Helicidad hidrodinámica

Aspecto de la dinámica de fluidos euleriana.

En dinámica de fluidos , la helicidad es, en condiciones apropiadas, una invariante de las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos, teniendo una interpretación topológica como una medida de vinculación y/o nudos de las líneas de vórtice en el flujo. Esto fue demostrado por primera vez por Jean-Jacques Moreau en 1961 ^[1] y Moffatt lo derivó en 1969 sin el conocimiento del artículo de Moreau . Esta invariante de helicidad es una extensión del teorema de Woltjer para la helicidad magnética .

Sea el campo de velocidades y el correspondiente campo de vorticidad . Bajo las tres condiciones siguientes, las líneas de vórtice son transportadas con (o 'congeladas') el flujo: (i) el fluido no es viscoso ; (ii) o el flujo es incompresible ( ), o es compresible con una relación barotrópica entre la presión p y la densidad ρ ; y (iii) cualquier fuerza corporal que actúe sobre el fluido es conservativa . En estas condiciones, cualquier superficie cerrada S cuyos vectores normales sean ortogonales a la vorticidad (es decir, ) es, al igual que la vorticidad, transportada con el flujo. ${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle p=p(\rho )}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0}$

Sea V el volumen dentro de dicha superficie. Entonces la helicidad en V , denotada H , está definida por la integral de volumen

${\displaystyle H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.}$

Para una distribución de vorticidad localizada en un fluido ilimitado, se puede considerar que V es todo el espacio y H es entonces la helicidad total del flujo. H es invariante precisamente porque las líneas del vórtice están congeladas en el flujo y, por tanto, su vinculación y/o nudo se conserva, como reconoció Lord Kelvin (1868). La helicidad es una cantidad pseudoescalar: cambia de signo cuando se cambia de un marco de referencia diestro a zurdo; puede considerarse como una medida de la lateralidad (o quiralidad ) del flujo. La helicidad es una de las cuatro invariantes integrales conocidas de las ecuaciones de Euler; los otros tres son energía , momento y momento angular .

Para dos tubos de vórtice unidos y no anudados que tienen circulaciones y y sin torsión interna, la helicidad viene dada por , donde n es el número de enlace de Gauss de los dos tubos, y el más o el menos se elige según si el enlace es de derecha o de izquierda. entregó. Para un tubo de vórtice anudado único con circulación , entonces, como lo muestran Moffatt y Ricca (1992), la helicidad está dada por , donde y son la contorsión y torsión del tubo; Se sabe que la suma es invariante bajo la deformación continua del tubo. ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)}$ ${\displaystyle Wr}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle Wr+Tw}$

La invariancia de la helicidad proporciona una piedra angular esencial de la materia de dinámica de fluidos topológica y magnetohidrodinámica , que se ocupa de las propiedades globales de los flujos y sus características topológicas.

Meteorología

En meteorología , ^[2] la helicidad corresponde a la transferencia de vorticidad del medio ambiente a una parcela de aire en movimiento convectivo . Aquí la definición de helicidad se simplifica para usar solo el componente horizontal del viento y la vorticidad , y para integrar solo en la dirección vertical, reemplazando la integral de volumen con una integral definida unidimensional o una integral de línea :

${\displaystyle H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{Z}=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z},}$

dónde

• ${\displaystyle Z}$es la altitud,
• ${\displaystyle {\vec {V}}_{h}}$es la velocidad horizontal,
• ${\displaystyle {\vec {\zeta }}_{h}}$es la vorticidad horizontal.

