Proyección 3D

Técnica de diseño

Clasificación de algunas proyecciones 3D

Una proyección 3D (o proyección gráfica ) es una técnica de diseño que se utiliza para mostrar un objeto tridimensional (3D) en una superficie bidimensional (2D). Estas proyecciones se basan en la perspectiva visual y el análisis de aspectos para proyectar un objeto complejo con capacidad de visualización en un plano más simple.

Las proyecciones 3D utilizan las cualidades primarias de la forma básica de un objeto para crear un mapa de puntos, que luego se conectan entre sí para crear un elemento visual. El resultado es un gráfico que contiene propiedades conceptuales para interpretar la figura o imagen como no realmente plana (2D), sino más bien como un objeto sólido (3D) que se ve en una pantalla 2D.

Los objetos 3D se muestran en gran medida en medios bidimensionales (como papel y monitores de computadora). Como tal, las proyecciones gráficas son un elemento de diseño de uso común; en particular, en dibujo de ingeniería , dibujo y gráficos por computadora . Las proyecciones se pueden calcular mediante el empleo de fórmulas y análisis matemáticos, o mediante el uso de diversas técnicas geométricas y ópticas.

Descripción general

Varios tipos de proyección gráfica comparados

Varias proyecciones y cómo se producen.

La proyección se logra mediante el uso de "proyectores" imaginarios; la imagen mental proyectada se convierte en la visión que tiene el técnico de la imagen terminada deseada. ^{[ Se necesita más explicación ]} Los métodos proporcionan un procedimiento de obtención de imágenes uniforme entre personas capacitadas en gráficos técnicos (dibujo mecánico, diseño asistido por computadora, etc.). Siguiendo un método, el técnico puede producir la imagen imaginada en una superficie plana, como por ejemplo papel de dibujo.

Hay dos categorías de proyección gráfica, cada una con su propio método:

• proyección paralela
• proyección en perspectiva

• 
  Proyección multivista (elevación)
• 
  Proyección isométrica
• Proyección militar
• 
  Proyección del gabinete
• 
  Perspectiva de un punto
• 
  Perspectiva de dos puntos
• 
  Perspectiva de tres puntos

Proyección paralela

La proyección paralela corresponde a una proyección en perspectiva con un punto de vista hipotético; es decir, uno en el que la cámara se encuentra a una distancia infinita del objeto y tiene una distancia focal infinita, o "zoom".

En la proyección paralela, las líneas de visión desde el objeto hasta el plano de proyección son paralelas entre sí. Así, las líneas que son paralelas en el espacio tridimensional permanecen paralelas en la imagen proyectada en dos dimensiones. La proyección paralela también corresponde a una proyección en perspectiva con una distancia focal infinita (la distancia desde la lente de una cámara y el punto focal ), o " zoom ".

Las imágenes dibujadas en proyección paralela se basan en la técnica de la axonometría ("medir a lo largo de ejes"), como se describe en el teorema de Pohlke . En general, la imagen resultante es oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen). La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica , ya que en la literatura inglesa esta última suele referirse sólo a una clase específica de imágenes (ver más abajo).

Proyección ortográfica

La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es una representación bidimensional de un objeto tridimensional. Es una proyección paralela (las líneas de proyección son paralelas tanto en la realidad como en el plano de proyección). Es el tipo de proyección elegido para dibujos de trabajo .

Si la normal del plano de visión (la dirección de la cámara) es paralela a uno de los ejes primarios (que es el eje x , y o z ), la transformación matemática es la siguiente; Para proyectar el punto 3D , sobre el punto 2D , usando una proyección ortográfica paralela al eje y (donde y positiva representa la dirección hacia adelante - vista de perfil), se pueden usar las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{z}}$ ${\displaystyle b_{x}}$ ${\displaystyle b_{y}}$

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\displaystyle b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}}$

donde el vector s es un factor de escala arbitrario y c es un desplazamiento arbitrario. Estas constantes son opcionales y se pueden utilizar para alinear correctamente la ventana gráfica. Usando la multiplicación de matrices , las ecuaciones quedan:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

Si bien las imágenes proyectadas ortográficamente representan la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, no representan el objeto tal como sería registrado fotográficamente o percibido por un espectador que lo observe directamente. En particular, las longitudes paralelas en todos los puntos de una imagen proyectada ortográficamente son de la misma escala independientemente de si están lejos o cerca del espectador virtual. Como resultado, las longitudes no se escorzan como lo harían en una proyección en perspectiva.

