Ecuación de equilibrio

En teoría de la probabilidad , una ecuación de equilibrio es una ecuación que describe el flujo de probabilidad asociado con una cadena de Markov dentro y fuera de estados o conjunto de estados. ^[1]

equilibrio mundial

Las ecuaciones de equilibrio global (también conocidas como ecuaciones de equilibrio total ^[2] ) son un conjunto de ecuaciones que caracterizan la distribución de equilibrio (o cualquier distribución estacionaria) de una cadena de Markov, cuando dicha distribución existe.

Para una cadena de Markov de tiempo continuo con espacio de estados , tasa de transición de un estado a dada por y distribución de equilibrio dada por , las ecuaciones de equilibrio global están dadas por ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{ij}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{i}=\sum _{j\in S}\pi _{j}q_{ji},}$

o equivalente

${\displaystyle \pi _{i}\sum _{j\in S\setminus \{i\}}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}}\pi _{j}q_{ji}.}$

para todos . Aquí se representa el flujo de probabilidad de un estado a otro . Entonces, el lado izquierdo representa el flujo total desde fuera del estado i hacia estados distintos de i , mientras que el lado derecho representa el flujo total desde todos los estados hacia state . En general, es computacionalmente difícil resolver este sistema de ecuaciones para la mayoría de los modelos de colas. ^[4] ${\displaystyle i\in S}$ ${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle i}$

Saldo detallado

Para una cadena de Markov de tiempo continuo (CTMC) con matriz de tasas de transición , se puede encontrar tal que para cada par de estados y ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}}$

se cumple, entonces al sumar , se satisfacen las ecuaciones de equilibrio global y es la distribución estacionaria del proceso. ^[5] Si se puede encontrar tal solución, las ecuaciones resultantes suelen ser mucho más fáciles que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global. ^[4] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \pi }$

Un CTMC es reversible si y sólo si se satisfacen las condiciones de equilibrio detalladas para cada par de estados y . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Se dice que una cadena de Markov de tiempo discreto (DTMC) con matriz de transición y distribución de equilibrio está en equilibrio detallado si para todos los pares y , ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}p_{ji}.}$

Cuando se puede encontrar una solución, como en el caso de un CTMC, el cálculo suele ser mucho más rápido que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global.

saldo local

En algunas situaciones, los términos a ambos lados de las ecuaciones del equilibrio global se cancelan. Luego, las ecuaciones de equilibrio global se pueden dividir para obtener un conjunto de ecuaciones de equilibrio local (también conocidas como ecuaciones de equilibrio parcial , ^[2] ecuaciones de equilibrio independientes ^[7] o ecuaciones de equilibrio individuales ^[8] ). ^[1] Estas ecuaciones de equilibrio fueron consideradas por primera vez por Peter Whittle . ^{[8] [9]} Las ecuaciones resultantes se encuentran en algún lugar entre las ecuaciones de equilibrio detalladas y las de equilibrio global. Cualquier solución a las ecuaciones de equilibrio local es siempre una solución a las ecuaciones de equilibrio global (podemos recuperar las ecuaciones de equilibrio global sumando las ecuaciones de equilibrio local relevantes), pero lo contrario no siempre es cierto. ^[2] A menudo, construir ecuaciones de equilibrio local equivale a eliminar las sumas externas en las ecuaciones de equilibrio global para ciertos términos. ^[1] ${\displaystyle \pi }$

Durante la década de 1980 se pensaba que el equilibrio local era un requisito para una distribución de equilibrio en forma de producto , ^{[10] [11]} pero el modelo de red G de Gelenbe demostró que este no era el caso. ^[12]

Notas

1. Harrison, Peter G .; Patel, Naresh M. (1992). Modelado de rendimiento de redes de comunicación y arquitecturas informáticas . Addison-Wesley. ISBN 0-201-54419-9.
2. Kelly, FP (1979). Reversibilidad y redes estocásticas. J. Wiley. ISBN 0-471-27601-4.
3. Chandy, KM (marzo de 1972). "El análisis y soluciones para redes de colas generales". Proc. Sexta Conferencia Anual de Princeton sobre Sistemas y Ciencias de la Información, Universidad de Princeton . Princeton, Nueva Jersey, págs. 224–228.
4. Grassman, Winfried K. (2000). Probabilidad computacional . Saltador. ISBN 0-7923-8617-5.
5. Bocharov, Pavel Petrovich; D'Apice, C.; Pechinkin, AV; Salerno, S. (2004). Teoría de las colas . Walter de Gruyter. pag. 37.ISBN​ 90-6764-398-X.
6. Norris, James R. (1998). Cadenas de Markov. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-63396-6. Consultado el 11 de septiembre de 2010 .
7. Baskett, F.; Chandy, K. Mani ; Muntz, RR; Palacios, FG (1975). “Redes de colas abiertas, cerradas y mixtas con distintas clases de clientes”. Revista de la ACM . 22 (2): 248–260. doi : 10.1145/321879.321887 .
8. Whittle, P. (1968). "Distribuciones de equilibrio para un proceso de migración abierto". Revista de probabilidad aplicada . 5 (3): 567–571. doi :10.2307/3211921. JSTOR  3211921.
9. Chao, X.; Miyazawa, M. (1998). "Sobre la cuasi-reversibilidad y el equilibrio local: una derivación alternativa de los resultados en forma de producto". La investigación de operaciones . 46 (6): 927–933. doi :10.1287/opre.46.6.927. JSTOR  222945.
10. Boucherie, Richard J.; van Dijk, Nuevo México (1994). "Saldo local en redes de colas con clientes positivos y negativos". Anales de investigación de operaciones . 48 (5): 463–492. doi :10.1007/bf02033315. hdl : 1871/12327 .
11. Chandy, K. Mani ; Howard, JH hijo; Towsley, DF (1977). "Forma de producto y equilibrio local en redes de colas". Revista de la ACM . 24 (2): 250–263. doi : 10.1145/322003.322009 .
12. Gelenbe, Erol (septiembre de 1993). "G-Networks con movimiento de clientes activado". Revista de probabilidad aplicada . 30 (3): 742–748. doi :10.2307/3214781. JSTOR  3214781.