Número de Fermat

Entero positivo de la forma (2^(2^n))+1

En matemáticas , un número de Fermat , llamado así en honor a Pierre de Fermat (1607–1665), el primero que se sabe que los estudió, es un número entero positivo de la forma: donde n es un número entero no negativo . Los primeros números de Fermat son: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, ... (secuencia A000215 en la OEIS ). ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

Si 2 ^k + 1 es primo y k > 0 , entonces k debe ser una potencia de 2, ^[1] por lo que 2 ^k + 1 es un número de Fermat; estos primos se denominan primos de Fermat . A partir de 2023 ^[actualizar], los únicos primos de Fermat conocidos son F ₀ = 3 , F ₁ = 5 , F ₂ = 17 , F ₃ = 257 y F ₄ = 65537 (secuencia A019434 en la OEIS ).

Propiedades básicas

Los números de Fermat satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia :

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

para n ≥ 1,

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

para n ≥ 2 . Cada una de estas relaciones puede demostrarse por inducción matemática . De la segunda ecuación, podemos deducir el teorema de Goldbach (llamado así por Christian Goldbach ): no hay dos números de Fermat que compartan un factor entero común mayor que 1 . Para ver esto, supongamos que 0 ≤ i < j y F _i y F _j tienen un factor común a > 1 . Entonces a divide a ambos

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}$

y F _j ; por lo tanto a divide su diferencia, 2. Como a > 1 , esto fuerza a = 2 . Esto es una contradicción , porque cada número de Fermat es claramente impar. Como corolario , obtenemos otra prueba de la infinitud de los números primos: para cada F _n , elijamos un factor primo p _n ; entonces la secuencia { p _n } es una secuencia infinita de primos distintos.

Otras propiedades

• Ningún primo de Fermat puede expresarse como la diferencia de dos potencias p , donde p es un primo impar.
• Con excepción de F ₀ y F ₁ , el último dígito decimal de un número de Fermat es 7.
• La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (secuencia A051158 en la OEIS ) es irracional . ( Solomon W. Golomb , 1963)

Primalidad

Los números de Fermat y los primos de Fermat fueron estudiados por primera vez por Pierre de Fermat, quien conjeturó que todos los números de Fermat son primos. De hecho, se demuestra fácilmente que los primeros cinco números de Fermat F ₀ , ..., F ₄ son primos. La conjetura de Fermat fue refutada por Leonhard Euler en 1732 cuando demostró que

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

Euler demostró que cada factor de F _n debe tener la forma k  2 ^{n +1} + 1 (posteriormente mejorada a k  2 ^{n +2} + 1 por Lucas ) para n ≥ 2 .

Que 641 es un factor de F ₅ se puede deducir de las igualdades 641 = 2 ⁷  × 5 + 1 y 641 = 2 ⁴  + 5 ⁴ . De la primera igualdad se sigue que 2 ⁷  × 5 ≡ −1 (mod 641) y por tanto (elevado a la cuarta potencia) que 2 ²⁸  × 5 ⁴  ≡ 1 (mod 641). Por otra parte, la segunda igualdad implica que 5 ⁴  ≡ −2 ⁴  (mod 641). Estas congruencias implican que 2 ³²  ≡ −1 (mod 641).

Fermat probablemente conocía la forma de los factores que luego demostró Euler, por lo que parece curioso que no pudiera realizar el cálculo sencillo para encontrar el factor. ^[2] Una explicación común es que Fermat cometió un error de cálculo.

No se conocen otros primos de Fermat F _n con n > 4 , pero se sabe poco sobre los números de Fermat para n grandes . ^[3] De hecho, cada uno de los siguientes es un problema abierto:

• ¿Es F _n compuesto para todo n > 4 ?
• ¿Existen infinitos números primos de Fermat? ( Eisenstein 1844 ^[4] )
• ¿Existen infinitos números de Fermat compuestos?
• ¿Existe un número de Fermat que no sea libre de cuadrados ?