Proyección multivista

Símbolos utilizados para definir si una proyección multivista es el Primer Ángulo (izquierda) o el Tercer Ángulo (derecha).

Con las proyecciones multivista , se producen hasta seis imágenes (llamadas vistas primarias ) de un objeto, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se colocan entre sí según cualquiera de dos esquemas: proyección del primer ángulo o del tercer ángulo . En cada uno de ellos, se puede pensar que las apariencias de las vistas se proyectan en planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, normalmente tres vistas de un dibujo brindan suficiente información para crear un objeto 3D. Estas vistas se conocen como vista frontal , vista superior y vista final . También se utilizan los términos alzado , planta y sección .

Proyección oblicua

En las proyecciones oblicuas, los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visión como en la proyección ortográfica, sino que inciden en el plano de proyección en un ángulo distinto de noventa grados. Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente con fines pictóricos y no para dibujos formales de trabajo. En un dibujo pictórico oblicuo , los ángulos mostrados entre los ejes, así como los factores de escorzo (escala), son arbitrarios. La distorsión creada de este modo normalmente se atenúa alineando un plano del objeto fotografiado para que sea paralelo al plano de proyección, creando así una imagen de forma real y de tamaño completo del plano elegido. Los tipos especiales de proyecciones oblicuas son:

Proyección arrogante (45°)

En la proyección arrogante (a veces perspectiva arrogante o punto de vista alto ), un punto del objeto está representado por tres coordenadas, x , y y z . En el dibujo, está representado por sólo dos coordenadas, x″ e y″ . En el dibujo plano, dos ejes, x y z en la figura, son perpendiculares y la longitud de estos ejes está dibujada con una escala 1:1; por tanto, es similar a las proyecciones dimétricas , aunque no es una proyección axonométrica , ya que el tercer eje, aquí y , se dibuja en diagonal, formando un ángulo arbitrario con el eje x” , generalmente de 30 o 45°. La longitud del tercer eje no está escalada.

Proyección del gabinete

El término proyección de gabinete (a veces perspectiva de gabinete ) proviene de su uso en ilustraciones por parte de la industria del mueble. ^{[ cita necesaria ]} Al igual que la perspectiva arrogante, una cara del objeto proyectado es paralela al plano de visión y el tercer eje se proyecta en un ángulo (normalmente 30 ° o 45 ° o arctan (2) = 63,4 °). A diferencia de la proyección cavalier, donde el tercer eje mantiene su longitud, en la proyección de gabinete la longitud de las líneas que retroceden se reduce a la mitad.

Proyección militar

Una variante de la proyección oblicua se llama proyección militar . En este caso, las secciones horizontales se dibujan isométricamente para que los planos de planta no se distorsionen y las verticales se dibujan en ángulo. La proyección militar viene dada por la rotación en el plano xy y una traslación vertical de una cantidad z . ^[1]

Proyección axonométrica

Las tres vistas axonométricas , aquí de ebanistería .

Las proyecciones axonométricas muestran una imagen de un objeto visto desde una dirección oblicua para revelar las tres direcciones (ejes) del espacio en una sola imagen. ^[2] Las proyecciones axonométricas pueden ser ortográficas u oblicuas . Los dibujos de instrumentos axonométricos se utilizan a menudo para aproximar proyecciones gráficas en perspectiva, pero la aproximación conlleva una distorsión. Debido a que las proyecciones pictóricas contienen de manera innata esta distorsión, en los dibujos instrumentales de imágenes pictóricas se pueden tomar grandes libertades para ahorrar esfuerzo y lograr el mejor efecto. ^{[ se necesita aclaración ]}

La proyección axonométrica se subdivide en tres categorías: proyección isométrica , proyección dimétrica y proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. ^{[3] [4]} Una característica típica de las imágenes ortográficas es que un eje del espacio generalmente se muestra vertical.

