Helicidad magnética

Medida de la topología del campo magnético

En física del plasma , la helicidad magnética es una medida del enlace, torsión y contorsión de un campo magnético . ^{[1] [2]}

La helicidad magnética es un concepto útil en el análisis de sistemas con resistividad extremadamente baja, como los sistemas astrofísicos. Cuando la resistividad es baja, la helicidad magnética se conserva en escalas de tiempo más largas, hasta una buena aproximación. La dinámica de la helicidad magnética es particularmente importante en el análisis de las erupciones solares y las eyecciones de masa coronal . ^[3] La helicidad magnética es relevante en la dinámica del viento solar . ^[4] Su conservación es significativa en los procesos de dinamo , y también juega un papel en la investigación de la fusión , como los experimentos de pinzamiento de campo inverso . ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Cuando un campo magnético contiene helicidad magnética, tiende a formar estructuras de gran escala a partir de otras de pequeña escala. ^[10] Este proceso puede denominarse transferencia inversa en el espacio de Fourier . Esta propiedad de aumentar la escala de las estructuras hace que la helicidad magnética sea especial en tres dimensiones, ya que otros flujos tridimensionales en la mecánica de fluidos ordinaria son lo opuesto, siendo turbulentos y teniendo la tendencia a "destruir" la estructura, en el sentido de que los vórtices de gran escala se rompen en otros más pequeños, hasta disiparse por efectos viscosos en calor. A través de un proceso paralelo pero invertido, ocurre lo contrario para los vórtices magnéticos, donde pequeñas estructuras helicoidales con helicidad magnética distinta de cero se combinan y forman campos magnéticos de gran escala. Esto es visible en la dinámica de la capa de corriente heliosférica , ^[11] una gran estructura magnética en el Sistema Solar .

Definición matemática

En general, la helicidad de un campo vectorial suave confinado a un volumen es la medida estándar del grado en que las líneas de campo se enroscan y enrollan unas sobre otras. ^{[12] [2]} Se define como la integral de volumen sobre el producto escalar de y su rotacional , : ${\displaystyle H^{\mathbf {f} }}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }}$

${\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.}$

Helicidad magnética

La helicidad magnética es la helicidad de un potencial vectorial magnético donde el campo magnético asociado está confinado a un volumen . La helicidad magnética puede expresarse como ^[5] ${\displaystyle H^{\mathbf {M} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}$

Dado que el potencial vectorial magnético no es invariante de calibre , la helicidad magnética tampoco es invariante de calibre en general. En consecuencia, la helicidad magnética de un sistema físico no se puede medir directamente. Sin embargo, en ciertas condiciones y bajo ciertas suposiciones, se puede medir la helicidad actual de un sistema y, a partir de ella, cuando se cumplen otras condiciones y bajo otras suposiciones, deducir la helicidad magnética. ^[13]

La helicidad magnética tiene unidades de flujo magnético al cuadrado: Wb ² ( al cuadrado de Webers ) en unidades SI y Mx ² ( al cuadrado de Maxwells ) en unidades gaussianas . ^[14]

Helicidad actual

La helicidad actual, o helicidad del campo magnético confinado a un volumen , se puede expresar como ${\displaystyle M^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV}$

donde es la densidad de corriente . ^[15] A diferencia de la helicidad magnética, la helicidad de la corriente no es un invariante ideal (no se conserva incluso cuando la resistividad eléctrica es cero). ${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$

Consideraciones sobre el calibre

La helicidad magnética es una cantidad dependiente del calibre, porque puede redefinirse añadiéndole un gradiente ( elección del calibre ). Sin embargo, para límites perfectamente conductores o sistemas periódicos sin un flujo magnético neto, la helicidad magnética contenida en todo el dominio es invariante al calibre, ^[15] es decir, independiente de la elección del calibre. Se ha definido una helicidad relativa invariante al calibre para volúmenes con flujo magnético distinto de cero en sus superficies límite. ^[11] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Interpretación topológica

El nombre "helicidad" se debe a que la trayectoria de una partícula de fluido en un fluido con velocidad y vorticidad forma una hélice en regiones donde la helicidad cinética . Cuando , la hélice resultante es dextrógira y cuando es levógira. Este comportamiento es muy similar al que se observa en relación con las líneas de campo magnético. ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}>0}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}<0}$

Las regiones donde la helicidad magnética no es cero también pueden contener otros tipos de estructuras magnéticas, como líneas de campo magnético helicoidales. La helicidad magnética es una generalización continua del concepto topológico de número de enlace a las cantidades diferenciales necesarias para describir el campo magnético. ^[11] Mientras que los números de enlace describen cuántas veces se interconectan las curvas, la helicidad magnética describe cuántas líneas de campo magnético están interconectadas. ^[5]

Ejemplos de curvas con valores variables de contorsión y torsión . La helicidad magnética mide la suma de estas dos cantidades para las líneas de campo magnético. La suma se conserva en todas las transformaciones en las que las curvas no se cortan ni se unen.