Según esta fórmula, si el viento horizontal no cambia de dirección con la altitud , H será cero ya que y son perpendiculares , lo que hace que su producto escalar sea nulo. Entonces H es positivo si el viento gira (gira en el sentido de las agujas del reloj ) con la altitud y negativo si retrocede (gira en el sentido contrario a las agujas del reloj ). Esta helicidad utilizada en meteorología tiene unidades de energía por unidad de masa [m ² /s ² ] y, por tanto, se interpreta como una medida de la transferencia de energía por la cizalladura del viento con la altitud, incluida la direccional. ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle \nabla \times V_{h}}$

Esta noción se utiliza para predecir la posibilidad de desarrollo de tornados en una nube de tormenta . En este caso, la integración vertical se limitará por debajo de las cimas de las nubes (generalmente 3 km o 10 000 pies) y el viento horizontal se calculará para calcular el viento relativo a la tormenta restando su movimiento:

${\displaystyle \mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z}}$

¿Dónde está el movimiento de las nubes con respecto al suelo? ${\displaystyle {\vec {C}}}$

Los valores críticos de SRH ( H elicidad relativa de la tormenta ) para el desarrollo de tornados, según se investiga en América del Norte , ^[3] son:

• SRH = 150-299 ... posibles supercélulas con tornados débiles según la escala Fujita
• SRH = 300-499... muy favorable al desarrollo de supercélulas y tornados fuertes
• SRH > 450... tornados violentos
• Cuando se calcula solo por debajo de 1 km (4000 pies), el valor de corte es 100.

La helicidad en sí misma no es el único componente de las tormentas severas , y estos valores deben tomarse con precaución. ^[4] Por eso se ha creado el Índice de Helicidad Energética ( EHI ). Es el resultado de SRH multiplicado por la CAPE ( Energía Potencial Disponible Convectiva ) y luego dividido por una CAPE umbral:

${\displaystyle \mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}}$

Esto incorpora no sólo la helicidad sino también la energía de la parcela de aire y, por lo tanto, intenta eliminar el potencial débil de tormentas eléctricas incluso en regiones SRH fuertes. Los valores críticos de EHI:

• EHI = 1...posibles tornados
• EHI = 1-2... tornados moderados a fuertes
• EHI > 2... tornados fuertes

Notas

1. Moreau, JJ (1961). Constantes d'un îlot tourbillonnaire en fluide parfait barotrope. Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 252(19), 2810.
2. Martin Rowley meteorólogo jubilado del UKMET . "Definiciones de términos en meteorología". Archivado desde el original el 16 de mayo de 2006 . Consultado el 15 de julio de 2006 .
3. Thompson, rico. "Explicación de los parámetros de clima severo del SPC". Servicio Meteorológico Nacional - Centro de Predicción de Tormentas . NOAA . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2022 . Consultado el 13 de febrero de 2023 .
4. "Helicidad relativa de la tormenta". NOAA . Consultado el 8 de agosto de 2014 .

Referencias

• Batchelor, GK , (1967, reimpreso en 2000) Introducción a la dinámica de fluidos , Universidad de Cambridge. Prensa
• Ohkitani, K., " Relación elemental de vorticidad y ecuaciones relacionadas ". Prensa de la Universidad de Cambridge. 30 de enero de 2005. ISBN 0-521-81984-9 
• Chorin, AJ , " Vorticidad y turbulencia ". Ciencias Matemáticas Aplicadas, Vol 103, Springer-Verlag. 1 de marzo de 1994. ISBN 0-387-94197-5 
• Majda, AJ & Bertozzi, AL, " Vorticidad y flujo incompresible ". Prensa de la Universidad de Cambridge; 1ª edición. 15 de diciembre de 2001. ISBN 0-521-63948-4 
• Tritton, DJ , " Dinámica de fluidos físicos ". Van Nostrand Reinhold, Nueva York. 1977. ISBN 0-19-854493-6 
• Arfken, G., " Métodos matemáticos para físicos ", 3ª ed. Prensa académica, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5 
• Moffatt, HK (1969) El grado de nudos de las líneas de vórtice enredadas. J. Mec. de fluidos . 35 , págs. 117-129.
• Moffatt, HK y Ricca, RL (1992) La helicidad y la invariante de Cǎlugǎreanu. Proc. R. Soc. Londres. A 439 , págs. 411–429.
• Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868) Sobre el movimiento de vórtice. Trans. Roy. Soc. Edín. 25 , págs. 217-260.