Punto fijo (matemáticas)

Elemento asignado a sí mismo por una función matemática

La función (mostrada en rojo) tiene los puntos fijos 0, 1 y 2. ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x}$

En matemáticas , un punto fijo (a veces abreviado como fixpoint ), también conocido como punto invariante , es un valor que no cambia bajo una transformación dada . Específicamente, para funciones , un punto fijo es un elemento que la función asigna a sí mismo. Cualquier conjunto de puntos fijos de una transformación también es un conjunto invariante .

Punto fijo de una función

Formalmente, c es un punto fijo de una función f si c pertenece tanto al dominio como al codominio de f , y f ( c ) = c . En particular, f no puede tener ningún punto fijo si su dominio es disjunto de su codominio. Si f se define en los números reales , corresponde, en términos gráficos, a una curva en el plano euclidiano , y cada punto fijo c corresponde a una intersección de la curva con la línea y  =  x , véase la figura.

Por ejemplo, si f está definida en los números reales , entonces 2 es un punto fijo de f , porque f (2) = 2 . ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$

No todas las funciones tienen puntos fijos: por ejemplo, f ( x ) = x + 1 no tiene puntos fijos porque x nunca es igual a x + 1 para ningún número real.

Iteración de punto fijo

En análisis numérico , la iteración de punto fijo es un método para calcular puntos fijos de una función. Específicamente, dada una función con el mismo dominio y codominio, un punto en el dominio de , la iteración de punto fijo es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

lo que da lugar a la secuencia de aplicaciones iteradas de funciones que se espera que converjan a un punto . Si es continua, entonces se puede demostrar que la obtenida es un punto fijo de . ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Las nociones de atraer puntos fijos, repeler puntos fijos y puntos periódicos se definen con respecto a la iteración de punto fijo.

Teoremas de punto fijo

Un teorema de punto fijo es un resultado que dice que existe al menos un punto fijo, bajo alguna condición general. ^[1]

Por ejemplo, el teorema de punto fijo de Banach (1922) proporciona un criterio general que garantiza que, si se satisface, la iteración de punto fijo siempre convergerá a un punto fijo.

El teorema del punto fijo de Brouwer (1911) dice que cualquier función continua desde la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano n -dimensional hasta sí misma debe tener un punto fijo, pero no describe cómo encontrar el punto fijo.

El teorema del punto fijo de Lefschetz (y el teorema del punto fijo de Nielsen ) de la topología algebraica proporcionan una forma de contar puntos fijos.

Punto fijo de una acción grupal

En álgebra , para un grupo G que actúa sobre un conjunto X con una acción de grupo , se dice que x en X es un punto fijo de g si . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle g\cdot x=x}$

El subgrupo de punto fijo de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G : ${\displaystyle G^{f}}$ $${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

De manera similar, el subanillo de punto fijo de un automorfismo f de un anillo R es el subanillo de los puntos fijos de f , es decir, ${\displaystyle R^{f}}$ $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

En la teoría de Galois , el conjunto de puntos fijos de un conjunto de automorfismos de campo es un campo llamado campo fijo del conjunto de automorfismos.

Propiedad topológica del punto fijo

Se dice que un espacio topológico tiene la propiedad de punto fijo (PPP) si para cualquier función continua ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to X}$

existe tal que . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$

El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva ante cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva ante cualquier retracción .

Según el teorema de punto fijo de Brouwer , todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano tiene el FPP. La compacidad por sí sola no implica el FPP, y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntar cómo caracterizar topológicamente el FPP. En 1932, Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podrían ser una condición necesaria y suficiente para que se cumpla el FPP. El problema estuvo abierto durante 20 años hasta que la conjetura fue refutada por Kinoshita, quien encontró un ejemplo de un espacio compacto contráctil sin el FPP. ^[2]

Puntos fijos de pedidos parciales

En teoría de dominios , la noción y terminología de puntos fijos se generaliza a un orden parcial . Sea ≤ un orden parcial sobre un conjunto X y sea f : X → X una función sobre X. Entonces un punto prefijado (también escrito punto prefijo , a veces abreviado como punto prefijo o punto prefijo ) ^{[ cita requerida ]} de f es cualquier p tal que f ( p ) ≤ p . Análogamente, un punto posfijo de f es cualquier p tal que p ≤ f ( p ). ^[3] El uso opuesto aparece ocasionalmente. ^[4] Malkis justifica la definición presentada aquí de la siguiente manera: "dado que f está antes del signo de desigualdad en el término f ( x ) ≤ x , tal x se llama un punto prefijo ". ^[5] Un punto fijo es un punto que es tanto un punto prefijo como un punto posfijo. Los puntos prefijo y posfijo tienen aplicaciones en la informática teórica . ^[6]

Punto mínimo fijo

En la teoría del orden , el punto fijo mínimo de una función de un conjunto parcialmente ordenado (conjunto parcial) a sí misma es el punto fijo que es menor que cada uno de los otros puntos fijos, según el orden del conjunto parcial. Una función no necesita tener un punto fijo mínimo, pero si lo tiene, entonces el punto fijo mínimo es único.

