Derecho de conservación

En física , una ley de conservación establece que una propiedad medible particular de un sistema físico aislado no cambia a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. Las leyes de conservación exactas incluyen la conservación de masa-energía , la conservación del momento lineal , la conservación del momento angular y la conservación de la carga eléctrica . También hay muchas leyes de conservación aproximadas, que se aplican a cantidades como la masa , la paridad , el número leptónico , el número bariónico , la extrañeza , la hipercarga , etc. Estas cantidades se conservan en ciertas clases de procesos físicos, pero no en todos.

Una ley de conservación local suele expresarse matemáticamente como una ecuación de continuidad , una ecuación diferencial parcial que da una relación entre la cantidad de la cantidad y el "transporte" de esa cantidad. Establece que la cantidad de la cantidad conservada en un punto o dentro de un volumen solo puede cambiar en la cantidad de la cantidad que fluye dentro o fuera del volumen.

Según el teorema de Noether , toda simetría diferenciable conduce a una ley de conservación. ^[1]^[2]^[3] También pueden existir otras cantidades conservadas.

Las leyes de conservación como leyes fundamentales de la naturaleza

Las leyes de conservación son fundamentales para nuestra comprensión del mundo físico, ya que describen qué procesos pueden o no ocurrir en la naturaleza. Por ejemplo, la ley de conservación de la energía establece que la cantidad total de energía en un sistema aislado no cambia, aunque puede cambiar de forma. En general, la cantidad total de la propiedad regida por esa ley permanece inalterada durante los procesos físicos. Con respecto a la física clásica, las leyes de conservación incluyen la conservación de la energía, la masa (o materia), el momento lineal, el momento angular y la carga eléctrica. Con respecto a la física de partículas, las partículas no pueden crearse ni destruirse excepto en pares, donde una es ordinaria y la otra es una antipartícula. Con respecto a las simetrías y los principios de invariancia, se han descrito tres leyes de conservación especiales, asociadas con la inversión o reversión del espacio, el tiempo y la carga.

Las leyes de conservación se consideran leyes fundamentales de la naturaleza, con amplia aplicación en la física, así como en otros campos como la química, la biología, la geología y la ingeniería.

La mayoría de las leyes de conservación son exactas o absolutas, en el sentido de que se aplican a todos los procesos posibles. Algunas leyes de conservación son parciales, en el sentido de que se aplican a algunos procesos pero no a otros.

Un resultado particularmente importante en relación con las leyes de conservación es el teorema de Noether , que establece que existe una correspondencia biunívoca entre cada una de ellas y una simetría diferenciable del Universo . Por ejemplo, la conservación de la energía se desprende de la uniformidad del tiempo y la conservación del momento angular surge de la isotropía del espacio , ^[4]^[5]^[6] es decir, porque no hay una dirección preferida del espacio. En particular, no existe una ley de conservación asociada con la inversión del tiempo , aunque se conocen leyes de conservación más complejas que combinan la inversión del tiempo con otras simetrías .

Leyes exactas

Una lista parcial de ecuaciones de conservación física debidas a la simetría que se dice que son leyes exactas o, más precisamente, que nunca se ha demostrado que se violen:

Otra simetría exacta es la simetría CPT , la inversión simultánea de las coordenadas espaciales y temporales, junto con el intercambio de todas las partículas con sus antipartículas; sin embargo, al ser una simetría discreta, el teorema de Noether no se aplica a ella. En consecuencia, la cantidad conservada, la paridad CPT, por lo general no se puede calcular o determinar de manera significativa.

Leyes aproximadas

También existen leyes de conservación aproximadas , que son aproximadamente ciertas en situaciones particulares, como velocidades bajas, escalas de tiempo cortas o ciertas interacciones.

Conservación de la energía mecánica
Conservación de la masa (aproximadamente cierta para velocidades no relativistas )
Conservación del número bariónico (ver anomalía quiral y esfalerón )
Conservación del número leptónico (en el modelo estándar )
Conservación del sabor (violada por la interacción débil )
Conservación de la extrañeza (violada por la interacción débil )
Conservación de la paridad espacial (violada por la interacción débil )
Conservación de la paridad de carga (violada por la interacción débil )
Conservación de la paridad temporal (violada por la interacción débil )
Conservación de la paridad CP (violada por la interacción débil ); en el Modelo Estándar, esto es equivalente a la conservación de la paridad temporal .

Leyes de conservación globales y locales

La cantidad total de alguna cantidad conservada en el universo podría permanecer inalterada si una cantidad igual apareciera en un punto A y desapareciera simultáneamente de otro punto separado B. Por ejemplo, una cantidad de energía podría aparecer en la Tierra sin cambiar la cantidad total en el Universo si la misma cantidad de energía desapareciera de alguna otra región del Universo. Esta forma débil de conservación "global" realmente no es una ley de conservación porque no es invariante de Lorentz , por lo que fenómenos como el anterior no ocurren en la naturaleza. ^[7]^[8] Debido a la relatividad especial , si la aparición de la energía en A y la desaparición de la energía en B son simultáneas en un marco de referencia inercial , no serán simultáneas en otros marcos de referencia inerciales que se muevan con respecto al primero. En un marco en movimiento, una ocurrirá antes que la otra; la energía en A aparecerá antes o después de que desaparezca la energía en B. En ambos casos, durante el intervalo la energía no se conservará.

