Tensor de Bel-Robinson

En relatividad general y geometría diferencial , el tensor de Bel-Robinson es un tensor definido en la notación de índice abstracto por:

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}+{\frac {1}{4}}\epsilon _{ae}{}^{hi}\epsilon _{b}{}^{ej}{}_{k}C_{hicf}C_{j}{}^{k}{}_{d}{}^{f}}$

Alternativamente,

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}-{\frac {3}{2}}g_{a[b}C_{jk]cf}C^{jk}{}_{d}{}^{f}}$

donde es el tensor de Weyl . Fue introducido por Lluís Bel en 1959. ^{[1] [2]} El tensor de Bel– Robinson se construye a partir del tensor de Weyl de manera análoga a la forma en que se construye el tensor de tensión-energía electromagnética a partir del tensor electromagnético . Al igual que el tensor de tensión-energía electromagnética, el tensor de Bel–Robinson es totalmente simétrico y sin trazas: ${\displaystyle C_{abcd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{abcd}&=T_{(abcd)}\\T^{a}{}_{acd}&=0\end{aligned}}}$

En relatividad general, no existe una definición única de la energía local del campo gravitatorio. El tensor de Bel-Robinson es una posible definición de energía local, ya que se puede demostrar que siempre que el tensor de Ricci se anula (es decir, en el vacío), el tensor de Bel-Robinson no tiene divergencia:

${\displaystyle \nabla ^{a}T_{abcd}=0}$

Referencias

1. Bel, L. (1959), "Introducción de un tenseur du quatrième ordre", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 248 : 1297
2. Senovilla, JMM (2000), "Nota del editor: Estados de radiación y el problema de la energía en la relatividad general por Louis Bel", General Relativity and Gravitation , 32 (10): 2043, Bibcode :2000GReGr..32.2043S, doi :10.1023/A:1001906821162, S2CID  116937193