Helicidad magnética

Medida de la topología del campo magnético.

En física del plasma , la helicidad magnética es una medida del enlace, torsión y contorsión de un campo magnético . ^{[1] [2]} En la magnetohidrodinámica ideal , la helicidad magnética se conserva . ^{[3] [4]} Cuando un campo magnético contiene helicidad magnética, tiende a formar estructuras de gran escala a partir de estructuras de pequeña escala. ^[5] Este proceso puede denominarse transferencia inversa en el espacio de Fourier . Esta propiedad de aumentar la escala de las estructuras hace que la helicidad magnética sea especial, ya que los flujos turbulentos tridimensionales en la mecánica de fluidos ordinaria tienden a "destruir" la estructura, en el sentido de que los vórtices de gran escala se fragmentan en otros más pequeños, hasta disiparse por efectos viscosos en calor. A través de un proceso paralelo pero invertido, ocurre lo contrario con los vórtices magnéticos, donde pequeñas estructuras helicoidales con helicidad magnética distinta de cero se combinan y forman campos magnéticos a gran escala. Esto es visible en la dinámica de la lámina de corriente heliosférica , ^[6] una gran estructura magnética en el Sistema Solar .

La helicidad magnética es un concepto importante en el análisis de sistemas astrofísicos, donde la resistividad puede ser muy baja de modo que la helicidad magnética se conserva con una muy buena aproximación. Por ejemplo, la dinámica de la helicidad magnética es importante para analizar las erupciones solares y las eyecciones de masa coronal . ^[7] La ​​helicidad magnética está presente en el viento solar . ^[8] Su conservación es importante en los procesos con dinamo . ^{[9] [10] [11] [12]} También desempeña un papel en la investigación de la fusión , por ejemplo en experimentos de pellizco de campo inverso . ^[13]

Definición matemática

Generalmente, la helicidad de un campo vectorial suave confinado a un volumen es la medida estándar de hasta qué punto las líneas de campo se enrollan unas alrededor de otras. ^{[14] [2]} Se define como la integral de volumen sobre el producto escalar de y su rizo ,: ${\displaystyle H^{\mathbf {f} }}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }}$

${\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.}$

Helicidad magnética

La helicidad magnética es la helicidad de un potencial vectorial magnético donde el campo magnético asociado está confinado a un volumen . La helicidad magnética se puede expresar entonces como ^[9] ${\displaystyle H^{\mathbf {M} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}$

Dado que el potencial del vector magnético no es invariante de calibre , la helicidad magnética tampoco es invariante de calibre en general. Como consecuencia, la helicidad magnética de un sistema físico no se puede medir directamente. Sin embargo, en determinadas condiciones y bajo determinadas suposiciones, se puede medir la helicidad actual de un sistema y, a partir de ella, cuando se cumplan otras condiciones y bajo otras suposiciones, deducir la helicidad magnética. ^[15]

La helicidad magnética tiene unidades de flujo magnético al cuadrado: Wb ² ( webers al cuadrado) en unidades SI y Mx ² ( maxwells al cuadrado) en unidades gaussianas . ^[dieciséis]

Helicidad actual

La helicidad actual, o helicidad del campo magnético confinado a un volumen , se puede expresar como ${\displaystyle M^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV}$

¿ Dónde está la densidad de corriente ? ^[17] A diferencia de la helicidad magnética, la helicidad actual no es una invariante ideal (no se conserva incluso cuando la resistividad eléctrica es cero). ${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$

Interpretación topológica

El nombre "helicidad" se debe a que la trayectoria de una partícula fluida en un fluido con velocidad y vorticidad forma una hélice en regiones donde se encuentra la helicidad cinética . Cuando , la hélice resultante es de derechas y cuando es de izquierdas. Este comportamiento es muy similar al encontrado con respecto a las líneas de campo magnético. ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}>0}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}<0}$

Las regiones donde la helicidad magnética no es cero también pueden contener otros tipos de estructuras magnéticas, como líneas de campo magnético helicoidales. La helicidad magnética es una generalización continua del concepto topológico de vincular el número a las cantidades diferenciales necesarias para describir el campo magnético. ^[6] Mientras que los números de enlace describen cuántas veces están entrelazadas las curvas, la helicidad magnética describe cuántas líneas de campo magnético están entrelazadas. ^[9]

Ejemplos de curvas con valores variables de contorsión y torsión . La helicidad magnética mide la suma de estas dos cantidades para las líneas de campo magnético. La suma se conserva en todas las transformaciones donde las curvas no se cortan ni se unen.