Proyección isométrica

En las imágenes isométricas (para conocer los métodos, consulte Proyección isométrica ), la dirección de visión es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados y hay un ángulo común de 120° entre ellos. La distorsión causada por el escorzo es uniforme, por lo tanto se conserva la proporcionalidad de todos los lados y longitudes, y los ejes comparten una escala común. Esto permite leer o tomar medidas directamente del dibujo.

Proyección dimétrica

En las imágenes dimétricas (para conocer los métodos, consulte Proyección dimétrica ), la dirección de visión es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados, cuya escala y ángulos de presentación se determinan según el ángulo de visión; la escala de la tercera dirección (vertical) se determina por separado. Las aproximaciones son comunes en los dibujos dimétricos.

Proyección trimétrica

En las imágenes trimétricas (para conocer los métodos, consulte Proyección trimétrica ), la dirección de visión es tal que los tres ejes del espacio aparecen en escorzo desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dicta el ángulo de visión. Las aproximaciones en los dibujos trimétricos son comunes.

Limitaciones de la proyección paralela

Los objetos dibujados con proyección paralela no parecen más grandes ni más pequeños a medida que se acercan o se alejan del espectador. Si bien es ventajoso para dibujos arquitectónicos , donde las mediciones deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión percibida, ya que a diferencia de la proyección en perspectiva , no es así como normalmente funcionan nuestros ojos o la fotografía. También puede resultar fácilmente en situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha.

En este dibujo isométrico, la esfera azul está dos unidades más alta que la roja. Sin embargo, esta diferencia de elevación no es evidente si se cubre la mitad derecha de la imagen, ya que los cuadros (que sirven como pistas que sugieren la altura) quedan oscurecidos.

Esta ambigüedad visual ha sido explotada en el op art , así como en los dibujos de "objetos imposibles". La Cascada (1961) de MC Escher , aunque no utiliza estrictamente la proyección paralela, es un ejemplo bien conocido, en el que un canal de agua parece viajar sin ayuda a lo largo de un camino descendente, sólo para luego, paradójicamente, caer una vez más cuando regresa a su posición. fuente. El agua parece así desobedecer la ley de conservación de la energía . Un ejemplo extremo se muestra en la película Inception , donde mediante un truco de perspectiva forzada una escalera inmóvil cambia su conectividad. El videojuego Fez utiliza trucos de perspectiva para determinar dónde puede y dónde no puede moverse un jugador en forma de rompecabezas.

Proyección en perspectiva

Perspectiva de un sólido geométrico mediante dos puntos de fuga. En este caso, el mapa del sólido (proyección ortogonal) se dibuja debajo de la perspectiva, como si doblara el plano del suelo.

Proyección axonométrica de un esquema que muestra los elementos relevantes de una perspectiva del plano vertical de una imagen . El punto de posición (PS) está ubicado en el plano de tierra π y el punto de vista (PV) está justo encima de él. PP es su proyección en el plano de la imagen α . LO y LT son el horizonte y las líneas de tierra ( línea d'orizzonte y linea di terra ). Las líneas en negrita s y q se encuentran en π e interceptan a α en Ts y Tq respectivamente. Las líneas paralelas que pasan por PV (en rojo) interceptan a LO en los puntos de fuga Fs y Fq : así se pueden dibujar las proyecciones s′ y q′ , y por tanto también su intersección R′ en R.

La proyección en perspectiva o transformación de perspectiva es una proyección no lineal en la que se proyectan objetos tridimensionales en un plano de imagen . Esto tiene el efecto de que los objetos distantes parecen más pequeños que los más cercanos.

