Un objeto matemático X tiene la propiedad de punto fijo si cada función que se comporta adecuadamente de X a sí mismo tiene un punto fijo . El término se usa más comúnmente para describir espacios topológicos en los que cada función continua tiene un punto fijo. Pero otro uso es en la teoría del orden , donde se dice que un conjunto parcialmente ordenado P tiene la propiedad de punto fijo si cada función creciente en P tiene un punto fijo.
Sea A un objeto de la categoría concreta C. Entonces A tiene la propiedad de punto fijo si cada morfismo (es decir, cada función ) tiene un punto fijo.
El uso más común es cuando C = Top es la categoría de espacios topológicos . Entonces, un espacio topológico X tiene la propiedad de punto fijo si cada función continua tiene un punto fijo.
En la categoría de conjuntos , los objetos con la propiedad de punto fijo son precisamente los singletons .
El intervalo cerrado [0,1] tiene la propiedad de punto fijo: Sea f : [0,1] → [0,1] una aplicación continua. Si f (0) = 0 o f (1) = 1, entonces nuestra aplicación tiene un punto fijo en 0 o 1. Si no, entonces f (0) > 0 y f (1) − 1 < 0. Por lo tanto, la función g ( x ) = f ( x ) − x es una función continua de valor real que es positiva en x = 0 y negativa en x = 1. Por el teorema del valor intermedio , hay algún punto x 0 con g ( x 0 ) = 0, lo que quiere decir que f ( x 0 ) − x 0 = 0, y por lo tanto x 0 es un punto fijo.
El intervalo abierto no tiene la propiedad de punto fijo. La función f ( x ) = x 2 no tiene un punto fijo en el intervalo (0,1).
El intervalo cerrado es un caso especial del disco cerrado , que en cualquier dimensión finita tiene la propiedad de punto fijo según el teorema de punto fijo de Brouwer .
Una retracción A de un espacio X con la propiedad de punto fijo también tiene la propiedad de punto fijo. Esto se debe a que si es una retracción y es cualquier función continua, entonces la composición (donde es inclusión) tiene un punto fijo. Es decir, existe tal que . Como tenemos que y por lo tanto
Un espacio topológico tiene la propiedad de punto fijo si y sólo si su mapa identidad es universal.
Un producto de espacios con la propiedad de punto fijo en general no tiene la propiedad de punto fijo incluso si uno de los espacios es el intervalo real cerrado.
El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva ante cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva ante cualquier retracción .
Según el teorema del punto fijo de Brouwer , todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano tiene la FPP. De manera más general, según el teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff, todo subconjunto compacto y convexo de un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene la FPP. La compacidad por sí sola no implica la FPP y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntar cómo caracterizar topológicamente la FPP. En 1932, Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podrían ser una condición suficiente para que se mantuviera la FPP. El problema estuvo abierto durante 20 años hasta que la conjetura fue refutada por Kinoshita, quien encontró un ejemplo de un espacio compacto contráctil sin la FPP. [1]