La helicidad magnética es proporcional a la suma de las cantidades topológicas que se tuercen y retuercen para las líneas de campo magnético. La torsión es la rotación del tubo de flujo alrededor de su eje, y la torsión es la rotación del propio eje del tubo de flujo. Las transformaciones topológicas pueden cambiar números, torcerlos y retorcerlos, pero conservar su suma. Como los tubos de flujo magnético (conjuntos de bucles de líneas de campo magnético cerrados) tienden a resistirse a cruzarse entre sí en fluidos magnetohidrodinámicos, la helicidad magnética está muy bien conservada.

Como ocurre con muchas cantidades en el electromagnetismo, la helicidad magnética está estrechamente relacionada con la helicidad mecánica de los fluidos , la cantidad correspondiente a las líneas de flujo de fluidos, y sus dinámicas están interrelacionadas. ^{[5] [18]}

Invariancia cuadrática ideal

A finales de la década de 1950, Lodewijk Woltjer y Walter M. Elsässer descubrieron de forma independiente la invariancia ideal de la helicidad magnética, ^{[4] [3]} es decir, su conservación cuando la resistividad es cero. La prueba de Woltjer, válida para un sistema cerrado, se repite a continuación:

En magnetohidrodinámica ideal , la evolución temporal de un campo magnético y el potencial del vector magnético se puede expresar utilizando la ecuación de inducción como

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,}$

respectivamente, donde es un potencial escalar dado por la condición del calibre (ver § Consideraciones del calibre). Eligiendo el calibre de modo que el potencial escalar desaparezca, la evolución temporal de la helicidad magnética en un volumen viene dada por: ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}}$

El producto escalar en el integrando del primer término es cero ya que es ortogonal al producto cruz , y el segundo término se puede integrar por partes para dar ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$

donde el segundo término es una integral de superficie sobre la superficie límite del sistema cerrado. El producto escalar en el integrando del primer término es cero porque es ortogonal al El segundo término también desaparece porque los movimientos dentro del sistema cerrado no pueden afectar el potencial vectorial exterior, de modo que en la superficie límite el potencial vectorial magnético es una función continua. Por lo tanto, ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.}$ ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,}$

y la helicidad magnética se conserva idealmente. En todas las situaciones en las que la helicidad magnética es invariante en cuanto al calibre, la helicidad magnética se conserva idealmente sin necesidad de elegir un calibre específico. ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}$

La helicidad magnética permanece conservada en una buena aproximación incluso con una resistividad pequeña pero finita, en cuyo caso la reconexión magnética disipa la energía . ^{[6] [9]}

Propiedad de transferencia inversa

Las estructuras helicoidales de pequeña escala tienden a formar estructuras magnéticas cada vez más grandes. Esto puede denominarse transferencia inversa en el espacio de Fourier, a diferencia de la cascada de energía (directa) en flujos hidrodinámicos turbulentos tridimensionales. La posibilidad de tal transferencia inversa fue propuesta por primera vez por Uriel Frisch y sus colaboradores ^[5] y ha sido verificada mediante muchos experimentos numéricos. ^{[19] [20] [21] [22] [23] [24]} Como consecuencia, la presencia de helicidad magnética es una posibilidad para explicar la existencia y el sostenimiento de estructuras magnéticas a gran escala en el Universo.

Aquí se repite un argumento para esta transferencia inversa tomado de ^[5] , que se basa en la llamada "condición de realizabilidad" en el espectro de helicidad magnética de Fourier (donde está el coeficiente de Fourier en el vector de onda del campo magnético , y de manera similar para , la estrella que denota el complejo conjugado ). La "condición de realizabilidad" corresponde a una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que produce: ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$

$${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},}$$

solenoidal^[5] ${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}$

Entonces se puede imaginar una situación inicial sin campo de velocidad y con un campo magnético solo presente en dos vectores de onda y . Suponemos un campo magnético totalmente helicoidal, lo que significa que satura la condición de realizabilidad: y . Suponiendo que todas las transferencias de energía y helicidad magnética se realizan a otro vector de onda , la conservación de la helicidad magnética por un lado y de la energía total (la suma de la energía magnética y cinética) por el otro da: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$ ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$$

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$$

La segunda igualdad de la energía proviene del hecho de que consideramos un estado inicial sin energía cinética. Entonces tenemos lo necesariamente . De hecho, si hubiéramos tenido , entonces: ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$$

lo que rompería la condición de realizabilidad. Esto significa que . En particular, para , la helicidad magnética se transfiere a un vector de onda más pequeño, lo que significa a escalas mayores. ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ ${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$

