hecho de una lámina delgada de metal de densidad uniforme).
El centro de nueve puntos de un triángulo se encuentra en el punto medio entre el circuncentro y el ortocentro . Todos estos puntos están en la línea de Euler .
Un segmento medio (o línea media ) de un triángulo es un segmento de línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y tiene una longitud igual a la mitad de ese tercer lado.
El triángulo medial de un triángulo dado tiene vértices en los puntos medios de los lados del triángulo dado, por lo tanto sus lados son los tres segmentos medios del triángulo dado. Comparte el mismo centroide y medianas con el triángulo dado. El perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo original y su área es un cuarto del área del triángulo original. El ortocentro (intersección de las altitudes ) del triángulo medial coincide con el circuncentro (centro del círculo que pasa por los vértices) del triángulo original.
Todo triángulo tiene inscrita una elipse , llamada inelipse de Steiner , que es internamente tangente al triángulo en los puntos medios de todos sus lados. Esta elipse está centrada en el centroide del triángulo y tiene el área más grande de cualquier elipse inscrita en el triángulo.
En un triángulo rectángulo , el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa .
En un triángulo isósceles , la mediana, la altitud y la bisectriz perpendicular del lado de la base y la bisectriz del ángulo del vértice coinciden con la línea de Euler y el eje de simetría , y estas líneas coincidentes pasan por el punto medio del lado de la base.
Las dos bimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos de recta que conectan los puntos medios de los lados opuestos, por lo que cada uno bisecciona dos lados. Las dos bimedianas y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes en (todos se cruzan en) un punto llamado "centroide del vértice", que es el punto medio de estos tres segmentos. [2] : pág.125
Las cuatro "maltitudes" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado que pasan por el punto medio del lado opuesto, por lo que dividen este último lado. Si el cuadrilátero es cíclico (inscrito en un círculo), todas estas maltitudes se encuentran en un punto común llamado "anticentro".
El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre pasa por el punto medio del lado opuesto.
El teorema de Varignon establece que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman los vértices de un paralelogramo , y si el cuadrilátero no se corta a sí mismo, entonces el área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero.
La recta de Newton es la recta que une los puntos medios de las dos diagonales en un cuadrilátero convexo que no es un paralelogramo. Los segmentos de recta que conectan los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo se cortan en un punto que se encuentra sobre la recta de Newton.
Un polígono regular tiene una circunferencia inscrita que es tangente a cada lado del polígono en su punto medio.
En un polígono regular con un número par de lados, el punto medio de una diagonal entre vértices opuestos es el centro del polígono.
El polígono que se extiende por el punto medio de un polígono cíclico P (un polígono cuyos vértices caen todos en el mismo círculo) es otro polígono cíclico inscrito en el mismo círculo, el polígono cuyos vértices son los puntos medios de los arcos circulares entre los vértices de P. [3] La iteración de la operación de estiramiento del punto medio en un polígono inicial arbitrario da como resultado una secuencia de polígonos cuyas formas convergen a la de un polígono regular . [3] [4]
Las fórmulas mencionadas anteriormente para el punto medio de un segmento utilizan implícitamente las longitudes de los segmentos. Sin embargo, en la generalización a geometría afín , donde las longitudes de los segmentos no están definidas, [5] el punto medio aún se puede definir ya que es un invariante afín . La definición afín sintética del punto medio M de un segmento AB es el conjugado armónico proyectivo del punto en el infinito , P , de la recta AB . Es decir, el punto M tal que H[ A , B ; PM ] . _ _ [6] Cuando se puedan introducir coordenadas en una geometría afín, las dos definiciones de punto medio coincidirán. [7]
El punto medio no está definido naturalmente en la geometría proyectiva ya que no hay un punto distinguido que desempeñe el papel del punto en el infinito (cualquier punto en un rango proyectivo puede mapearse proyectivamente a cualquier otro punto en (el mismo o algún otro) rango proyectivo) . Sin embargo, fijar un punto en el infinito define una estructura afín en la línea proyectiva en cuestión y se puede aplicar la definición anterior.
La definición del punto medio de un segmento puede extenderse a segmentos curvos , como los arcos geodésicos en una variedad de Riemann . Tenga en cuenta que, a diferencia del caso afín, es posible que el punto medio entre dos puntos no se determine de forma única.