A partir de 2024 ^[actualizar], se sabe que F _n es compuesto para 5 ≤ n ≤ 32 , aunque de estos, solo se conocen factorizaciones completas de F _n para 0 ≤ n ≤ 11 , y no hay factores primos conocidos para n = 20 y n = 24. [ ^5] El número de Fermat más grande conocido como compuesto es F _18233954 , y su factor primo 7 × 2 ^18233956 + 1 fue descubierto en octubre de 2020.

Argumentos heurísticos

La heurística sugiere que F ₄ es el último primo de Fermat.

El teorema de los números primos implica que un entero aleatorio en un intervalo adecuado alrededor de N es primo con probabilidad 1  /  ln N . Si se utiliza la heurística de que un número de Fermat es primo con la misma probabilidad que un entero aleatorio de su tamaño, y que F ₅ , ..., F ₃₂ son compuestos, entonces el número esperado de primos de Fermat más allá de F ₄ (o equivalentemente, más allá de F ₃₂ ) debería ser

${\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3.36\times 10^{-10}.}$

Este número se puede interpretar como un límite superior para la probabilidad de que exista un primo de Fermat mayor que F ₄ .

Este argumento no es una prueba rigurosa. Por un lado, supone que los números de Fermat se comportan de forma "aleatoria", pero los factores de los números de Fermat tienen propiedades especiales. Boklan y Conway publicaron un análisis más preciso que sugiere que la probabilidad de que exista otro primo de Fermat es inferior a una en mil millones. ^[6]

Anders Bjorn y Hans Riesel estimaron el número de factores cuadrados de los números de Fermat desde F ₅ en adelante como

${\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}<{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\approx 0.02576;}$

en otras palabras, es poco probable que existan números de Fermat que no sean libres de cuadrados y, en general, los factores cuadrados de son muy raros para n grandes . ^[7] ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$

Condiciones equivalentes

Sea el n- ésimo número de Fermat. La prueba de Pépin establece que para n > 0 , ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

${\displaystyle F_{n}}$es primo si y sólo si ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

La expresión se puede evaluar módulo elevando al cuadrado repetidamente . Esto hace que la prueba sea un algoritmo rápido en tiempo polinómico . Pero los números de Fermat crecen tan rápido que solo se pueden probar unos pocos de ellos en una cantidad de tiempo y espacio razonables. ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Existen algunas pruebas para números de la forma k  2 ^m + 1 , como los factores de los números de Fermat, para determinar su primalidad.

Teorema de Proth (1878). Sea N = k  2 ^m + 1 con k impar < 2 ^m . Si existe un entero a tal que

${\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}$

entonces es primo. Por el contrario, si la congruencia anterior no se cumple, y además ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}$(Ver símbolo de Jacobi )

entonces es compuesto. ${\displaystyle N}$

Si N = F _n > 3 , entonces el símbolo de Jacobi anterior siempre es igual a −1 para a = 3 , y este caso especial del teorema de Proth se conoce como prueba de Pépin . Aunque la prueba de Pépin y el teorema de Proth se han implementado en computadoras para demostrar la composición de algunos números de Fermat, ninguna prueba proporciona un factor no trivial específico. De hecho, no se conocen factores primos específicos para n = 20 y 24.

Factorización

Debido al tamaño de los números de Fermat, es difícil factorizar o incluso comprobar la primalidad. La prueba de Pépin proporciona una condición necesaria y suficiente para la primalidad de los números de Fermat, y puede implementarse en las computadoras modernas. El método de la curva elíptica es un método rápido para encontrar divisores primos pequeños de números. El proyecto de computación distribuida Fermatsearch ha encontrado algunos factores de números de Fermat. El proth.exe de Yves Gallot se ha utilizado para encontrar factores de números de Fermat grandes. Édouard Lucas , mejorando el resultado mencionado anteriormente de Euler, demostró en 1878 que cada factor del número de Fermat , con n al menos 2, es de la forma (ver Número de Proth ), donde k es un entero positivo. Por sí mismo, esto hace que sea fácil demostrar la primalidad de los primos de Fermat conocidos. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}$