Una forma más fuerte de ley de conservación requiere que, para que cambie la cantidad de una cantidad conservada en un punto, debe haber un flujo, o flujo de la cantidad hacia dentro o hacia fuera del punto. Por ejemplo, nunca se encuentra que la cantidad de carga eléctrica en un punto cambie sin una corriente eléctrica hacia dentro o hacia fuera del punto que lleva la diferencia de carga. Dado que solo involucra cambios locales continuos , este tipo más fuerte de ley de conservación es invariante de Lorentz ; una cantidad conservada en un marco de referencia se conserva en todos los marcos de referencia móviles. ^[7]^[8] Esto se llama ley de conservación local . ^[7]^[8] La conservación local también implica conservación global; que la cantidad total de la cantidad conservada en el Universo permanece constante. Todas las leyes de conservación enumeradas anteriormente son leyes de conservación locales. Una ley de conservación local se expresa matemáticamente mediante una ecuación de continuidad , que establece que el cambio en la cantidad en un volumen es igual al "flujo" neto total de la cantidad a través de la superficie del volumen. Las siguientes secciones discuten las ecuaciones de continuidad en general.

Formas diferenciales

En mecánica de medios continuos , la forma más general de una ley de conservación exacta se da mediante una ecuación de continuidad . Por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica $q$ es donde $\nabla\cdot$ es el operador de divergencia , $ρ$ es la densidad de $q$ (cantidad por unidad de volumen), $j$ es el flujo de $q$ (cantidad que cruza una unidad de área en una unidad de tiempo) y $t$ es el tiempo. ${\frac {\parcial \rho }{\parcial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,$

Si suponemos que el movimiento u de la carga es una función continua de la posición y el tiempo, entonces ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}$

En una dimensión espacial esto se puede poner en la forma de una ecuación hiperbólica cuasilineal homogénea de primer orden : ^[9]^{: 43} donde la variable dependiente $y$ se llama la densidad de una cantidad conservada , y $A$ $($ $y$ $)$ se llama el jacobiano actual , y se ha empleado la notación de subíndice para derivadas parciales . El caso no homogéneo más general: no es una ecuación de conservación sino el tipo general de ecuación de equilibrio que describe un sistema disipativo . La variable dependiente $y$ se llama una cantidad no conservada , y el término no homogéneo $s$ $($ $y$ $,$ $x$ $,$ $t$ $)$ es la fuente o disipación . Por ejemplo, ecuaciones de equilibrio de este tipo son las ecuaciones de Navier-Stokes de momento y energía , o el balance de entropía para un sistema aislado general . $y_{t}+A(y)y_{x}=0$ $y_{t}+A(y)y_{x}=s$

En el espacio unidimensional, una ecuación de conservación es una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden que se puede expresar en forma de advección : donde la variable dependiente $y$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ se denomina densidad de la cantidad conservada (escalar), y $a$ $($ $y$ $)$ se denomina coeficiente de corriente , que generalmente corresponde a la derivada parcial en la cantidad conservada de una densidad de corriente de la cantidad conservada $j$ $($ $y$ $)$ : ^[9]^{: 43} $y_{t}+a(y)y_{x}=0$ $a(y)=j_{y}(y)$

En este caso, dado que se aplica la regla de la cadena , la ecuación de conservación se puede expresar en forma de densidad de corriente: ${\ Displaystyle j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}}$ $y_{t}+j_{x}(y)=0$

En un espacio con más de una dimensión la definición anterior se puede extender a una ecuación que puede expresarse en la forma: $y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0$

donde la cantidad conservada es $y (r, t)$ , $\cdot$ denota el producto escalar , $\nabla$ es el operador nabla , que aquí indica un gradiente , y $a (y)$ es un vector de coeficientes de corriente, correspondiente análogamente a la divergencia de un vector de densidad de corriente asociado a la cantidad conservada $j (y)$ : $y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0$

Este es el caso de la ecuación de continuidad : $\rho _ {t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

Aquí la cantidad conservada es la masa , con densidad $ρ (r, t)$ y densidad de corriente $ρ u$ , idéntica a la densidad de momento , mientras que $u (r, t)$ es la velocidad del flujo .

