Ilustración geométrica de una prueba de la regla del producto.
En cálculo , la regla del producto (o regla de Leibniz [1] o regla del producto de Leibniz ) es una fórmula utilizada para encontrar las derivadas de productos de dos o más funciones . Para dos funciones, puede expresarse en la notación de Lagrange como o en la notación de Leibniz como
La regla puede extenderse o generalizarse a productos de tres o más funciones, a una regla para derivadas de orden superior de un producto y a otros contextos.
Descubrimiento
El descubrimiento de esta regla se atribuye a Gottfried Leibniz , quien la demostró utilizando diferenciales . [2] (Sin embargo, JM Child, un traductor de los artículos de Leibniz, [3] sostiene que se debe a Isaac Barrow .) Aquí está el argumento de Leibniz: Sean u ( x ) y v ( x ) dos funciones diferenciables de x . Entonces el diferencial de uv es
Dado que el término du · dv es "despreciable" (comparado con du y dv ), Leibniz concluyó que
ésta es, de hecho, la forma diferencial de la regla del producto. Si dividimos por el diferencial dx , obtenemos
que también se puede escribir en notación de Lagrange como
Ejemplos
Supongamos que queremos diferenciar. Usando la regla del producto, se obtiene la derivada (ya que la derivada de es y la derivada de la función seno es la función coseno).
Un caso especial de la regla del producto es la regla del múltiplo constante , que establece: si c es un número y es una función diferenciable, entonces también es diferenciable y su derivada es. Esto se deduce de la regla del producto ya que la derivada de cualquier constante es cero. Esto, combinado con la regla de la suma para las derivadas, muestra que la diferenciación es lineal .
La regla de integración por partes se deriva de la regla del producto, al igual que (una versión débil de) la regla del cociente . (Es una versión "débil" porque no prueba que el cociente sea diferenciable, sino que sólo dice cuál es su derivada si es diferenciable).
Pruebas
Definición límite de derivada
Sea h ( x ) = f ( x ) g ( x ) y suponga que f y g son diferenciables en x . Queremos demostrar que h es diferenciable en x y que su derivada, h ′ ( x ) , está dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para hacer esto, (que es cero, y por lo tanto no cambia el valor) se suma al numerador para permitir su factorización, y luego se usan propiedades de límites.
El hecho de que esto se deduzca del hecho de que las funciones diferenciables son continuas.
Aproximaciones lineales
Por definición, si son diferenciables en , entonces podemos escribir aproximaciones lineales : y
donde los términos de error son pequeños con respecto a h : es decir, también escritos . Entonces:
Los "términos de error" consisten en elementos como y que se ve fácilmente que tienen magnitud. Dividir por y tomar el límite da el resultado.
En el contexto del enfoque de Lawvere sobre los infinitesimales, sea un infinitesimal nilcuadrado. Entonces y , de modo que
desde Dividir por entonces da o .
Diferenciación logarítmica
Dejar . Tomando el valor absoluto de cada función y el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación,
aplicando las propiedades del valor absoluto y los logaritmos,
tomando la derivada logarítmica de ambos lados y luego resolviendo :
Resolviendo y sustituyendo se obtiene :
Nota: Tomando El valor absoluto de las funciones es necesario para la diferenciación logarítmica de funciones que pueden tener valores negativos, ya que los logaritmos sólo tienen valores reales para argumentos positivos. Esto funciona porque , lo que justifica tomar el valor absoluto de las funciones para la diferenciación logarítmica.
Generalizaciones
Producto de más de dos factores.
La regla del producto se puede generalizar a productos de más de dos factores. Por ejemplo, para tres factores tenemos
Para una colección de funciones , tenemos
La derivada logarítmica proporciona una expresión más simple de la última forma, así como una prueba directa que no implica ninguna recursividad . La derivada logarítmica de una función f , denotada aquí Logder( f ) , es la derivada del logaritmo de la función. Se deduce que
Usando que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, la regla de la suma para las derivadas da inmediatamente
La última expresión anterior de la derivada de un producto se obtiene multiplicando ambos miembros de esta ecuación por el producto de el
Derivados superiores
También se puede generalizar a la regla general de Leibniz para la enésima derivada de un producto de dos factores, expandiendo simbólicamente según el teorema del binomio :
Aplicada en un punto específico x , la fórmula anterior da:
Además, para la enésima derivada de un número arbitrario de factores, se tiene una fórmula similar con coeficientes multinomiales :
También hay análogos para otros análogos de la derivada: si f y g son campos escalares, entonces existe una regla del producto con el gradiente :
Esta regla será válida para cualquier operación de producto bilineal continua . Sea B : X × Y → Z un mapa bilineal continuo entre espacios vectoriales, y sean f y g funciones diferenciables en X e Y , respectivamente. Las únicas propiedades de la multiplicación utilizadas en la prueba utilizando la definición límite de derivada es que la multiplicación es continua y bilineal. Entonces, para cualquier operación bilineal continua,
este es también un caso especial de la regla del producto para aplicaciones bilineales en el espacio de Banach.
Derivaciones en álgebra abstracta y geometría diferencial.
En álgebra abstracta , la regla del producto es la propiedad definitoria de una derivación . En esta terminología, la regla del producto establece que el operador derivativo es una derivación de funciones.
Entre las aplicaciones de la regla del producto se encuentra una prueba de que
cuando n es un número entero positivo (esta regla es cierta incluso si n no es positivo o no es un número entero, pero la prueba de eso debe depender de otros métodos). La prueba es por inducción matemática sobre el exponente n . Si n = 0 entonces x n es constante y nx n − 1 = 0. La regla se cumple en ese caso porque la derivada de una función constante es 0. Si la regla se cumple para cualquier exponente particular n , entonces para el siguiente valor, n + 1, tenemos
Por tanto, si la proposición es verdadera para n , también lo es para n + 1, y por tanto para todo n natural .
^ "Regla de Leibniz - Enciclopedia de Matemáticas".
^ Michelle Cirillo (agosto de 2007). "Humanizando el Cálculo" . El profesor de matemáticas . 101 (1): 23–27. doi :10.5951/MT.101.1.0023.
^ Leibniz, GW (2005) [1920], Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz (PDF) , traducido por JM Child, Dover, p. 28, nota al pie 58, ISBN978-0-486-44596-0
^ Micheal Hardy (enero de 2006). "Combinatoria de Derivados Parciales" (PDF) . La Revista Electrónica de Combinatoria . 13 . arXiv : matemáticas/0601149 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 1149H.
^ Kreigl, Andreas; Micor, Peter (1997). El entorno conveniente del análisis global (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 59.ISBN0-8218-0780-3.
^ Stewart, James (2016), Cálculo (8 ed.), Cengage, Sección 13.2.