Las factorizaciones de los primeros 12 números de Fermat son:

A partir de abril de 2023 ^[actualizar], solo F ₀ a F ₁₁ han sido completamente factorizados . ^[5] El proyecto de computación distribuida Fermat Search está buscando nuevos factores de números de Fermat. ^[9] El conjunto de todos los factores de Fermat es A050922 (o, ordenado, A023394) en OEIS .

Los siguientes factores de los números de Fermat se conocían antes de 1950 (desde entonces, las computadoras digitales han ayudado a encontrar más factores):

A partir de julio de 2023 ^[actualizar], se conocen 368 factores primos de números de Fermat y se sabe que 324 números de Fermat son compuestos. ^[5] Cada año se descubren varios factores de Fermat nuevos. ^[10]

Pseudoprimos y números de Fermat

Al igual que los números compuestos de la forma 2 ^p − 1, cada número de Fermat compuesto es un pseudoprimo fuerte en base 2. Esto se debe a que todos los pseudoprimos fuertes en base 2 también son pseudoprimos de Fermat , es decir,

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

para todos los números de Fermat. ^[11]

En 1904, Cipolla demostró que el producto de al menos dos números de Fermat primos o compuestos distintos será un pseudoprimo de Fermat en base 2 si y sólo si . ^[12] ${\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}$ ${\displaystyle a>b>\dots >s>1}$ ${\displaystyle 2^{s}>a}$

Otros teoremas sobre los números de Fermat

Lema.  —  Si n es un entero positivo,

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}.}$

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}&=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}}$

Teorema  —  Si es un primo impar, entonces es una potencia de 2. ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Prueba

Si es un entero positivo pero no una potencia de 2, debe tener un factor primo impar , y podemos escribir donde . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s>2}$ ${\displaystyle k=rs}$ ${\displaystyle 1\leq r<k}$

Por el lema anterior, para un entero positivo , ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (a-b)\mid (a^{m}-b^{m})}$

donde significa "divide uniformemente". Sustituyendo , y y usando que es impar, ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a=2^{r},b=-1}$ ${\displaystyle m=s}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{rs}+1),}$

y por lo tanto

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{k}+1).}$

Como , se sigue que no es primo. Por lo tanto, por contraposición debe ser una potencia de 2. ${\displaystyle 1<2^{r}+1<2^{k}+1}$ ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Teorema  :  Un primo de Fermat no puede ser un primo de Wieferich .

Prueba

Demostramos que si es un primo de Fermat (y, por lo tanto, por lo anterior, m es una potencia de 2), entonces la congruencia no se cumple. ${\displaystyle p=2^{m}+1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}}$

Dado que podemos escribir . Si se cumple la congruencia dada, entonces , y por lo tanto ${\displaystyle 2m|p-1}$ ${\displaystyle p-1=2m\lambda }$ ${\displaystyle p^{2}|2^{2m\lambda }-1}$

${\displaystyle 0\equiv {\frac {2^{2m\lambda }-1}{2^{m}+1}}=(2^{m}-1)\left(1+2^{2m}+2^{4m}+\cdots +2^{2(\lambda -1)m}\right)\equiv -2\lambda {\pmod {2^{m}+1}}.}$

Por lo tanto , y por lo tanto . Esto conduce a , lo cual es imposible ya que . ${\displaystyle 2^{m}+1|2\lambda }$ ${\displaystyle 2\lambda \geq 2^{m}+1}$ ${\displaystyle p-1\geq m(2^{m}+1)}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Teorema  ( Édouard Lucas )  —  Cualquier divisor primo p de es de la forma siempre que n > 1 . ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle k2^{n+2}+1}$