También significa que las líneas que son de naturaleza paralela (es decir, que se encuentran en el punto del infinito ) parecen cruzarse en la imagen proyectada. Por ejemplo, si los ferrocarriles se representan con una proyección en perspectiva, parecen converger hacia un único punto, llamado punto de fuga . Las lentes fotográficas y el ojo humano funcionan de la misma manera, por lo que la proyección en perspectiva parece la más realista. ^[5] La proyección en perspectiva generalmente se clasifica en perspectiva de un punto , dos puntos y tres puntos , dependiendo de la orientación del plano de proyección hacia los ejes del objeto representado. ^[6]

Los métodos de proyección gráfica se basan en la dualidad entre líneas y puntos, donde dos líneas rectas determinan un punto mientras que dos puntos determinan una línea recta. La proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro se llama punto de fuga principal (PP en el esquema de la derecha, del término italiano punto principal , acuñado durante el Renacimiento). ^[7]

Dos puntos relevantes de una recta son:

• su intersección con el plano de la imagen, y
• su punto de fuga, que se encuentra en la intersección entre la línea paralela desde el punto del ojo y el plano de la imagen.

El punto de fuga principal es el de todas las líneas horizontales perpendiculares al plano de la imagen. Los puntos de fuga de todas las líneas horizontales se encuentran en la línea del horizonte . Si, como suele ser el caso, el plano de la imagen es vertical, todas las líneas verticales se dibujan verticalmente y no tienen un punto de fuga finito en el plano de la imagen. Se pueden imaginar fácilmente diversos métodos gráficos para proyectar escenas geométricas. Por ejemplo, las líneas trazadas desde el punto del ojo a 45° hasta el plano de la imagen intersectan este último a lo largo de un círculo cuyo radio es la distancia del punto del ojo al plano, por lo que trazar ese círculo ayuda a construir todos los puntos de fuga de 45°. líneas; en particular, la intersección de ese círculo con la línea del horizonte consta de dos puntos distanciados . Son útiles para dibujar suelos de tablero de ajedrez que, a su vez, sirven para localizar la base de los objetos en escena. En la perspectiva de un sólido geométrico a la derecha, después de elegir el punto de fuga principal —que determina la línea del horizonte— el punto de fuga a 45° en el lado izquierdo del dibujo completa la caracterización del punto de vista (igualmente distante). Se dibujan dos líneas desde la proyección ortogonal de cada vértice, una a 45° y otra a 90° con respecto al plano de la imagen. Después de cruzar la línea de tierra, esas líneas van hacia el punto de distancia (para 45°) o el punto principal (para 90°). Su nueva intersección sitúa la proyección del mapa. Las alturas naturales se miden por encima de la línea del suelo y luego se proyectan de la misma manera hasta que se encuentran con la vertical del mapa.

Mientras que la proyección ortográfica ignora la perspectiva para permitir mediciones precisas, la proyección en perspectiva muestra objetos distantes como más pequeños para proporcionar realismo adicional.

Fórmula matemática

La proyección en perspectiva requiere una definición más complicada en comparación con las proyecciones ortográficas. Una ayuda conceptual para comprender la mecánica de esta proyección es imaginar la proyección 2D como si los objetos estuvieran siendo vistos a través del visor de una cámara. La posición, orientación y campo de visión de la cámara controlan el comportamiento de la transformación de la proyección. Las siguientes variables se definen para describir esta transformación:

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}$– la posición 3D de un punto A que se va a proyectar.
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$– la posición 3D de un punto C que representa la cámara.
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$– La orientación de la cámara (representada por los ángulos de Tait-Bryan ).
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}$– la posición de la superficie de visualización en relación con el orificio de la cámara C. ^[8]

La mayoría de las convenciones utilizan valores z positivos (el plano está frente al orificio); sin embargo, los valores z negativos son físicamente más correctos, pero la imagen se invertirá tanto horizontal como verticalmente. Lo que resulta en:

• ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$– la proyección 2D de ${\displaystyle \mathbf {a} .}$

Cuando y el vector 3D se proyecta al vector 2D . ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$ ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle 1,2,0\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$