Consideraciones de calibre

La helicidad magnética es una cantidad que depende del calibre, porque se puede redefinir agregándole un gradiente ( elección de calibre ). Sin embargo, para límites perfectamente conductores o sistemas periódicos sin un flujo magnético neto, la helicidad magnética contenida en todo el dominio es invariante de calibre, ^[17] es decir, independiente de la elección del calibre. Se ha definido una helicidad relativa invariante de calibre para volúmenes con flujo magnético distinto de cero en sus superficies límite. ^[6] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Ver también

• teorema de woltjer

Referencias

1. Cantarella, Jason; Deturck, Dennis; Gluck, Herman; Teytel, Mikhail (19 de marzo de 2013). "Influencia de la geometría y la topología en la helicidad". Helicidad magnética en plasmas espaciales y de laboratorio. Washington, DC: Unión Geofísica Estadounidense. págs. 17-24. doi :10.1029/gm111p0017. ISBN 978-1-118-66447-6. Consultado el 18 de enero de 2021 .
2. Moffatt, HK (16 de enero de 1969). "El grado de nudos de las líneas de vórtice enredadas". Revista de mecánica de fluidos . 35 (1): 117-129. Código bibliográfico : 1969JFM....35..117M. doi :10.1017/s0022112069000991. ISSN  0022-1120. S2CID  121478573.
3. Elsasser, Walter M. (1 de abril de 1956). "Teoría del dinamo hidromagnético". Reseñas de Física Moderna . 28 (2): 135-163. Código bibliográfico : 1956RvMP...28..135E. doi :10.1103/revmodphys.28.135. ISSN  0034-6861.
4. Woltjer, L. (1 de junio de 1958). "Un teorema sobre campos magnéticos libres de fuerzas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 44 (6): 489–491. Código bibliográfico : 1958PNAS...44..489W. doi : 10.1073/pnas.44.6.489 . ISSN  0027-8424. PMC 528606 . PMID  16590226. 
5. Frisch, U.; Pouquet, A.; LÉOrat, J.; Mazure, A. (29 de abril de 1975). "Posibilidad de una cascada inversa de helicidad magnética en turbulencia magnetohidrodinámica". Revista de mecánica de fluidos . 68 (4): 769–778. Código bibliográfico : 1975JFM....68..769F. doi :10.1017/s002211207500122x. ISSN  0022-1120. S2CID  45460069.
6. Berger, MA (1999). "Introducción a la helicidad magnética". Física del Plasma y Fusión Controlada . 41 (12B): B167-B175. Código Bib : 1999PPCF...41B.167B. doi :10.1088/0741-3335/41/12B/312. S2CID  250734282.
7. Bajo, antes de Cristo (1996). "Procesos magnetohidrodinámicos en la corona solar: llamaradas, eyecciones de masa coronal y helicidad magnética". Flujos magnetohidrodinámicos solares y astrofísicos. Dordrecht: Springer Países Bajos. págs. 133-149. doi :10.1007/978-94-009-0265-7_7. ISBN 978-94-010-6603-7. Consultado el 8 de octubre de 2020 .
8. Bieber, JW; Evenson, Pensilvania; Matthaeus, WH (abril de 1987). "Helicidad magnética del campo Parker". La revista astrofísica . 315 : 700. Código bibliográfico : 1987ApJ...315..700B. doi : 10.1086/165171 . ISSN  0004-637X.
9. Blackman, EG (2015). "Helicidad magnética y campos magnéticos a gran escala: introducción". Reseñas de ciencia espacial . 188 (1–4): 59–91. arXiv : 1402.0933 . Código Bib : 2015SSRv..188...59B. doi :10.1007/s11214-014-0038-6. S2CID  17015601.
10. Brandeburgo, A. (2009). "Teoría del dinamo hidromagnético". Scholarpedia . 2 (3): 2309. Código bibliográfico : 2007SchpJ...2.2309B. doi : 10.4249/scholarpedia.2309 . revisión n.º 73469.
11. Brandeburgo, A.; Lazariano, A. (31 de agosto de 2013). "Turbulencia hidromagnética astrofísica". Reseñas de ciencia espacial . 178 (2–4): 163–200. arXiv : 1307.5496 . Código Bib : 2013SSRv..178..163B. doi :10.1007/s11214-013-0009-3. ISSN  0038-6308. S2CID  16261037.
12. Vishniac, Ethan T.; Cho, Jungyeon (abril de 2001). "Conservación de la helicidad magnética y dinamos astrofísicos". La revista astrofísica . 550 (2): 752–760. arXiv : astro-ph/0010373 . Código Bib : 2001ApJ...550..752V. doi : 10.1086/319817 . ISSN  0004-637X.