Bosquejo de la prueba

Sea G _p el grupo de enteros distintos de cero módulo p bajo la multiplicación , que tiene orden p − 1 . Nótese que 2 (estrictamente hablando, su imagen módulo p ) tiene orden multiplicativo igual a en G _p (ya que es el cuadrado de cuyo valor es −1 módulo F _n ), de modo que, por el teorema de Lagrange , p − 1 es divisible por y p tiene la forma para algún entero k , como Euler sabía. Édouard Lucas fue más allá. Como n > 1 , el primo p anterior es congruente con 1 módulo 8. Por lo tanto (como sabía Carl Friedrich Gauss ), 2 es un residuo cuadrático módulo p , es decir, hay un entero a tal que Entonces la imagen de a tiene orden en el grupo G _p y (usando nuevamente el teorema de Lagrange), p − 1 es divisible por y p tiene la forma para algún entero s . ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n+1}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle k2^{n+1}+1}$ ${\displaystyle p|a^{2}-2.}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle s2^{n+2}+1}$

De hecho, se puede ver directamente que 2 es un residuo cuadrático módulo p , ya que

${\displaystyle \left(1+2^{2^{n-1}}\right)^{2}\equiv 2^{1+2^{n-1}}{\pmod {p}}.}$

Como una potencia impar de 2 es un residuo cuadrático módulo p , entonces 2 también lo es.

Un número de Fermat no puede ser un número perfecto ni parte de un par de números amigos . (Luca 2000)

La serie de recíprocos de todos los divisores primos de los números de Fermat es convergente . (Křížek, Luca y Somer 2002)

Si n ⁿ + 1 es primo, existe un entero m tal que n = 2 ^{2 m} . La ecuación n ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m )} se cumple en ese caso. ^{[13] [14]}

Sea P ( F _n ) el mayor factor primo del número de Fermat F _n . Entonces,

${\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}$(Grytczuk, Luca y Wójtowicz 2001)

Relación con los polígonos construibles

Número de lados de polígonos construibles conocidos que tienen hasta 1000 lados (negrita) o un número de lados impares (rojo)

Carl Friedrich Gauss desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae y formuló una condición suficiente para la constructibilidad de los polígonos regulares. Gauss afirmó que esta condición también era necesaria , ^[15] pero nunca publicó una prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel :

Un polígono regular de n lados se puede construir con compás y regla si y solo si n es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos: en otras palabras, si y solo si n tiene la forma n = 2 ^k o n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s , donde k , s son números enteros no negativos y p _i son primos de Fermat distintos.

Un entero positivo n tiene la forma anterior si y sólo si su total φ ( n ) es una potencia de 2.

Aplicaciones de los números de Fermat

Generación de números pseudoaleatorios

Los primos de Fermat son particularmente útiles para generar secuencias pseudoaleatorias de números en el rango 1, ..., N , donde N es una potencia de 2. El método más común utilizado es tomar cualquier valor de semilla entre 1 y P − 1 , donde P es un primo de Fermat. Ahora multiplique esto por un número A , que es mayor que la raíz cuadrada de P y es una raíz primitiva módulo P (es decir, no es un residuo cuadrático ). Luego tome el resultado módulo P . El resultado es el nuevo valor para el RNG.

${\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}$(ver generador congruencial lineal , RANDU )

Esto es útil en informática, ya que la mayoría de las estructuras de datos tienen miembros con 2 ^X valores posibles. Por ejemplo, un byte tiene 256 (2 ⁸ ) valores posibles (0–255). Por lo tanto, para llenar un byte o bytes con valores aleatorios, se puede utilizar un generador de números aleatorios que produzca valores 1–256, tomando el byte el valor de salida −1. Los primos de Fermat muy grandes son de particular interés en el cifrado de datos por esta razón. Este método produce solo valores pseudoaleatorios , ya que después de P − 1 repeticiones, la secuencia se repite. Un multiplicador mal elegido puede dar como resultado que la secuencia se repita antes de P − 1 .