De lo contrario, para calcular primero definimos un vector como la posición del punto A con respecto a un sistema de coordenadas definido por la cámara, con origen en C y girado con respecto al sistema de coordenadas inicial. Esto se logra restando y luego aplicando una rotación al resultado. Esta transformación a menudo se denomina ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}$ ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$transformación de cámara , y se puede expresar de la siguiente manera, expresando la rotación en términos de rotaciones alrededor de los ejesx, yyz(estos cálculos suponen que los ejes están ordenados como unsistema de ejes parazurdos^{[9][10 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

Esta representación corresponde a girar tres ángulos de Euler (más propiamente, ángulos de Tait-Bryan ), utilizando la convención xyz , que puede interpretarse como "rotar alrededor de los ejes extrínsecos (ejes de la escena ) en el orden z , y , x" . (leyendo de derecha a izquierda)" o "girar alrededor de los ejes intrínsecos (ejes de la cámara ) en el orden x, y, z (leyendo de izquierda a derecha)". Si no se gira la cámara ( ), entonces las matrices desaparecen (como identidades), y esto se reduce a simplemente un desplazamiento: ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .}$

Alternativamente, sin usar matrices (reemplacemos con y así sucesivamente, y abreviemos a y a ): ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle a_{x}-c_{x}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \cos \left(\theta _{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle \sin \left(\theta _{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=c_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} )-s_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=s_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))+c_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=c_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))-s_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

Este punto transformado se puede luego proyectar en el plano 2D usando la fórmula (aquí, x / y se usa como plano de proyección; la literatura también puede usar x / z ): ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}+\mathbf {e} _{x},\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{aligned}}}$

O, en forma matricial usando coordenadas homogéneas , el sistema

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}}$

junto con un argumento que utiliza triángulos similares, conduce a la división por la coordenada homogénea, dando

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{aligned}}}$

La distancia del espectador desde la superficie de visualización, se relaciona directamente con el campo de visión, donde es el ángulo de visión. (Nota: esto supone que asigna los puntos (-1,-1) y (1,1) a las esquinas de su superficie de visualización) ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})}$

Las ecuaciones anteriores también se pueden reescribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z},\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{aligned}}}$

Donde está el tamaño de la pantalla, es el tamaño de la superficie de grabación ( CCD o película fotográfica ), es la distancia desde la superficie de grabación hasta la pupila de entrada ( centro de la cámara ) y es la distancia, desde el punto 3D que se proyecta, hasta la entrada. alumno. ${\displaystyle \mathbf {s} _{x,y}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{x,y}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{z}}$

Es posible que sean necesarias operaciones posteriores de recorte y escalado para mapear el plano 2D en cualquier medio de visualización en particular.

Proyección de perspectiva débil

Una proyección en perspectiva "débil" utiliza los mismos principios de una proyección ortográfica, pero requiere que se especifique el factor de escala, asegurando así que los objetos más cercanos parezcan más grandes en la proyección, y viceversa. Puede verse como un híbrido entre una proyección ortográfica y en perspectiva, y describirse como una proyección en perspectiva con profundidades de puntos individuales reemplazadas por una profundidad constante promedio , ^[12] o simplemente como una proyección ortográfica más una escala. ^[13] ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$

Por lo tanto, el modelo de perspectiva débil se aproxima a la proyección en perspectiva mientras utiliza un modelo más simple, similar a la perspectiva ortográfica pura (sin escala). Es una aproximación razonable cuando la profundidad del objeto a lo largo de la línea de visión es pequeña en comparación con la distancia desde la cámara y el campo de visión es pequeño. Con estas condiciones, se puede suponer que todos los puntos de un objeto 3D están a la misma distancia de la cámara sin errores significativos en la proyección (en comparación con el modelo de perspectiva completa). ${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$

Ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{\text{ave}}}}\end{aligned}}}$

suponiendo distancia focal . ${\textstyle f=1}$

Diagrama

Para determinar qué coordenada x de la pantalla corresponde a un punto en multiplicar las coordenadas del punto por: ${\displaystyle A_{x},A_{z}}$

${\displaystyle B_{x}=A_{x}{\frac {B_{z}}{A_{z}}}}$

dónde

${\displaystyle B_{x}}$es la coordenada x de la pantalla

${\displaystyle A_{x}}$es la coordenada x del modelo

${\displaystyle B_{z}}$es la distancia focal : la distancia axial desde el centro de la cámara hasta el plano de la imagen

${\displaystyle A_{z}}$es la distancia del sujeto.