13. Escandé, DF; Martín, P.; Ortolani, S.; Buffa, A.; Francisco, P.; Marrelli, L.; Martínes, E.; Spizzo, G.; Cappello, S.; Murari, A.; Pasqualotto, R. (21 de agosto de 2000). "Plasmas de pellizco de campo invertido de cuasi-helicidad única". Cartas de revisión física . 85 (8): 1662-1665. Código bibliográfico : 2000PhRvL..85.1662E. doi :10.1103/physrevlett.85.1662. ISSN  0031-9007. PMID  10970583.
14. Cantarella, Jason; Deturck, Dennis; Gluck, Herman; Teytel, Mikhail (1999). "Influencia de la geometría y topología en la helicidad [J]". Helicidad magnética en plasmas espaciales y de laboratorio. Serie de monografías geofísicas. págs. 17-24. doi :10.1029/GM111p0017. ISBN 9781118664476.
15. Brandeburgo, Axel; Subramanian, Kandaswamy (2005). "Campos magnéticos astrofísicos y teoría de la dinamo no lineal". Informes de Física . 417 (1–4): 1–209. arXiv : astro-ph/0405052 . Código bibliográfico : 2005PhR...417....1B. doi :10.1016/j.physrep.2005.06.005. ISSN  0370-1573. S2CID  119518712.
16. Huba, JD (2013). Formulario de plasma de NRL (PDF) . Washington, DC: Laboratorio de Investigación Naval de la División de Física del Plasma de la Rama de Física de Haz. Archivado desde el original (PDF) el 30 de junio de 2019.
17. Subramanian, K.; Brandeburgo, A. (2006). "Densidad de helicidad magnética y su flujo en turbulencias débilmente no homogéneas". Las cartas del diario astrofísico . 648 (1): L71-L74. arXiv : astro-ph/0509392 . Código Bib : 2006ApJ...648L..71S. doi :10.1086/507828. S2CID  323935.
18. Linkmann, Moritz; Sahoo, Ganapati; McKay, Mairi; Berera, Arjun; Biferale, Luca (6 de febrero de 2017). "Efectos de las helicidades magnéticas y cinéticas sobre el crecimiento de campos magnéticos en flujos laminares y turbulentos mediante descomposición helicoidal de Fourier". La revista astrofísica . 836 (1): 26. arXiv : 1609.01781 . Código Bib : 2017ApJ...836...26L. doi : 10.3847/1538-4357/836/1/26 . ISSN  1538-4357. S2CID  53126623.
19. Pouquet, A.; Frisch, U.; Léorat, J. (24 de septiembre de 1976). "Fuerte turbulencia helicoidal MHD y efecto dinamo no lineal". Revista de mecánica de fluidos . 77 (2): 321–354. Código bibliográfico : 1976JFM....77..321P. doi :10.1017/s0022112076002140. ISSN  0022-1120. S2CID  3746018.
20. Meneguzzi, M.; Frisch, U.; Pouquet, A. (12 de octubre de 1981). "Dínamos turbulentos helicoidales y no helicoidales". Cartas de revisión física . 47 (15): 1060–1064. Código bibliográfico : 1981PhRvL..47.1060M. doi :10.1103/physrevlett.47.1060. ISSN  0031-9007.
21. Balsara, D.; Pouquet, A. (enero de 1999). "La formación de estructuras a gran escala en flujos magnetohidrodinámicos supersónicos". Física de Plasmas . 6 (1): 89–99. Código Bib : 1999PhPl....6...89B. doi : 10.1063/1.873263. ISSN  1070-664X.
22. Christensson, Mattías; Hindmarsh, Marcos; Brandeburgo, Axel (22 de octubre de 2001). "Cascada inversa en decadencia de turbulencia magnetohidrodinámica tridimensional". Revisión física E. 64 (5): 056405. arXiv : astro-ph/0011321 . Código bibliográfico : 2001PhRvE..64e6405C. doi :10.1103/physreve.64.056405. ISSN  1063-651X. PMID  11736099. S2CID  8309837.
23. Brandeburgo, Axel (abril de 2001). "La cascada inversa y el efecto alfa no lineal en simulaciones de turbulencia hidromagnética helicoidal isotrópica". La revista astrofísica . 550 (2): 824–840. arXiv : astro-ph/0006186 . Código Bib : 2001ApJ...550..824B. doi : 10.1086/319783 . ISSN  0004-637X.
24. Alexakis, Alexandros; Mininni, Pablo D.; Pouquet, Annick (20 de marzo de 2006). "Sobre la cascada inversa de la helicidad magnética". La revista astrofísica . 640 (1): 335–343. arXiv : física/0509069 . Código Bib : 2006ApJ...640..335A. doi : 10.1086/500082 . ISSN  0004-637X.

enlaces externos

• Página de Helicidad de AA Pevtsov
• Página de publicaciones de Mitch Berger