Números de Fermat generalizados

Los números de la forma con a , b cualesquiera coprimos enteros, a > b > 0 , se denominan números de Fermat generalizados . Un primo impar p es un número de Fermat generalizado si y solo si p es congruente con 1 (mod 4) . (Aquí consideramos solo el caso n > 0 , por lo que 3 = no es un contraejemplo). ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}$

Un ejemplo de un primo probable de esta forma es 1215 ¹³¹⁰⁷² + 242 ¹³¹⁰⁷² (descubierto por Kellen Shenton). ^[16]

Por analogía con los números de Fermat ordinarios, es común escribir números de Fermat generalizados de la forma F _n ( a ). En esta notación, por ejemplo, el número 100.000.001 se escribiría como F _{3 (10). En lo sucesivo} nos limitaremos a los primos de esta forma, , a dichos primos se les denomina "primos de Fermat base a ". Por supuesto, estos primos sólo existen si a es par . ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$ ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$

Si requerimos que n > 0 , entonces el cuarto problema de Landau pregunta si hay infinitos primos de Fermat generalizados F _n ( a ).

Primos de Fermat generalizados de la forma Fnorte(a)

Debido a la facilidad para demostrar su primalidad, los números primos de Fermat generalizados se han convertido en los últimos años en un tema de investigación dentro del campo de la teoría de números. Muchos de los números primos más grandes conocidos en la actualidad son números primos de Fermat generalizados.

Los números de Fermat generalizados pueden ser primos solo para a par , porque si a es impar, entonces todo número de Fermat generalizado será divisible por 2. El número primo más pequeño con es , o 30 ³² + 1. Además, podemos definir "números de Fermat semirgeneralizados" para una base impar, un número de Fermat semirgeneralizado en base a (para a impar ) es , y también es de esperar que solo haya un número finito de primos de Fermat semirgeneralizados para cada base impar. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n>4}$ ${\displaystyle F_{5}(30)}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}$

En esta lista, los números de Fermat generalizados ( ) para un a par son , para un a impar son . Si a es una potencia perfecta con exponente impar (secuencia A070265 en la OEIS ), entonces todos los números de Fermat generalizados pueden factorizarse algebraicamente, por lo que no pueden ser primos. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}$

Véase ^{[17] [18]} para bases pares hasta 1000, y ^[19] para bases impares. Para el número más pequeño que es primo, véase OEIS : A253242 . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Para la base par más pequeña a tal que sea prima, véase OEIS : A056993 . ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Las bases más pequeñas b=b(n) tales que b ^{2 n} + 1 (para n = 0,1,2, ... ) es primo son

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (secuencia A056993 en la OEIS )

Por el contrario, los k=k(n) más pequeños tales que (2 n ) ^k + 1 (para n dado ) es primo son

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (El siguiente término es desconocido) (secuencia A079706 en la OEIS ) (ver también OEIS : A228101 y OEIS : A084712 )

Se puede utilizar una teoría más elaborada para predecir el número de bases para las cuales será primo para . Se puede esperar que el número de primos de Fermat generalizados se reduzca aproximadamente a la mitad a medida que se incrementa en 1. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Primos de Fermat generalizados de la forma Fnorte(a,b)

También es posible construir primos de Fermat generalizados de la forma . Como en el caso en que b = 1, los números de esta forma siempre serán divisibles por 2 si a+b es par, pero aún es posible definir primos de medio Fermat generalizados de este tipo. Para el primo más pequeño de la forma (para impar ), consulte también OEIS : A111635 . ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$ ${\displaystyle F_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$

Los números primos de Fermat generalizados más grandes conocidos

La siguiente es una lista de los cinco primos de Fermat generalizados más grandes conocidos. ^[21] El top 5 completo fue descubierto por los participantes del proyecto PrimeGrid .