Debido a que la cámara está en 3D, lo mismo funciona para la coordenada y de la pantalla , sustituyendo y por x en el diagrama y la ecuación anteriores.

Alternativamente, se podrían usar técnicas de recorte, reemplazando las variables con valores del punto que está fuera del ángulo FOV y el punto dentro de Camera Matrix.

Esta técnica, también conocida como "Cámara Inversa", es un Cálculo de Proyección en Perspectiva con valores conocidos para calcular el último punto en el ángulo visible, proyectando desde el punto invisible, una vez finalizadas todas las transformaciones necesarias.

Ver también

• gráficos por computadora en 3D
• Matriz de cámara
• Gráficos de computadora
• Sección transversal (geometría)
• Vista en sección transversal
• Perspectiva curvilínea
• dibujo en corte
• Geometría descriptiva
• Dibujo de ingeniería
• Dibujo en despiece
• Coordenadas homogéneas
• Homografía
• Proyección de mapas (incluida la proyección cilíndrica )
• Proyección multivista
• Perspectiva (gráfica)
• Plano (dibujo)
• Dibujo técnico
• Teseracto
• Mapeado de texturas
• Transformación, recorte e iluminación.
• Tarjeta de video
• Viendo frustum
• globo virtual

Referencias

1. Treibergs, Andrejs. "La geometría del dibujo en perspectiva en la computadora". Universidad de Utah § Departamento de Matemáticas. Archivado desde el original el 30 de abril de 2015 . Consultado el 24 de abril de 2015 .
2. Mitchell, William; Malcolm McCullough (1994). Medios de diseño digitales. John Wiley e hijos. pag. 169.ISBN _ 978-0-471-28666-0.
3. Maynard, Patric (2005). Distinciones de dibujo: las variedades de expresión gráfica. Prensa de la Universidad de Cornell. pag. 22.ISBN _ 978-0-8014-7280-0.
4. McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Programación gráfica avanzada usando openGL. Elsevier. pag. 502.ISBN _ 978-1-55860-659-3.
5. D. Hearn y M. Baker (1997). Gráficos por computadora, versión C. Acantilados de Englewood: Prentice Hall], capítulo 9
6. James Foley (1997). Gráficos de computadora . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-84840-6 ], capítulo 6 
7. Kirsti Andersen (2007), La geometría de un arte , Springer, p. XXIX, ISBN 9780387259611
8. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (1978). "Proyecciones geométricas planas y transformaciones de visualización" (PDF) . Encuestas de Computación ACM . 10 (4): 465–502. CiteSeerX 10.1.1.532.4774 . doi :10.1145/356744.356750. S2CID  708008. 
9. Riley, KF (2006). Métodos Matemáticos para la Física y la Ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs.931, 942. ISBN 978-0-521-67971-8.
10. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Reading, Massachusetts: Pub Addison-Wesley. Co. págs. 146-148. ISBN 978-0-201-02918-5.
11. Sonka, M; Hlavac, V; Boyle, R (1995). Procesamiento, análisis y visión artificial de imágenes (2ª ed.). Chapman y Hall. pag. 14.ISBN _ 978-0-412-45570-4.
12. Subhashis Banerjee (18 de febrero de 2002). "La cámara de perspectiva débil".
13. Alter, TD (julio de 1992). Pose 3D desde 3 puntos correspondientes bajo proyección de perspectiva débil (PDF) (Reporte técnico). Laboratorio de IA del MIT .

Otras lecturas

• Kenneth C. Finney (2004). Programación de juegos 3D todo en uno . Curso Thompson. pag. 93.ISBN _ 978-1-59200-136-1. Proyección 3D.
• Köhler; Ralph (diciembre de 2000). Gráficos y splines 2D/3D con código fuente . Soluciones de autor incorporadas. ISBN 978-0759611870.

enlaces externos

• Creación de entornos 3D a partir de fotografías digitales