Cascada de energía

Transferencia de energía entre escalas de movimiento

Visualización del flujo de un chorro turbulento, realizada mediante fluorescencia inducida por láser . El chorro presenta una amplia gama de escalas de longitud, un requisito previo para la aparición de una cascada de energía en el modelado de la turbulencia.

En mecánica de medios continuos , una cascada de energía implica la transferencia de energía desde grandes escalas de movimiento a escalas pequeñas (llamada cascada de energía directa ) o una transferencia de energía desde escalas pequeñas a escalas grandes (llamada cascada de energía inversa ). Esta transferencia de energía entre diferentes escalas requiere que la dinámica del sistema sea no lineal . Estrictamente hablando, una cascada requiere que la transferencia de energía sea local en escala (solo entre fluctuaciones de casi el mismo tamaño), evocando una cascada de un grupo a otro sin transferencias de largo alcance a través del dominio de escala.

Los grandes remolinos tienen pequeños remolinos
que se alimentan de su velocidad,
y los pequeños remolinos tienen remolinos menores
y así sucesivamente hasta la viscosidad.

— Lewis F. Richardson , 1922 ^[1]

Este concepto desempeña un papel importante en el estudio de la turbulencia bien desarrollada . Fue expresado de manera memorable en este poema de Lewis F. Richardson en la década de 1920. Las cascadas de energía también son importantes para las ondas de viento en la teoría de la turbulencia de las olas .

Consideremos, por ejemplo, la turbulencia generada por el flujo de aire alrededor de un edificio alto: los remolinos que contienen energía generados por la separación del flujo tienen tamaños del orden de decenas de metros. En algún lugar aguas abajo, la disipación por viscosidad tiene lugar, en su mayor parte, en remolinos en las microescalas de Kolmogorov : del orden de un milímetro para el presente caso. En estas escalas intermedias, no hay un forzamiento directo del flujo ni una cantidad significativa de disipación viscosa, pero hay una transferencia neta no lineal de energía desde las escalas grandes a las escalas pequeñas.

Este rango intermedio de escalas, si está presente, se denomina subrango inercial . La dinámica en estas escalas se describe mediante el uso de autosimilitud o mediante suposiciones (para el cierre de la turbulencia) sobre las propiedades estadísticas del flujo en el subrango inercial. Un trabajo pionero fue la deducción por parte de Andrey Kolmogorov en la década de 1940 del espectro de número de onda esperado en el subrango inercial de la turbulencia.

Espectros en el subrango inercial del flujo turbulento

Ilustración esquemática de la producción, cascada de energía y disipación en el espectro energético de la turbulencia.

Los movimientos más grandes, o remolinos, de turbulencia contienen la mayor parte de la energía cinética , mientras que los remolinos más pequeños son responsables de la disipación viscosa de la energía cinética de turbulencia. Kolmogorov planteó la hipótesis de que cuando estas escalas están bien separadas, el rango intermedio de escalas de longitud sería estadísticamente isótropo, y que sus características en equilibrio dependerían solo de la tasa a la que se disipa la energía cinética en las escalas pequeñas. La disipación es la conversión por fricción de energía mecánica en energía térmica . La tasa de disipación, , puede escribirse en términos de las tasas fluctuantes de deformación en el flujo turbulento y la viscosidad cinemática del fluido, v . Tiene dimensiones de energía por unidad de masa por segundo. En equilibrio, la producción de energía cinética de turbulencia en las grandes escalas de movimiento es igual a la disipación de esta energía en las escalas pequeñas. ${\displaystyle \varepsilon }$

Espectro energético de la turbulencia

El espectro de energía de la turbulencia, E ( k ), está relacionado con la energía cinética de turbulencia media por unidad de masa como ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,}$

donde u _i son los componentes de la velocidad fluctuante, la barra superior denota un promedio de conjunto, la suma sobre i está implícita y k es el número de onda . El espectro de energía, E ( k ), representa así la contribución a la energía cinética de la turbulencia por números de onda desde k hasta k  + d k . Los remolinos más grandes tienen números de onda bajos y los pequeños tienen números de onda altos.

Dado que la difusión funciona como el laplaciano de la velocidad, la tasa de disipación puede escribirse en términos del espectro de energía como:

${\displaystyle \varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,}$

donde ν es la viscosidad cinemática del fluido. A partir de esta ecuación, se puede observar nuevamente que la disipación está asociada principalmente con números de onda altos (remolinos pequeños), aunque la energía cinética está asociada principalmente con números de onda más bajos (remolinos grandes).