En el caso general, una ecuación de conservación puede ser también un sistema de este tipo de ecuaciones (una ecuación vectorial ) en la forma: ^[9]^{: 43} donde $y$ se denomina cantidad conservada ( vectorial ), $\nabla$ $y$ es su gradiente , $0$ es el vector cero y $A$ $($ $y$ $)$ se denomina jacobiano de la densidad de corriente. De hecho, como en el caso escalar anterior, también en el caso vectorial A ( y ) corresponde normalmente al jacobiano de una matriz de densidad de corriente $J$ $($ $y$ $)$ : y la ecuación de conservación se puede expresar en la forma: $\mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}$ $\mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )$ $\mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}$

Por ejemplo, este es el caso de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos). En el caso simple e incompresible, son: $\nabla \cdot \mathbf {u} =0\,,\qquad {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,$

dónde:

$u$ es elvector de velocidad de flujo , con componentes en un espacio N-dimensional $u$ $1$ $,$ $u$ $2$ $, ...,$ $u$ $N$ ,
$s$ es la presión específica(presión por unidad de densidad ) que da el término fuente ,

Se puede demostrar que la cantidad conservada (vectorial) y la matriz de densidad de corriente para estas ecuaciones son respectivamente:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad$

donde denota el producto exterior . $\otimes$

Formas integrales y débiles

Las ecuaciones de conservación normalmente también se pueden expresar en forma integral: la ventaja de esta última es sustancialmente que requiere menos suavidad de la solución, lo que allana el camino a la forma débil , extendiendo la clase de soluciones admisibles para incluir soluciones discontinuas. ^[9]^{: 62–63} Al integrar en cualquier dominio espacio-temporal la forma de densidad de corriente en el espacio 1-D: y al usar el teorema de Green , la forma integral es: $y_{t}+j_{x}(y)=0$ $\int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0$

De manera similar, para el espacio multidimensional escalar, la forma integral es: donde la integración lineal se realiza a lo largo del límite del dominio, en sentido antihorario. ^[9]^{: 62–63} $\oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0$

Además, definiendo una función de prueba φ ( r , t ) continuamente diferenciable tanto en el tiempo como en el espacio con soporte compacto, se puede obtener la forma débil pivotando sobre la condición inicial . En el espacio 1-D es: $\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx$

En la forma débil, todas las derivadas parciales de la densidad y la densidad de corriente se han pasado a la función de prueba, que con la hipótesis anterior es suficientemente suave para admitir estas derivadas. ^[9]^{: 62–63}

Véase también

Invariante (física)
Impulso
- Ecuación de Cauchy del momento
Energía
- Conservación de la energía y la primera ley de la termodinámica
Sistema conservador
Cantidad conservada
- Algunos tipos de helicidad se conservan en el límite sin disipación: helicidad hidrodinámica , helicidad magnética y helicidad cruzada.
Principio de mutabilidad
Ley de conservación del tensor de tensión-energía
Invariante de Riemann
Filosofía de la física
Principio totalitario
Ecuación de convección-difusión
Uniformidad de la naturaleza

Ejemplos y aplicaciones

Notas

^ Ibragimov, NH MANUAL DEL CRC DE ANÁLISIS DE GRUPOS DE LIE DE ECUACIONES DIFERENCIALES VOLUMEN 1 - SIMETRÍAS, SOLUCIONES EXACTAS Y LEYES DE CONSERVACIÓN. (CRC Press, 2023)
^ Kosmann-Schwarzbach, Y. en La filosofía y la física de los teoremas de Noether: un volumen centenario 4-24 (Cambridge University Press, 2022)
^ Rao, AK, Tripathi, A., Chauhan, B. y Malik, RP Teorema de Noether y propiedad de nilpotencia de las cargas (anti-)BRST en el formalismo BRST: una breve revisión. Universo 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
^ Ibragimov, NH CRC MANUAL DE ANÁLISIS DE GRUPOS DE LIE DE ECUACIONES DIFERENCIALES VOLUMEN 1 - SIMETRÍAS SOLUCIONES EXACTAS Y LEYES DE CONSERVACIÓN. (CRC Press, 2023).
^ Kosmann-Schwarzbach, Y. en La filosofía y la física de los teoremas de Noether: un centenario, volumen 4-24 (Cambridge University Press, 2022).
^ Rao, AK, Tripathi, A., Chauhan, B. y Malik, RP Teorema de Noether y propiedad de nilpotencia de las cargas (anti-)BRST en el formalismo BRST: una breve revisión. Universo 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
^ abc Aitchison, Ian JR; Hey, Anthony JG (2012). Teorías de calibre en física de partículas: una introducción práctica: de la mecánica cuántica relativista a la QED, cuarta edición, vol. 1. CRC Press. pág. 43. ISBN 978-1466512993. Archivado desde el original el 4 de mayo de 2018.
^ abc Will, Clifford M. (1993). Teoría y experimentación en física gravitacional. Cambridge Univ. Press. pág. 105. ISBN 978-0521439732. Archivado desde el original el 20 de febrero de 2017.
^ abcdef Toro, EF (1999). "Capítulo 2. Nociones sobre ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas". Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.

Referencias

Philipson, Schuster, Modelado mediante ecuaciones diferenciales no lineales: procesos disipativos y conservativos , World Scientific Publishing Company 2009.
Victor J. Stenger , 2000. Realidad atemporal: simetría, simplicidad y universos múltiples . Buffalo, NY: Prometheus Books. El capítulo 12 es una introducción sutil a la simetría, la invariancia y las leyes de conservación.
E. Godlewski y PA Raviart, Sistemas hiperbólicos de leyes de conservación, Elipses, 1991.

Enlaces externos

Medios relacionados con las leyes de conservación en Wikimedia Commons
Leyes de conservación: capítulos 11 a 15 en un libro de texto en línea