La helicidad magnética es proporcional a la suma de las magnitudes topológicas de torsión y retorcimiento de las líneas de campo magnético. El giro es la rotación del tubo de flujo alrededor de su eje, y el retorcimiento es la rotación del propio eje del tubo de flujo. Las transformaciones topológicas pueden cambiar los números de torsión y retorcimiento, pero conservan su suma. Como los tubos de flujo magnético (conjuntos de bucles cerrados de líneas de campo magnético) tienden a resistirse a cruzarse entre sí en fluidos magnetohidrodinámicos, la helicidad magnética se conserva muy bien.

Al igual que con muchas cantidades en el electromagnetismo, la helicidad magnética está estrechamente relacionada con la helicidad mecánica del fluido , la cantidad correspondiente para las líneas de flujo del fluido, y sus dinámicas están interrelacionadas. ^{[10] [16]}

Propiedades

Invariancia cuadrática ideal

A finales de los años 1950, Lodewijk Woltjer y Walter M. Elsässer descubrieron de forma independiente la invariancia ideal de la helicidad magnética, ^{[17] [18]} es decir, su conservación cuando la resistividad es cero. La prueba de Woltjer, válida para un sistema cerrado, se repite en la siguiente figura:

En la magnetohidrodinámica ideal , la evolución temporal de un campo magnético y del potencial vectorial magnético se puede expresar utilizando la ecuación de inducción como

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,}$

respectivamente, donde es un potencial escalar dado por la condición de calibración (ver § Consideraciones de calibración). Al elegir la calibración de modo que el potencial escalar se anule, , la evolución temporal de la helicidad magnética en un volumen viene dada por: ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}}$

El producto escalar en el integrando del primer término es cero ya que es ortogonal al producto vectorial , y el segundo término se puede integrar por partes para dar ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$

donde el segundo término es una integral de superficie sobre la superficie límite del sistema cerrado. El producto escalar en el integrando del primer término es cero porque es ortogonal a El segundo término también se anula porque los movimientos dentro del sistema cerrado no pueden afectar el potencial vectorial exterior, de modo que en la superficie límite, dado que el potencial vectorial magnético es una función continua, ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.}$ ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,}$

y la helicidad magnética se conserva de manera ideal. En todas las situaciones en las que la helicidad magnética es invariante en cuanto al calibre, la helicidad magnética se conserva de manera ideal sin necesidad de una elección específica del calibre. ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}$

La helicidad magnética se conserva en una buena aproximación incluso con una resistividad pequeña pero finita, en cuyo caso la reconexión magnética disipa energía . ^{[11] [5]}

Transferencia inversa

Las estructuras helicoidales de pequeña escala tienden a formar estructuras magnéticas cada vez más grandes. Esto puede denominarse transferencia inversa en el espacio de Fourier, a diferencia de la cascada de energía (directa) en flujos hidrodinámicos turbulentos tridimensionales. La posibilidad de dicha transferencia inversa fue propuesta por primera vez por Uriel Frisch y colaboradores ^[10] y ha sido verificada a través de muchos experimentos numéricos. ^{[19] [20] [21] [22] [23] [24]} Como consecuencia, la presencia de helicidad magnética es una posibilidad para explicar la existencia y el mantenimiento de estructuras magnéticas de gran escala en el Universo.

Aquí se repite un argumento para esta transferencia inversa tomado de ^[10] , que se basa en la llamada "condición de realizabilidad" en el espectro de Fourier de helicidad magnética (donde es el coeficiente de Fourier en el vector de onda del campo magnético , y de manera similar para , la estrella que denota el conjugado complejo ). La "condición de realizabilidad" corresponde a una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que produce: con el espectro de energía magnética. Para obtener esta desigualdad, se ha utilizado el hecho de que (con la parte solenoidal del potencial vectorial magnético transformado de Fourier, ortogonal al vector de onda en el espacio de Fourier), ya que . El factor 2 no está presente en el artículo ^[10] ya que la helicidad magnética se define allí alternativamente como . ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ $${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},}$$ ${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}$

Se puede entonces imaginar una situación inicial sin campo de velocidad y con un campo magnético presente únicamente en dos vectores de onda y . Suponemos un campo magnético completamente helicoidal, lo que significa que satura la condición de realizabilidad: y . Suponiendo que todas las transferencias de energía y helicidad magnética se realizan a otro vector de onda , la conservación de la helicidad magnética por un lado y de la energía total (la suma de la energía magnética y cinética) por el otro da: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$ ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$$

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$$

La segunda igualdad para la energía proviene del hecho de que consideramos un estado inicial sin energía cinética. Entonces tenemos que necesariamente . De hecho, si tuviéramos , entonces: ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$$

lo que rompería la condición de realizabilidad. Esto significa que . En particular, para , la helicidad magnética se transfiere a un vector de onda más pequeño, lo que significa a escalas mayores. ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ ${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$

Véase también

• Teorema de Woltjer

Referencias

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Enlaces externos

• Página de helicidad de AA Pevtsov
• Página de publicaciones de Mitch Berger