Pseudotensor de tensión-energía-momento

En la teoría de la relatividad general , un pseudotensor de tensión-energía-momento , como el pseudotensor de Landau-Lifshitz , es una extensión del tensor de tensión-energía no gravitacional que incorpora la energía-momento de la gravedad. Permite definir la energía-momento de un sistema de materia gravitante. En particular, permite que el total de materia más la energía-momento gravitante formen una corriente conservada dentro del marco de la relatividad general , de modo que la energía-momento total que cruza la hipersuperficie (límite tridimensional) de cualquier hipervolumen compacto de espacio-tiempo (subvariedad tetradimensional) se anule.

Algunas personas (como Erwin Schrödinger ^{[ cita requerida ]} ) han objetado esta derivación sobre la base de que los pseudotensores son objetos inapropiados en la relatividad general, pero la ley de conservación solo requiere el uso de la 4- divergencia de un pseudotensor que es, en este caso, un tensor (que también se desvanece). Los desarrollos matemáticos en la década de 1980 han permitido que los pseudotensores se entiendan como secciones de fibrados de jets , proporcionando así una base teórica firme para el concepto de pseudotensores en la relatividad general.

Pseudotensor de Landau-Lifshitz

El pseudotensor de Landau-Lifshitz , un pseudotensor de tensión-energía-momento para la gravedad, ^[1] cuando se combina con términos para la materia (incluidos fotones y neutrinos), permite que las leyes de conservación de energía-momento se extiendan a la relatividad general .

Requisitos

Landau y Lifshitz se guiaron por cuatro requisitos en su búsqueda de un pseudotensor de momento de energía gravitacional: [ ^1] ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}$

1. que se construya enteramente a partir del tensor métrico , de modo que sea de origen puramente geométrico o gravitacional.
2. que sea simétrico en índice, es decir , (para conservar el momento angular ) ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}$
3. que, cuando se agrega al tensor de tensión-energía de la materia, , su divergencia ordinaria total de 4- ( ∂ _μ , no ∇ _μ ) se desvanece, de modo que tenemos una expresión conservada para la tensión-energía-momento total. (Esto se requiere de cualquier corriente conservada ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. que se anule localmente en un marco de referencia inercial (lo que requiere que solo contenga derivadas de primer orden y no de segundo o mayor orden de la métrica). Esto se debe a que el principio de equivalencia requiere que el campo de fuerza gravitacional, los símbolos de Christoffel , se anule localmente en algunos marcos. Si la energía gravitacional es una función de su campo de fuerza, como es habitual para otras fuerzas, entonces el pseudotensor gravitacional asociado también debería anularse localmente.

Definición

Landau & Lifshitz demostraron que existe una construcción única que satisface estos requisitos, a saber : $${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

• G ^μν es el tensor de Einstein (que se construye a partir de la métrica)
• g ^μν es el inverso del tensor métrico , g _μν
• g = det( g _μν ) es el determinante del tensor métrico. g < 0 , de ahí su aparición como. ${\displaystyle -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$son derivadas parciales , no derivadas covariantes .
• G es la constante gravitacional de Newton .

Verificación

Examinando las cuatro condiciones requeridas podemos ver que las primeras tres son relativamente fáciles de demostrar:

1. Dado que el tensor de Einstein, , se construye a partir de la métrica, entonces es ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
2. Dado que el tensor de Einstein, , es simétrico, también lo es, ya que los términos adicionales son simétricos por inspección. ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
3. El pseudotensor de Landau-Lifshitz está construido de modo que cuando se agrega al tensor de tensión-energía de la materia, , su divergencia total 4- se desvanece: . Esto se desprende de la cancelación del tensor de Einstein, , con el tensor de tensión-energía , por las ecuaciones de campo de Einstein ; el término restante se desvanece algebraicamente debido a la conmutatividad de las derivadas parciales aplicadas a través de índices antisimétricos. ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. El pseudotensor de Landau-Lifshitz parece incluir términos de segunda derivada en la métrica, pero de hecho los términos explícitos de segunda derivada en el pseudotensor se cancelan con los términos implícitos de segunda derivada contenidos dentro del tensor de Einstein , . Esto es más evidente cuando el pseudotensor se expresa directamente en términos del tensor métrico o la conexión de Levi-Civita ; solo los términos de primera derivada en la métrica sobreviven y estos desaparecen donde el marco es localmente inercial en cualquier punto elegido. Como resultado, todo el pseudotensor desaparece localmente (de nuevo, en cualquier punto elegido) , lo que demuestra la deslocalización de la energía-momento gravitacional. ^[1] ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}$

Constante cosmológica

Cuando se formuló el pseudotensor de Landau-Lifshitz, se suponía comúnmente que la constante cosmológica , , era cero. Hoy en día, esa suposición es sospechosa y la expresión con frecuencia gana un término, dando: ${\displaystyle \Lambda \,}$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

Esto es necesario para la coherencia con las ecuaciones de campo de Einstein .

Versiones de conexión métrica y afín

Landau y Lifshitz también proporcionan dos expresiones equivalentes pero más largas para el pseudotensor de Landau-Lifshitz:

• Versión del tensor métrico : ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$$
• Versión de conexión afín : ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$$

Esta definición de energía-momento es aplicable covariantemente no sólo bajo transformaciones de Lorentz, sino también bajo transformaciones de coordenadas generales.

Pseudotensor de Einstein

Este pseudotensor fue desarrollado originalmente por Albert Einstein . ^{[4] [5]}

Paul Dirac demostró ^[6] que el pseudotensor mixto de Einstein satisface una ley de conservación $${\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)}$$ $${\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.}$$

Es evidente que este pseudotensor para la tensión gravitacional-energía se construye exclusivamente a partir del tensor métrico y sus primeras derivadas. En consecuencia, se anula en cualquier caso cuando se elige el sistema de coordenadas para hacer que las primeras derivadas de la métrica se anulen porque cada término del pseudotensor es cuadrático en las primeras derivadas de la métrica. Sin embargo, no es simétrico y, por lo tanto, no es adecuado como base para definir el momento angular.

Véase también

• Tensor de Bel-Robinson
• Onda gravitacional

Notas

1. Lev Davidovich Landau y Evgeny Mikhailovich Lifshitz , La teoría clásica de los campos , (1951), Pergamon Press, ISBN  7-5062-4256-7 capítulo 11, sección n.° 96
2. Ecuación de Landau-Lifshitz 96.9
3. Ecuación de Landau-Lifshitz 96.8
4. Albert Einstein Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (El principio hamiltoniano y la relatividad general). Sitzungsber. preus. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
5. Albert Einstein Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Una ley de conservación de energía en la relatividad general). Sitzungsber. preus. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459
6. PAMDirac, Teoría general de la relatividad (1975), Princeton University Press, breve presentación de los aspectos esenciales de la teoría general de la relatividad. ISBN 0-691-01146-X, páginas 61—63 

Referencias

• Petrov, Alexander (2008). "Perturbaciones no lineales y leyes de conservación en fondos curvos en RG y otras teorías métricas". En Christiansen, MN; Rasmussen, TK (eds.). Investigación sobre gravedad clásica y cuántica. Nueva York: Nova Science Publishers . arXiv : 0705.0019 . ISBN. 978-1-61122-957-8.