En las páginas Prime se pueden encontrar los 100 mejores primos de Fermat generalizados actuales.

Véase también

• Polígono construible : qué polígonos regulares son construibles depende parcialmente de los primos de Fermat.
• Función exponencial doble
• Teorema de Lucas
• Prima de Mersenne
• Pierpont principal
• Prueba de primalidad
• Teorema de Proth
• Pseudoprime
• Número de Sierpinski
• La secuencia de Sylvester

Notas

1. Para cualquier número impar positivo , donde . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{2^{k}m}+1=(a+1)(a^{m-1}-a^{m-2}+\ldots -a+1)}$ ${\displaystyle a=2^{2^{k}}}$
2. Křížek, Luca y Somer 2001, pág. 38, Observación 4.15
3. Chris Caldwell, "Prime Links++: formularios especiales" Archivado el 24 de diciembre de 2013 en Wayback Machine en The Prime Pages .
4. Ribenboim 1996, pág. 88.
5. Keller, Wilfrid (18 de enero de 2021), "Prime Factors of Fermat Numbers", ProthSearch.com , consultado el 19 de enero de 2021
6. Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "¡Espere como máximo una milmillonésima parte de un nuevo primo de Fermat!". The Mathematical Intelligencer . 39 (1): 3–5. arXiv : 1605.01371 . doi :10.1007/s00283-016-9644-3. S2CID  119165671.
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21. Caldwell, Chris K. "Los veinte primeros: Fermat generalizado". The Prime Pages . Consultado el 5 de octubre de 2024 .
22. 4×511786358 + 1
23. 19637361048576 + 1
24. 19517341048576 + 1
25. 10590941048576 + 1
26. 9194441048576 + 1

Referencias

• Golomb, SW (1 de enero de 1963), "Sobre la suma de los recíprocos de los números de Fermat y las irracionalidades relacionadas", Canadian Journal of Mathematics , 15 : 475–478, doi : 10.4153/CJM-1963-051-0 , S2CID  123138118
• Grytczuk, A.; Luca, F. y Wójtowicz, M. (2001), "Otra nota sobre los mayores factores primos de los números de Fermat", Southeast Asian Bulletin of Mathematics , 25 (1): 111–115, doi :10.1007/s10012-001-0111-4, S2CID  122332537
• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números, Libros de problemas de matemáticas, vol. 1 (3.ª ed.), Nueva York: Springer Verlag , pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
• Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2001), 17 conferencias sobre números de Fermat: de la teoría de números a la geometría, CMS books in mathematics, vol. 10, Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8- Este libro contiene una extensa lista de referencias.
• Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2002), "Sobre la convergencia de series de recíprocos de primos relacionados con los números de Fermat", Journal of Number Theory , 97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782
• Luca, Florian (2000), "El número de Fermat antisocial", American Mathematical Monthly , 107 (2): 171–173, doi :10.2307/2589441, JSTOR  2589441
• Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Robinson, Raphael M. (1954), "Números de Mersenne y Fermat", Actas de la American Mathematical Society , 5 (5): 842–846, doi : 10.2307/2031878 , JSTOR  2031878
• Yabuta, M. (2001), "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (5): 439–443, doi :10.1080/00150517.2001.12428701, archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09

Enlaces externos

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: ​​Número de Fermat en The Prime Pages .
• Luigi Morelli, Historia de los números de Fermat
• John Cosgrave, Unificación de los números de Mersenne y Fermat
• Wilfrid Keller, Factores primos de los números de Fermat
• Weisstein, Eric W. "Número de Fermat". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Fermat Prime". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Número de Fermat generalizado". MathWorld .
• Yves Gallot, Búsqueda generalizada de primos de Fermat
• Mark S. Manasse, Factorización completa del noveno número de Fermat (anuncio original)
• Peyton Hayslette, el mayor anuncio del primo generalizado de Fermat conocido