Una forma de expresar el teorema de Knaster-Tarski es decir que una función monótona en una red completa tiene un punto fijo mínimo que coincide con su punto prefijo mínimo (y, de manera similar, su punto fijo máximo coincide con su punto posfijo máximo). ^[7]

Combinador de punto fijo

En lógica combinatoria para informática , un combinador de punto fijo es una función de orden superior que devuelve un punto fijo de su función argumento, si existe. Formalmente, si la función f tiene uno o más puntos fijos, entonces ${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

Lógica de punto fijo

En lógica matemática , las lógicas de punto fijo son extensiones de la lógica de predicados clásica que se han introducido para expresar la recursión. Su desarrollo ha estado motivado por la teoría de la complejidad descriptiva y su relación con los lenguajes de consulta de bases de datos , en particular con Datalog .

Aplicaciones

En muchos campos, el equilibrio o la estabilidad son conceptos fundamentales que pueden describirse en términos de puntos fijos. A continuación se presentan algunos ejemplos.

• En geometría proyectiva , un punto fijo de proyectividad se ha denominado punto doble . ^{[8] [9]}
• En economía , el equilibrio de Nash de un juego es un punto fijo de la correspondencia de mejor respuesta del juego . John Nash aprovechó el teorema del punto fijo de Kakutani para su artículo seminal que le valió el premio Nobel de economía.
• En física , más precisamente en la teoría de las transiciones de fase , la linealización cerca de un punto fijo inestable condujo al trabajo de Wilson , ganador del premio Nobel, que inventó el grupo de renormalización , y a la explicación matemática del término " fenómeno crítico ". ^{[10] [11]}
• Los compiladores de lenguajes de programación utilizan cálculos de punto fijo para el análisis de programas, por ejemplo, en el análisis de flujo de datos , que a menudo se requiere para la optimización de código . También son el concepto central utilizado por el método de análisis de programas genéricos de interpretación abstracta . ^[12]
• En la teoría de tipos , el combinador de punto fijo permite la definición de funciones recursivas en el cálculo lambda no tipado .
• El vector de valores PageRank de todas las páginas web es el punto fijo de una transformación lineal derivada de la estructura de enlaces de la World Wide Web .
• La distribución estacionaria de una cadena de Markov es el punto fijo de la función de probabilidad de transición de un paso.
• Los puntos fijos se utilizan para encontrar fórmulas para funciones iteradas .

Véase también

• Ciclos y puntos fijos de permutaciones
• Vector propio
• Equilibrio
• Puntos fijos de una transformación de Möbius
• Idempotencia
• Composiciones infinitas de funciones analíticas

• Invariante (matemáticas)

Notas

1. Brown, RF, ed. (1988). Teoría del punto fijo y sus aplicaciones . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-5080-6.
2. Kinoshita, Shin'ichi (1953). "Sobre algunos continuos contráctiles sin propiedad de punto fijo". Fondo. Matemáticas. 40 (1): 96–98. doi : 10.4064/fm-40-1-96-98 . ISSN  0016-2736.
3. Smyth, Michael B.; Plotkin, Gordon D. (1982). "La solución de la teoría de categorías de ecuaciones de dominio recursivas" (PDF) . Actas del 18.º Simposio IEEE sobre fundamentos de la informática . Revista SIAM de informática (volumen 11). págs. 761–783. doi :10.1137/0211062.
4. Patrick Cousot; Radhia Cousot (1979). "Versiones constructivas de los teoremas del punto fijo de Tarski" (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 82 (1): 43–57. doi :10.2140/pjm.1979.82.43.
5. Malkis, Alexander (2015). "La interpretación abstracta cartesiana multiproceso de programas recursivos multiproceso es polinómica" (PDF) . Problemas de accesibilidad . Apuntes de clase en informática. 9328 : 114–127. doi :10.1007/978-3-319-24537-9_11. ISBN 978-3-319-24536-2. S2CID  17640585. Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2022.
6. Yde Venema (2008) Conferencias sobre el cálculo modal μ Archivado el 21 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
7. Yde Venema (2008) Conferencias sobre el cálculo modal μ Archivado el 21 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
8. Coxeter, HSM (1942). Geometría no euclidiana . University of Toronto Press . pág. 36.
9. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 27
10. Wilson, Kenneth G. (1971). "Grupo de renormalización y fenómenos críticos. I. Grupo de renormalización y el cuadro de escala de Kadanoff". Physical Review B . 4 (9): 3174–3183. Código Bibliográfico :1971PhRvB...4.3174W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3174 .
11. Wilson, Kenneth G. (1971). "Grupo de renormalización y fenómenos críticos. II. Análisis de la conducta crítica en celdas de espacio de fase". Physical Review B . 4 (9): 3184–3205. Bibcode :1971PhRvB...4.3184W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3184 .
12. "P. Cousot y R. Cousot, Interpretación abstracta: Un modelo reticular unificado para el análisis estático de programas mediante la construcción o aproximación de puntos fijos".

Enlaces externos

• Una solución elegante para dibujar un punto fijo