Espectro de energía en el subrango inercial

La transferencia de energía desde los números de onda bajos a los altos es la cascada de energía. Esta transferencia lleva la energía cinética de turbulencia desde las escalas grandes a las escalas pequeñas, en las que la fricción viscosa la disipa. En el rango intermedio de escalas, el llamado subrango inercial, las hipótesis de Kolmogorov conducen a la siguiente forma universal para el espectro de energía:

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.}$

Este resultado está respaldado por una gran cantidad de evidencia experimental en un amplio rango de condiciones. Experimentalmente, se observa el valor C = 1,5 . ^[2]

El resultado fue establecido por primera vez de forma independiente por Alexander Obukhov en 1941. ^[3] El resultado de Obukhov es equivalente a una transformada de Fourier del resultado de Kolmogorov de 1941 ^[4] para la función de estructura turbulenta. ^[5] ${\displaystyle E(k)\sim k^{-5/3}}$

Espectro de fluctuaciones de presión

Las fluctuaciones de presión en un flujo turbulento pueden caracterizarse de manera similar. La fluctuación de presión cuadrática media en un flujo turbulento puede representarse mediante un espectro de presión, π ( k ):

${\displaystyle {\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.}$

Para el caso de turbulencia sin gradiente de velocidad media (turbulencia isotrópica), el espectro en el subrango inercial viene dado por

${\displaystyle \pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3},}$

donde ρ es la densidad del fluido y α = 1,32 C ² = 2,97. ^[6] Un gradiente de velocidad de flujo medio ( flujo de corte ) crea una contribución adicional y aditiva al espectro de presión del subrango inercial que varía como k ^−11/3 ; pero el comportamiento k ^−7/3 es dominante en números de onda más altos. ^[7]

Espectro de perturbaciones provocadas por turbulencia en una superficie de líquido libre

Las fluctuaciones de presión por debajo de la superficie libre de un líquido pueden provocar desplazamientos fluctuantes de la superficie del líquido, que en longitudes de onda pequeñas están modulados por la tensión superficial. Esta interacción superficie libre-turbulencia también puede caracterizarse por un espectro de número de onda . Si δ es el desplazamiento instantáneo de la superficie desde su posición promedio, el desplazamiento cuadrático medio puede representarse con un espectro de desplazamiento G ( k ) como:

${\displaystyle {\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.}$

Se puede combinar una forma tridimensional del espectro de presión con la ecuación de Young-Laplace para demostrar que: ^[8]

${\displaystyle G(k)\propto k^{-19/3}.}$

La observación experimental de esta ley k ^−19/3 se ha obtenido mediante mediciones ópticas de la superficie de chorros de líquido libre turbulento. ^[8]

Notas

1. Richardson, Lewis Fry (1922). Predicción meteorológica mediante procesos numéricos. Boston: Cambridge University Press. pág. 66. ISBN 9780511618291. Recuperado el 23 de febrero de 2019 .
2. Pope, SB (2000). Flujos turbulentos . Cambridge University Press.
3. Obukhov, AM (1941). "Distribución de energía espectral en un flujo turbulento". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 32 : 22–24.
4. Kolmogorov, AN (1941). "Estructura local de la turbulencia en un fluido incompresible a números de Reynolds muy altos". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 31 : 99–101.
5. Yaglom, AM (1994). "AN Kolmogorov como mecánico de fluidos y fundador de una escuela en investigación de turbulencia". Revisión anual de mecánica de fluidos . 26 : 1–23. doi : 10.1146/annurev.fl.26.010194.000245 .
6. George, WK; Beuther, PD y Arndt, REA (noviembre de 1984). "Espectros de presión en flujos turbulentos de cizallamiento libre". Journal of Fluid Mechanics . 148 : 155–191. Bibcode :1984JFM...148..155G. doi :10.1017/S0022112084002299. S2CID  119938972.
7. Hoque, Mohammad Mainul; Mitra, Subhasish; Evans, Geoffrey M.; Pareek, Vishnu; Joshi, Jyeshtharaj B. (noviembre de 2018). "Efecto de la burbuja en los espectros de presión del flujo turbulento en rejilla oscilante a bajo número de Taylor-Reynolds". Chemical Engineering Science . 190 : 28–39. doi :10.1016/j.ces.2018.05.048.
8. Bhunia, SK; Lienhard V, JH (diciembre de 1994). "Evolución de la perturbación superficial y salpicadura de chorros de líquido turbulento". Journal of Fluids Engineering . 116 (4): 721–727. doi :10.1115/1.2911841.

Referencias

• Chorin, AJ (1994), Vorticidad y turbulencia , Applied Mathematical Sciences, vol. 103, Springer, ISBN 978-0-387-94197-4
• Falkovich, G.; Sreenivasan, KR (2006), "Lecciones de la turbulencia hidrodinámica", Physics Today , 59 (4): 43–49, Bibcode :2006PhT....59d..43F, doi :10.1063/1.2207037
• Frisch, U. (1995), Turbulencia: el legado de AN Kolmogorov , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45713-2
• Newell, AC ; Rumpf, B. (2011), "Turbulencia de las ondas", Annual Review of Fluid Mechanics , 43 (1): 59–78, Bibcode :2011AnRFM..43...59N, doi :10.1146/annurev-fluid-122109-160807
• Richardson, LF (1922), Predicción meteorológica mediante procesos numéricos , Cambridge University Press, OCLC  3494280

Enlaces externos

• G. Falkovich (ed.). "Cascada y escalamiento". Scholarpedia .